Thème #3

Chapitre 3
Introduction
Cette présentation résume le contenu des section 2.4 à 3.5 des notes de cours. On
se concentre sur la notion d’application linéaire, sa représentation, sa géométrie ainsi
que ces applications à des problèmes concrets.
1
Applications linéaires
Définitions
Définition 1.1. Soit une fonction T d’un espace vectoriel V à un autre W , écrit
T : V −→ W
~v 7→ T (~v ).
On dit que T est une application linéaire si, pour tout ~v1 , ~v2 ∈ V et c1 , c2 ∈ R, on a
l’identité
T (c1~v1 + c2~v2 ) = c1 T (~v1 ) + c2 T (~v2 ).
Définitions
Une application linéaire est entièrement déterminée par son effet sur une base
de V .
Soit une base ordonnée B = (~b1 , ~b2 , . . . , ~bn ) de V . Si l’on connaı̂t les n vecteurs
T (~b1 ), T (~b2 ), . . . , T (~bn ),
alors on peut calculer T (~v ) pour tout ~v ∈ V. On procède comme suit.
Si ~v = c1~b1 + c2~b2 + . . . + cn~bn , alors
T (~v ) =T c1~b1 + c2~b2 + . . . + cn~bn
=c1 T (~b1 ) + c2 T (~b2 ) + · · · + cn T (~bn ).
1
2
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Matrice représentative de T
~ ~
~
Définition 1.2. Soient une base
ordonnée B = b1 , b2 , . . . , bn de V et une base
ordonnée C = ~c1 , ~c2 , . . . , ~cm de W . Alors il existe n · m nombres aij tels que
T (~b1 ) =a11~c1 + a21~c2 + . . . + am1~cm
T (~b2 ) =a12~c1 + a22~c2 + . . . + am2~cm
..
.
. = ..
T (~bn ) =a1n~c1 + a2n~c2 + . . . + amn~cm .
Matrice représentative de T (suite)
La matrice représentative dans la base B de V et C de W s’écrit


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22
h
i
a2n 


= [T (~b1 )]C [T (~b2 )]C · · · [T (~bn )]C .

