n6 - équations

N6 - ÉQUATIONS
I- Égalité – équation – inconnue
1. Égalité
Une égalité est constituée de deux
membres dont le poids est identique.
C’est pourquoi je peux comparer une
égalité à une balance Roberval dont les
deux plateaux sont à la même hauteur.
17 – 4  2 = 3 + 12 : 2
1er membre
2d membre
=
3 + 12 : 2
17 – 4  2
2. Équation - inconnue
Une équation est une égalité dans laquelle
se situe une inconnue (2 en troisième)
symbolisée par une lettre (2 en troisième).
égalité
égalité
17 + x = 48
10x = 54 + x
inconnue
inconnue
3. Résoudre une équation
* Résoudre une équation, c’est trouver
toutes les valeurs que je peux donner à
l’inconnue pour que l’égalité soit
vérifiée.
*
*
*
Résoudre l’équation 17 + x = 48, c’est
trouver toutes les valeurs que je peux
donner à « x » pour que le signe « = »
ait du sens.
Il n’y a qu’un nombre, ici, qui vérifie
l’équation : c’est 31 car 17 + 31 = 48.
On dit que 31 est la solution de
l’équation 17 + x = 48.
II- Règles pour transformer une équation
1. Transposition
*
Si j’ajoute ou je retranche un même
nombre aux deux membres d’une
équation, j’obtiens une nouvelle équation
ayant les mêmes solutions que la
première. C’est la règle de transposition.
*
25 = AB2 + 16
(après
25 – 16 = AB + 16 – 16 transposition)
9 = AB2 (après réduction)
2
2. Multiplication - division
*
Si je multiplie ou je divise par un même
nombre non nul les deux membres d’une
équation, j’obtiens une nouvelle équation
ayant les mêmes solutions que la
première.
*
cos 45° =
Error!
cos 45°  AB =
(en multipliant
les 2 membres
cos 45°  AB = 13 (en simplifiant)
par AB)
(en divisant
=
les 2 membres
AB =
( en simplifiant)
par cos 45°)
Error!
Error!
Error!
Error!
III- Résolution d’équations
1. Méthode générale
*
Développer et/ou réduire dans chaque
membre.
*
Placer tous les termes en « x » dans le
1er membre ou le second (règle de la
transposition).
*
Réduire les termes en « x ».
*
Placer tous les nombres dans le second
membre ou le 1er (règle de la
transposition).
*
Réduire les nombres
*
Calculer « x » (diviser ou multiplier les
2 membres par un même nombre non
nul).
2. Exemple commenté
2x – 78 + x + 28 = x – 20 – 16
2x + x – 78 + 28 = x – 20 – 16
3x – 50 = x – 36 ( en réduisant)
(retrancher x dans
3x – x – 50 = x – x – 36 les 2 membres)
2x – 50 = – 36 ( en réduisant)
(ajouter 50 dans
2x – 50 + 50 = – 36 + 50
les 2 membres)
2x = 14 ( en réduisant)
(diviser par 2 les
2 membres)
x = 7 (en simplifiant
dans chaque membre)
Error!
=
Error!
7 est la solution de l’équation
2x – 78 + x + 28 = x – 20 – 16
IV- Résolution de problèmes
1. Méthode générale
*
*
*
Choix de l’inconnue.
Mise en équation du problème en
utilisant l’inconnue et les données du
problème.
résolution de l’équation.
*
Conclusion (phrase répondant au
problème)
*
Vérification.
2. Exemple commenté
Pierre a dans son porte monnaie 37€ en
pièces de 1 € et de 2 €. Sachant qu’il a en
tout 28 pièces, combien a-t-il de pièces de
1 € et de pièces de 2 € ?
a) Choix de l’inconnue
Soit x le nombre de pièces de 1 €.
b) Mise en équation
*
*
*
*
*
Si x est le nombre de pièces de 1 € et si
le nombre total de pièces est 28, alors le
nombre de pièces de 2 € est (28 – x).
Si x est le nombre de pièces de 1 €,
alors la quantité d’argent en pièces de
1 € est de (1  x) = x €.
Si (28 – x) est le nombre de pièces de
2 €, alors la quantité d’argent en pièces
de 2 € est de 2  (28 – x) €.
Le montant total est 37 €, ce qui
correspond à la somme des quantités
d’argent des pièces d’1 € et de 2 €.
x + 2  (28 – x) = 37
c) Résolution de l’équation
*
x + 56 – 2x = 37 (développer)
*
– x + 56 = 37 (réduire)
*
– x + 56 – 56 = 37 – 56 (transposer)
*
– x = – 19 (réduire)
*
– x  (– 1) = – 19  (– 1) (multiplier)
*
x = 19 (calculer)
d) Répondre à la question posée.
*
*
Le porte-monnaie contient 19 pièces de
1 €.
Le porte-monnaie contient (28 – 19)
pièces de 2 €, c’est-à-dire 9.
e) Vérification.
Je calcule le montant du porte-monnaie
(1  19) + (2  9) =
19 + 18 = 37 €.