Sinusoïdale - Les mathématiques en direct

C. Jourdain
d’après Hyperbole 2nd
Chap. 9 – Trigonométrie et fonctions trigonométriques
1
I – Bases de vocabulaire
1. Le plan orienté
Un cercle peut-être parcouru dans 2 sens :
* Le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé
……………………………………………
* Le sens des aiguilles d’une montre, appelé
……………………………………………
On dit alors que le plan est …………………………….
2. Cercle trigonométrique
Définition : Le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct est appelé ……………………………..
3. Relations entre degré et radian.
Remarque : Le périmètre de ce cercle : P = ………… = …………….. car ici R = ……………
On dit que la longueur du cercle trigonométrique mesure : ……………………….
Cela correspond à un tour complet autour du cercle, ce qui en degré correspond à ………………..
L’unité de mesure de la longueur d’un arc de cercle est en général exprimée en radians.
On dira donc que le cercle trigonométrique a une longueur de ……………………………….
Compléter le tableau suivant par proportionnalité :
Degré
0
30°
45°
60°
90°
180°
360°
Radian
Reporter les valeurs trouvées sur le cercle trigonométrique ci dessous puis le compléter :

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II – Trigonométrie
1. Repère orthonormal direct
Définition : Un repère orthonormal (O ;
Error!
,
Error!
) du plan est dit :
………………. lorsque (
Error!
,
Error!
) =
Error!
, et ……………….. lorsque (
Error!
,
Error!
) = 
Error!
.
2. Cosinus et sinus d’un angle orienté
Exercice : 1) Dessiner ci-contre un petit cercle trigonométrique
2) Placer un point M sur le cercle dans le quart supérieur droit
On appelle x la longueur de l’arc de cercle qui mène à M.
3) Faire figurer ses coordonnées que l’on appellera a et b.
4) Exprimer a et b en fonction de x.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Définition : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’angle orienté).
On appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x), les coordonnées de M dans le repère (O, I, J) :
Error!
= cos x
Error!
+ sin x
Error!
3. Premières relations
a. Valeurs remarquables (Compléter le tableau suivant)
x
0
Error!
Error!
Error!
Error!
cos x
sin x

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b. Propriétés élémentaires
1  Pour tout réel x et pour tout entier relatif k : cos (x + 2k) = cos x et sin (x + 2k) = sin x
(On dit que les fonctions cosinus et sinus sont 2-périodique)
2  Pour tout réel x : cos² x + sin² x = 1
3  Pour tout réel x :  1  cos x  1 et  1  sin x  1
Exercice :
1) Calculer :
a. cos
Error!
= ……………... = ………………..
b. sin (6) = ……………. = …………… = ………
2) On sait que x  [0, ]. Calculer sin x sachant que cos x = 
Error!
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Angles associés
Configuration du rectangle
Configuration des angles complémentaires
Les points associés à : x,   x,  + x et x
sont les sommets d’un rectangle dont (OI) et (OJ) sont axes de
symétrie.
Les points associés à : x, Error!  x sont symétriques par
rapport à la « première bissectrice » (droite (OA), avec A
Error! )
Exercice :
1) Sans regarder la page précédente, compléter le cercle suivant :

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2) A l’aide de ce cercle trigonométrique, exprimer les quantités suivantes en fonction de cos x et sin x:
cos (  x) =
sin (  x) =
cos ( + x) =
sin ( + x) =
cos ( x) =
sin ( x) =
cos
Error!
=
sin
Error!
=
cos
Error!
=
sin
Error!
=
cos
Error!
=
sin
Error!
=
cos
Error!
=
sin
Error!
=
III – Fonctions sinusoïdales : fonctions cosinus et fonction sinus
Fonction
Sens de variation
Courbe représentative

Chap. 10 – Mathématiques 2nd 8 – 2003/2004
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Cosinus
f : x
cos x
définie sur IR
Cosinus est 2  périodique, il suffit donc de
l’étudier sur [ ; ] et de compléter après par
périodicité
Cosinus est paire, il suffit donc de l’étudier sur
[0 ; ] et de compléter après par symétrie par
rapport à (Oy)
x
0 Error!
cos x
1
0
– 1
Sinusoïdale
Sinus
f : x
sin x
définie sur IR
Sinus est 2  périodique, il suffit donc de l’étudier
sur [ ; ] et de compléter après par périodicité
Sinus est impaire, il suffit donc de l’étudier sur
[0 ; ] et de compléter après par symétrie par
rapport à O
x
0 Error!
sin x
1
0 0
Sinusoïdale
Exercices : Faire les n°26 à 29 p 104 – n°31 à 33 p 104 – n°43 à 45 p 105