..
.
.
C [T ]B = 
..
.. 
 .
am1 am2 · · · amn
Matrice représentative de T
Théorème 1.3. Soit T : V −→ W une application linéaire et B et C des bases
ordonnées de respectivement V et W . Alors pour tout ~u ∈ V on a l’identité
[T (~u)]C = C [T ]B [~u]B .
L’effet d’une application linéaire, une fois representé dans une base, est identique
à la multiplication d’un vecteur par une matrice.
Matrice représentative de T
Théorème 1.4. Soit T : V −→ V une application linéaire et B et C deux bases
ordonnées de V , alors
−1
· C [T ]C · C PB .
B [T ]B = B PC · C [T ]C · C PB = C PB
Preuve Pour tout ~v ∈ V , on a
[T (~v )]B =B PC · [T (~v )]C = B PC · C [T ]C · [~v ]C
=B PC · C [T ]C · C PB · B PC · [~v ]C
= C PB−1 · C [T ]C · C PB · [~v ]B .
Donc C PB−1 · C [T ]C · C PB = B [T ]B .
1. APPLICATIONS LINÉAIRES
3
Exemples
Exemple 1.1. Soit
T : Rn −→ Rm
~v 7→ ~0.
Cette application est linéaire.
Exemple 1.2. Soit
T : Rn −→ Rm
~v 7→ (1, 1, . . . , 1).
Cette application n’est pas linéaire.
Exemples
Exemple 1.3. Soit
D : P n −→ P n−1
p(x) 7→ p0 (x).
Cette application est linéaire.
Exemple 1.4. Soit
I : P n −→ P n+1
Z
x
p(x) 7→ q(x) =
p(z) dz.
−1
Cette application est linéaire.
Exemples
Exemple 1.5. Soit un vecteur ~v quelconque de V . Alors la projection sur ~v
P~v : V −→ V
~u 7→ proj~v ~u = ~u −
~u · ~v
~v ,
k~v k2
est linéaire.
Dans ce cas, il suffit de remarquer que ~u · ~v est linéaire par rapport à ~u.
Somme de deux applications linéaires
Théorème 1.5. Soient T1 : V −→ W et T2 : V −→ W deux applications linéaires.
Alors on peut définir une application
T1 + T2 : V −→ V
~u 7→ T1 (~u) + T2 (~u),
et cette application sera linéaire.
4
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Exemples
Exemple 1.6. Soit un sous-espace vectoriel W de V . Alors la projection sur W
PW : V −→ V
~v 7→ projW ~v ,
est linéaire.
Si on a une base orthonormale et ordonnée de W , disons B = ~v1 , ~v2 , . . . , ~vk ,
alors pour tout ~u ∈ V
projW (~u) = proj~v1 (~u) + . . . + proj~vk (~u),
est une somme de projections. La projection sur W est donc linéaire.
Exemples
Exemple 1.7. Soit
T : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (2x − y, 2y − x).
Cette application est linéaire.
Exemples
Exemple 1.8. Soit un vecteur quelconque ~v de V et la fonction
T : V −→ V
~u 7→ T (~u) = ~u + ~v .
Cette application n’est pas linéaire.
Exemple 1.9. Soit un nombre réel λ et la fonction
H : Rn −→ Rn
(x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ H (x1 , x2 , . . . , xn ) = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).
Cette application est linéaire. C’est une homothétie.
Exemples
Exemple 1.10. Cisaillement
Exemples
Exemple 1.11. Rotation par un angle θ.
2. OPÉRATIONS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES
5
Exemples
Exemple 1.12. Projection sur [~a, ~b].
Exemples
Exemple 1.13. Projection sur un vecteur ~a dans R2 .
2
Opérations sur les applications linéaires
Les combinaisons linéaires
Théorème 2.1. Soient T1 : V −→ W et T2 : V −→ W deux applications linéaires.
Alors pour tout c1 , c2 ∈ R, on peut définir une application
c1 T1 + c2 T2 : V −→ V
~u 7→ c1 T1 (~u) + c2 T2 (~u),
et cette application sera linéaire.
En fait, l’ensemble de toutes les applications linéaires de V dans W forme un espace vectoriel. On le dénote habituellement L(V, W ).
La composition
Théorème 2.2. Soient T1 : V −→ W et T2 : W −→ X deux applications linéaires.
Alors la composition
T2 ◦ T1 : V −→ X
~u 7→ T2 T1 (~u) ,
sera une application linéaire.
Questions
Si V et W sont des espaces de dimension finies, alors quelle est la relation entre
les représentations [T1 ] et [T2 ] et les représentations
[c1 T1 + c2 T2 ]
[T2 ◦ T1 ]?
Afin de simplifier la présentation, à partir de maintenant, nous ne regarderons que
des applications
T : V −→ V,
c-à-d des espaces de V dans lui-même.
6
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Matrices de représentation
Théorème 2.3. Soient T1 : V −→ V et T2 : V −→ V deux applications linéaires et
des nombres c1 , c2 ∈ R. Si B est une base de V , alors
[c1 T1 + c2 T2 ]B = c1 [T1 ]B + c2 [T2 ]B .
Théorème 2.4. Soient T1 : V −→ V et T2 : V −→ V deux applications linéaires. Si
B est une base de V , alors
[T2 ◦ T1 ]B = [T2 ]B [T1 ]B .
Exemples
Exemple 2.1. Montrer que dans n’importe quelle base B de Rn , une homothétie H(~u) =
λ~u par un facteur λ ∈ R est représenté par
[H]B = λI.
Exemples
Exemple 2.2. Soient C = (~i,~j, ~k) et B = (~i,~i + ~j,~i + ~j + ~k), deux bases de R3 . Si la
représentation d’une application linéaire T est

−3 4
[T ]C =  1 0
0 1

7
−2 
0
alors calculer [T ]B .
Exemples
Exemple 2.3. Soit une boule de billard se déplaçant à vitesse ~u qui frappe la bande qui
elle est parallèle à ~v . Trouvez la vitesse de la boule après la collision et appellez cette
vitesse C(~u). Trouvez la matrice de représentation [C] dans la base usuelle de R2 .
Exemples
Exemple 2.4. Soit l’application linéaire R qui effectue une rotation de 90◦ (dans le
sens anti-horaire) autour de l’axe


