PROGRAMME DE COLLE S28 APPLICATIONS - MPSI Saint

semaine du 3+1er septembre 2011
MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
PROGRAMME DE COLLE S28
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
APPLICATIONS LINÉAIRES
Applications linéaires
Définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K et f : E → F une application. On dit que f
est linéaire de E dans F lorsque
∀(~x, ~y) ∈ E 2 , ∀(λ, µ) ∈ K2 ,
f (λ · ~x + µ · ~y) = λ · f (~x) + µ · f (~y)
Notation : On note L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F , L(E) l’ensemble des endomorphismes
de E, GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
Proposition.— L(E, F ), +, · est un K-ev.
Proposition.— Soit f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G). Alors g ◦ f : E → G est une application linéaire de E dans G.
Endomorphismes
Proposition.— L(E), +, ◦ est un anneau.
Définition : Polynôme d’endomorphisme —. Soient P ∈ K[X], P = ap X p + ap−1 X p−1 + · · · + a1 X + a0 et f ∈ L(E).
On définit P (f ) ∈ L(E) par
P (f ) = ap f p + ap−1 f p−1 + · · · + a1 f + a0 idE
Théorème*.— Formule du binôme et identité géométrique —. Soient f, g deux endomorphismes de E tels que
f ◦ g = g ◦ f . Alors pour tout entier n ∈ N
(f + g)n =
n X
n k
f ◦ g n−k
k
f n+1 − g n+1 = (f − g) ◦
k=0
n
X
f k ◦ g n−k
k=0
Isomorphismes
Définition : Soient E et F deux K-ev. On appelle isomorphisme de E sur F toute application linéaire et bijective
f de E sur F .
Proposition.— Isomorphisme réciproque
Soit f ∈ L(E, F ) un isomorphisme de E sur F . Alors f −1 est un isomorphisme de F sur E, appelé isomorphisme
réciproque de f .
Noyau et image d’une application linéaire
Définition : Soit f : E → F une application linéaire.
l’image de f est l’image directe de E par f . On note Im f = {f (~x) ; ~x ∈ E} = {~y ∈ F | ∃~x ∈ E ; f (~x) = ~y}
le noyau de f est l’ensemble des antécédents de ~0F par f . On note Ker f = {~x ∈ E | f (~x) = ~0F }.
Proposition.— Soit f ∈ L(E, F ), alors
Im f est un sous-espace vectoriel de F .
Ker f est un sous-espace vectoriel de E.
Théorème.— caractérisation des applications linéaires injectives/surjectives
Soient E, F des K-e.v et f ∈ L(E, F ) une application linéaire de E vers F , alors
•
•
f est surjective si et seulement si Im f = F
f est injective si et seulement si Ker f = {~0E }
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Image d’une base par une application linéaire
Proposition.— Soit B = (~e1 , . . . , ~en ) une base d’un K-ev E et f ∈ L(E, F ). Alors
Im f = Vect f (~e1 ), . . . , f (~en )
Proposition.— Soit B = (~e1 , . . . , ~en ) une base d’un K-ev E et F = (f~1 , . . . , f~n ) une famille de n vecteurs de F .
Il existe une application linéaire f : E → F , unique telle que ∀i ∈ [[1, n]],
f (~ei ) = f~i
Théorème.— Caractérisation des isomorphismes par les bases —. Soit f ∈ L(E, F ), (~e1 , . . . , ~en ) une base de E.
•
•
•
f est injective
f est surjective
f est un isomorphisme
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
f (~e1 ), . . . , f (~en ) est libre dans F
f (~e1 ), . . . , f (~en ) est génératrice de F
f (~e1 ), . . . , f (~en ) est une base de F
Exemples d’applications linéaires
Définition : application linéaire a canoniquement associée à une matrice
Soit A ∈ Mn,p (K) une matrice à coefficients dans K. On définit
l’application linéaire a canoniquement associée à A par :
∀(x1 , . . . , xp ) ∈ Kp , a(x1 , . . . , xp ) = (y1 , . . . , yn ),

a1,1
 ..
 .
···
    
a1,p
x1
y1
.. × ..  =  .. 
.  . .
an,1 · · · an,p
xp
yn
où les coefficients y1 , . . . , yn de l’image sont obtenus grâce à la relation
matricielle ci-contre.
Définition : Projections, symétries, affinités
Soit E1 et E2 deux sev supplémentaires d’un K-ev E, de sorte que tout vecteur ~x de E s’écrit de manière unique :
~x = ~x1 + ~x2 , où (~x1 , ~x2 ) ∈ E1 × E2 .
La projection de E sur E1 parallèlement à E2 , est l’application notée pE1 ,E2 : E → E définie par :
∀~x = ~x1 + ~x2 ∈ E; pE1 ,E2 (~x) = ~x1
La symétrie par rapport à E1 parallèlement à E2 , est l’application notée sE1 ,E2 : E → E définie par :
∀~x = ~x1 + ~x2 ∈ E; sE1 ,E2 (~x) = ~x1 − ~x2
L’affinité vectorielle de base E1 de direction E2 et de rapport α, l’application f : E → E définie par :
∀~x = ~x1 + ~x2 ∈ E; f (~x) = ~x1 + α · ~x2
Proposition.— La projection pE1 ,E2 et la symétrie sE1 ,E2 sont des endomorphismes de E qui vérifient :
• Im pE1 ,E2 = E1
• sE1 ,E2 ◦ sE1 ,E2 = IdE
• Ker pE1 ,E2 = E2
• sE1 ,E2 est un automorphisme de E et s−1
E1 ,E2 = sE1 ,E2 .
• pE1 ,E2 ◦ pE1 ,E2 = pE1 ,E2
• sE1 ,E2 = 2pE1 ,E2 − IdE
Théorème.— Soit p ∈ L(E) un projecteur, i.e. une application linéaire vérifiant p ◦ p = p. Alors
Ker p et Im p sont supplémentaires, i.e. E = Ker p ⊕ Im p
p est la projection de E sur Im p parallélement à Ker p.
Théorème.— Soit s ∈ L(E) une involution, i.e. un endomorphisme de E vérifiant s ◦ s = idE . Alors
Ker (s − IdE ) et Ker (s + IdE ) sont supplémentaires, i.e. E = Ker (s − IdE ) ⊕ Ker (s + IdE )
s est la symétrie par rapport à Ker (s − IdE ) parallèlement à Ker (s + IdE ).
Savoir-Faire : montrer qu’un endomorphisme est un projecteur ou un automorphisme involutif et trouver ses éléments
caractéristiques.
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