Thème #3

Chapitre 3
Introduction
Cette pr´ esentation r´ esume le contenu des section 2.4 ` a 3.5 des notes de cours. On
se concentre sur la notion d’application lin´ eaire, sa repr´ esentation, sa g´ eom´ etrie ainsi
que ces applications ` a des probl` emes concrets.
1 Applications lin´ eaires
D´ efinitions
D´ efinition 1.1. Soit une fonction Td’un espace vectoriel V` a un autre W,´ ecrit
T:V−→ W
~v 7→ T(~v).
On dit que Test une application lin´ eaire si, pour tout ~v1, ~v2∈Vet c1, c2∈R, on a
l’identit´ e
T(c1~v1+c2~v2) = c1T(~v1) + c2T(~v2).
D´ efinitions
Une application lin´ eaire est enti` erement d´ etermin´ ee par son effet sur une base
de V.
Soit une base ordonn´ ee B= (~ b1,~ b2,...,~ bn)de V. Si l’on connaˆ ıt les nvecteurs
T(~ b1), T (~ b2), . . . , T (~ bn),
alors on peut calculer T(~v)pour tout ~v ∈V. On proc` ede comme suit.
Si ~v =c1~ b1+c2~ b2+. . . +cn~ bn, alors
T(~v) =Tc1~ b1+c2~ b2+. . . +cn~ bn
=c1T(~ b1) + c2T(~ b2) + · · · +cnT(~ bn).
1

2CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Matrice repr´ esentative de T
D´ efinition 1.2. Soient une base ordonn´ ee B=~ b1,~ b2,...,~ bnde Vet une base
ordonn´ ee C=~c1, ~c2, . . . ,~cmde W. Alors il existe n·mnombres aij tels que
T(~ b1) =a11~c1+a21~c2+. . . +am1~cm
T(~ b2) =a12~c1+a22~c2+. . . +am2~cm
.
.
.=.
.
.
T(~ bn) =a1n~c1+a2n~c2+. . . +amn~cm.
Matrice repr´ esentative de T(suite)
La matrice repr´ esentative dans la base Bde Vet Cde Ws’´ ecrit
C[T]B=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 a2n
.
.
.....
.
.
am1am2· · · amn
=h[T(~
b1)]C[T(~ b2)]C· · · [T(~ bn)]Ci.
Matrice repr´ esentative de T
Th´ eor` eme 1.3. Soit T:V−→ Wune application lin´ eaire et Bet Cdes bases
ordonn´ ees de respectivement Vet W. Alors pour tout ~u ∈Von a l’identit´ e
[T(~u)]C=C[T]B[~u]B.
L’effet d’une application lin´ eaire, une fois represent´ e dans une base, est identique
`
a la multiplication d’un vecteur par une matrice.
Matrice repr´ esentative de T
Th´ eor` eme 1.4. Soit T:V−→ Vune application lin´ eaire et Bet Cdeux bases
ordonn´ ees de V, alors
B[T]B=BPC·C[T]C·CPB=CPB−1·C[T]C·CPB.
Preuve Pour tout ~v ∈V, on a
[T(~v)]B=BPC·[T(~v)]C=BPC·C[T]C·[~v]C
=BPC·C[T]C·CPB·BPC·[~v]C
=CP−1
B·C[T]C·CPB·[~v]B.
Donc CP−1
B·C[T]C·CPB=B[T]B.

1. APPLICATIONS LIN ´ EAIRES 3
Exemples
Exemple 1.1.Soit
T:Rn−→ Rm
~v 7→ ~ 0.
Cette application est lin´ eaire.
Exemple 1.2.Soit
T:Rn−→ Rm
~v 7→ (1,1,...,1).
Cette application n’est pas lin´ eaire.
Exemples
Exemple 1.3.Soit
D:Pn−→ Pn−1
p(x)7→ p0(x).
Cette application est lin´ eaire.
Exemple 1.4.Soit
I:Pn−→ Pn+1
p(x)7→ q(x) = Zx
−1
p(z)dz.
Cette application est lin´ eaire.
Exemples
Exemple 1.5.Soit un vecteur ~v quelconque de V. Alors la projection sur ~v
P~v :V−→ V
~u 7→ proj~v ~u =~u −~u ·~v
k~vk2~v,
est lin´ eaire.
Dans ce cas, il suffit de remarquer que ~u ·~v est lin´ eaire par rapport ` a~u.
Somme de deux applications lin´ eaires
Th´ eor` eme 1.5. Soient T1:V−→ Wet T2:V−→ Wdeux applications lin´ eaires.
Alors on peut d´ efinir une application
T1+T2:V−→ V
~u 7→ T1(~u) + T2(~u),
et cette application sera lin´ eaire.

4CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Exemples
Exemple 1.6.Soit un sous-espace vectoriel Wde V. Alors la projection sur W
PW:V−→ V
~v 7→ projW~v,
est lin´ eaire.
Si on a une base orthonormale et ordonn´ ee de W, disons B=~v1, ~v2, . . . , ~vk,
alors pour tout ~u ∈V
projW(~u) = proj~v1(~u) + . . . + proj~vk(~u),
est une somme de projections. La projection sur West donc lin´ eaire.
Exemples
Exemple 1.7.Soit
T:R2−→ R2
(x, y)7→ (2x−y, 2y−x).
Cette application est lin´ eaire.
Exemples
Exemple 1.8.Soit un vecteur quelconque ~v de Vet la fonction
T:V−→ V
~u 7→ T(~u) = ~u +~v.
Cette application n’est pas lin´ eaire.
Exemple 1.9.Soit un nombre r´ eel λet la fonction
H:Rn−→ Rn
(x1, x2, . . . , xn)7→ H(x1, x2, . . . , xn)= (λx1, λx2, . . . , λxn).
Cette application est lin´ eaire. C’est une homoth´ etie.
Exemples
Exemple 1.10.Cisaillement
Exemples
Exemple 1.11.Rotation par un angle θ.

2. OP ´ ERATIONS SUR LES APPLICATIONS LIN ´ EAIRES 5
Exemples
Exemple 1.12.Projection sur [~a,~ b].
Exemples
Exemple 1.13.Projection sur un vecteur ~a dans R2.
2 Op´ erations sur les applications lin´ eaires
Les combinaisons lin´ eaires
Th´ eor` eme 2.1. Soient T1:V−→ Wet T2:V−→ Wdeux applications lin´ eaires.
Alors pour tout c1, c2∈R, on peut d´ efinir une application
c1T1+c2T2:V−→ V
~u 7→ c1T1(~u) + c2T2(~u),
et cette application sera lin´ eaire.
En fait, l’ensemble de toutes les applications lin´ eaires de Vdans Wforme un es-
pace vectoriel. On le d´ enote habituellement L(V, W ).
La composition
Th´ eor` eme 2.2. Soient T1:V−→ Wet T2:W−→ Xdeux applications lin´ eaires.
Alors la composition
T2◦T1:V−→ X
~u 7→ T2T1(~u),
sera une application lin´ eaire.
Questions
Si Vet Wsont des espaces de dimension finies, alors quelle est la relation entre
les repr´ esentations [T1]et [T2]et les repr´ esentations
[c1T1+c2T2] [T2◦T1]?
Afin de simplifier la pr´ esentation, ` a partir de maintenant, nous ne regarderons que
des applications
T:V−→ V,
c-` a-d des espaces de Vdans lui-mˆ eme.