0
~a =  3/5  .
4/5
Trouver la matrice de représentation de R dans la base habituelle B = (~i,~j, ~k).
3. NOYAUX ET IMAGES
3
7
Noyaux et images
Définitions
Définition 3.1. Le noyau d’une application linéaire T : V −→ V , noté Ker(T ), est
l’ensemble de tous les vecteurs ~u ∈ V tels que T (~u) = ~0, c-à-d
o
n
Ker(T ) = ~u ∈ V T (~u) = ~0 .
Théorème 3.2. L’ensemble Ker(T ) forme un sous-espace vectoriel de V .
Preuve du Théorème 3.2
Preuve Soient ~u1 , ~u2 ∈ Ker(T ) et c1 , c2 ∈ R. Par définition
T (~u1 ) = ~0
et T (~u2 ) = ~0.
On a donc que
T (c1 ~u1 + c2 ~u2 ) = c1 T (~u1 ) + c2 T (~u2 ) = ~0.
En conclusion, c1 ~u1 + c2 ~u2 ∈ Ker(T ).
Définitions
Définition 3.3. L’image d’une application linéaire T : V −→ V , noté Im(T ), est
l’ensemble de tous les vecteurs T (~u) pour tous les ~u ∈ V ,
n
o
Im(T ) = ~u ∈ V il existe ~v ∈ V tel que T (~v ) = ~u .
Théorème 3.4. L’ensemble Im(T ) forme un sous-espace vectoriel de V .
Preuve du Théorème 3.4
Preuve Soient ~u1 , ~u2 ∈ Im(T ) et c1 , c2 ∈ R. Par définition, il existe ~v1 et ~v2 tels
que
T (~v1 ) = ~u1 et T (~v2 ) = ~u2 .
On a donc que
c1 ~u1 + c2 ~u2 = c1 T (~v1 ) + c2 T (~v2 ) = T (c1~v1 + c2~v2 ).
En conclusion, c1 ~u1 + c2 ~u2 est l’image de c1~v1 + c2~v2 et il appartient donc à Im(T ).
8
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Définitions
Définition 3.5. Le rang d’une application linéaire T : V −→ V , noté rg(T ), c’est la
dimension de Im(T ), c-à-d
rg(T ) = dim Im(T ).
Théorème 3.6. Si V est un espace vectoriel de dimension fini et T : V → V est une
application linéaire, alors
dim V = dim Ker(T ) + dim Im(T ).
Remarques
Soit B = (~b1 , . . . , ~bn ) une base de V et T , une application linéaire.
Calcul de Ker(T )
L’espace Ker(T ) est décrit par les paramètres c1 , c2 , . . . , cn tels que
~0 =T c1~b1 + c2~b2 + · · · + cn~bn
=c1 T (~b1 ) + c2 T (~b2 ) + · · · + cn T (~bn ).
On peut donc obtenir les c1 , . . . , cn en traduisant ce problème à un système de n
équations et on appliquant l’échellonnage.
La dim Ker(T ) est égal au rang du système.
Remarques
Soit B = (~b1 , . . . , ~bn ) une base de V et T , une application linéaire.
Calcul de Im(T )
L’espace Im(T ) est engendré par les vecteurs
T (~b1 ), T (~b2 ), . . . , T (~bn ).
Il suffit d’appliquer le principe d’exclusion et d’en extraire une base.
Exemples
Exemple 3.1. Soient deux vecteurs ~a et ~b linéairement indépendants dans R3 et le sousespace vectoriel
W = [~a, ~b].
Pour la projection projW , calculer la dimension de son noyau et de son image.
4. APPLICATIONS RÉGULIÈRES
9
Exemples
Exemple 3.2. Soient un vecteur ~a non-nul de R3 et l’application linéaire
T (~u) = ~u × ~a.
Décrivez Ker(T ) et Im(T ) et calculer leurs dimensions.
Exemples
Exemple 3.3. Dans la base usuelle B = (~i,~j, ~k), l’application linéaire est donnée par


1 −2
3
8 −12  .
[T ]B =  −4
2 −4
6
Trouver des bases pour Ker(T ) pour Im(T ).
4
Applications régulières
Définitions
Définition 4.1. Une application linéaire T : V −→ V est dite de rang maximal si
dim Im(T ) = dim(V ).
On remarque immédiatement qu’étant donnée que
dim(V ) = dim Ker(T ) + dim Im(T ),
alors, pour les applications de rang maximal
– dim Ker(T ) = 0.
Définitions
Définition 4.2. On dit qu’une application linéaire T : V −→ V est régulière si
Ker(T ) = ~0 .
Donc les applications de rang maximal sont des applications régulières !
Wow ! Je me sens mieux.
Propriétés
Théorème 4.3. Si une application linéaire T : V −→ V est de rang maximal et
B est une base de V , alors les colonnes de [T ]B seront des vecteurs linéairement
indépendants, c-à-d det[T ]B 6= 0.
10
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Preuve Si



~e1 = 

1
0
..
.




,



~e2 = 

0
1
..
.




,

···


~en = 




,

1
0
0
0
0
..
.
alors Im(T ) sera engendré par les colonnes de [T ]B :
[T ]B ~e1 ,
[T ]B ~e2 ,
···
[T ]B ~en .
Définitions
Définition 4.4. On dit qu’une application linéaire T : V −→ V est singulière si
dim Ker(T ) > 0.
Donc les applications qui ne sont pas régulières sont singulières !
Définition 4.5. On dit qu’une application linéaire T : V −→ V est bijective si l’application inverse T −1 : V −→ V existe.
Rappel On dit que T −1 (~u) = ~v si et seulement si il n’existe qu’un seul ~v tel que
T (~v ) = ~u.
Propriétés
Théorème 4.6. Si une application linéaire T : V −→ V possède un inverse T −1 :
V −→ V , alors l’inverse T −1 sera aussi linéaire. De plus
[T −1 ]B = [T ]−1
B .
Preuve Si l’inverse existe, alors pour tout ~u1 , ~u2 ∈ V il existe ~v1 , ~v2 ∈ V tels que
T (~v1 ) = ~u1
T (~v2 ) = ~u2 .
Alors pour tout c1 , c2 ∈ R on a
T (c1~v + c2~v2 ) = c1 ~u1 + c2 ~u2 ,
donc
T −1 (c1 ~u + c2 ~u2 ) = c1~v1 + c2~v2 = c1 T −1 (~u1 ) + c2 T −1 (~u2 ).
5. LES APPLICATIONS ET LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
11
Propriétés
Preuve (suite) Si l’inverse existe, alors
T −1 ◦ T = id .
Donc
I = [id]B = [T −1 ◦ T ]B = [T −1 ]B [T ]B .
La matrice [T ]B est donc l’inverse de [T −1 ]B .
Propriétés
Théorème 4.7. Si une application linéaire T : V −→ V possède un inverse T −1 :
V −→ V , alors
det[T ]B 6= 0.
L’application est donc régulière.
Preuve On a vu que la matrice [T ]B est inversible, donc
det[T ]B 6= 0.
Les colonnes de [T ]B sont alors linéairement indépendantes et T est de rang maximal.
Propriétés
Théorème 4.8. Soit une application linéaire T : V −→ V . Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) T est de rang maximal ;
(ii) Im(T ) = V ;
(iii) les colonnes de [T ]B sont linéairement indépendantes ;
(iv) det[T ]B 6= 0 ;
(v) T est régulière ;
(vi) Ker(T ) = {~0} ;
(vii) T est bijective ;
(viii) la matrice [T ]B est inversible.
5
Les applications et les systèmes d’équations
Formulation
Formulation # 1 On cherche x1 , x2 , . . . , xn ∈ R qui satisfont
···
···
+a1n xn
+a2n xn
= b1
= b2
.
= ..
an1 x1 + an2 x2 + · · ·
+ann xn
= bn .
a11 x1 +
a21 x1 +
..
.
a12 x2 +
a22 x2 +
12
CHAPITRE 3. INTRODUCTION
Sous forme matricielle, ces contraintes s’écrivent

 
a11 a12 · · · a1n
x1
 a21 a22

a2n 

  x2
 ..
..  ·  ..
..
 .
.
.   .
Formulation
Posons



A=

an1
an2
···
a11
a21
..
.
a12
a22
···
a1n
a2n
..
.
an1
an2
..
.
···
ann

 
 
=
 
xn




,




~x = 

b1
b2
..
.



.

bn
x1
x2
..
.




,


~b = 


xn
ann
b1
b2
..
.



.

bn
Formulation #2 Étant donné un opérateur linéaire représenté par la matrice A et
un point ~b ∈ Rn , on cherche ~x ∈ Rn tel que
A~x = ~b.
Formulation #3 Étant donné un opérateur linéaire T : V −→ V et ~b ∈ V , on
cherche ~x ∈ V satisfaisant
T (~x) = ~b.
Interprétation
Formulation #3 Étant donné un opérateur linéaire T : V −→ V et ~b ∈ V , on
cherche ~x ∈ V satisfaisant
T (~x) = ~b.
Cette formulation nous permet de conclure
(i) si T est régulier alors il existe une et une seule solution ;
(ii) si T est singulier, alors
(ii.A) soit ~b ∈
/ Im(T ) et il n’y a pas de solution !
(ii.B) soit ~b = T (~u) ∈ Im(T ) et, pour tout ~v ∈ Ker(T ),
T (~u + ~v ) = T (~u) + T (~v ) = ~b + ~0 = ~b.
Il y a une infinité de solutions ~u + ~v car dim Ker(T ) > 0.
Cas particulier
Problème homogène Étant donné un opérateur linéaire T : V −→ V , on cherche
~x ∈ V satisfaisant
T (~x) = ~0.
Ce problème a au moins une solution ~x = ~0, mais
5. LES APPLICATIONS ET LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS
(i) si T est régulier alors cette solution ~x = ~0 est unique ;
(ii) si T est singulier, alors seul le sous-cas (ii.B) est possible
(ii.B) pour tout ~v ∈ Ker(T ),
T (~v ) = ~0.
Il y a une infinité de solutions ~v ∈ Ker(T ) car dim Ker(T ) > 0.
Exemples
Exemple 5.1. Trouvez la ou les solutions de
5x
x
x
−y
−y
+y
+4z
+2z
−z
=0
=0
= 0.
Exemples
Exemple 5.2. Trouvez la ou les solutions de
5x
x
x
−y
−y
+y
+4z
+2z
−z
=8
=2
= 1.
13