Sinusoïdale - Les mathématiques en direct

C. Jourdain
d’après Hyperbole 2nd
Chap. 9 – Trigonométrie et fonctions trigonométriques
I – Bases de vocabulaire
1. Le plan orienté
On dit alors que le plan est …………………………….
Un cercle peut-être parcouru dans 2 sens :
* Le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé
……………………………………………
* Le sens des aiguilles d’une montre, appelé
……………………………………………
2. Cercle trigonométrique
Définition :
Le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct est appelé ……………………………..
3. Relations entre degré et radian.
Remarque :
Le périmètre de ce cercle : P = ………… = …………….. car ici R = ……………
On dit que la longueur du cercle trigonométrique mesure : ……………………….
Cela correspond à un tour complet autour du cercle, ce qui en degré correspond à ………………..
L’unité de mesure de la longueur d’un arc de cercle est en général exprimée en radians.
On dira donc que le cercle trigonométrique a une longueur de ……………………………….
Compléter le tableau suivant par proportionnalité :
Degré
0
30°
45°
60°
90°
180°
360°
Radian
Reporter les valeurs trouvées sur le cercle trigonométrique ci dessous puis le compléter :
1
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Chap. 9 – Trigonométrie et fonctions trigonométriques
II – Trigonométrie
1. Repère orthonormal direct
Définition : Un repère orthonormal (O ;Error!,Error!) du plan est dit :
………………. lorsque (Error!,Error!) = Error!,
et
……………….. lorsque (Error!,
Error!) =  Error!.
2. Cosinus et sinus d’un angle orienté
Exercice :
1) Dessiner ci-contre un petit cercle trigonométrique
2) Placer un point M sur le cercle dans le quart supérieur droit
On appelle x la longueur de l’arc de cercle qui mène à M.
3) Faire figurer ses coordonnées que l’on appellera a et b.
4) Exprimer a et b en fonction de x.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Définition : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’angle orienté).
On appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x), les coordonnées de M dans le repère (O, I, J) :
Error! = cos x Error! + sin x Error!
3. Premières relations
a. Valeurs remarquables (Compléter le tableau suivant)
x
0
Error!
Error!
Error!
Error!

cos x
sin x
2
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Chap. 9 – Trigonométrie et fonctions trigonométriques
b. Propriétés élémentaires
1  Pour tout réel x et pour tout entier relatif k : cos (x + 2k) = cos x et sin (x + 2k) = sin x
(On dit que les fonctions cosinus et sinus sont 2-périodique)
2  Pour tout réel x : cos² x + sin² x = 1
3  Pour tout réel x :  1  cos x  1
et
 1  sin x  1
Exercice :
1) Calculer :
a. cos Error! = ……………... = ………………..
b. sin (6) = ……………. = …………… = ………
2) On sait que x  [0, ]. Calculer sin x sachant que cos x =  Error!
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Angles associés
Configuration du rectangle
Configuration des angles complémentaires
Les points associés à : x,   x,  + x et x
Les points associés à : x, Error!  x sont symétriques par
sont les sommets d’un rectangle dont (OI) et (OJ) sont axes de
rapport à la « première bissectrice » (droite (OA), avec A
symétrie.
Error! )
Exercice :
1) Sans regarder la page précédente, compléter le cercle suivant :
3
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Chap. 9 – Trigonométrie et fonctions trigonométriques
2) A l’aide de ce cercle trigonométrique, exprimer les quantités suivantes en fonction de cos x et sin x:
cos (  x) =
sin (  x) =
cos Error! =
sin Error! =
cos Error! =
cos ( + x) =
sin Error! =
sin ( + x) =
cos Error! =
sin Error! =
cos Error! =
sin Error! =
cos ( x) =
sin ( x) =
III – Fonctions sinusoïdales : fonctions cosinus et fonction sinus
Fonction
Sens de variation
Courbe représentative
4
Chap. 10 – Mathématiques 2nd 8 – 2003/2004
Sinusoïdale
Cosinus
 cos x
f:x
définie sur IR
Cosinus est 2  périodique, il suffit donc de
l’étudier sur [ ; ] et de compléter après par
périodicité
Cosinus est paire, il suffit donc de l’étudier sur
[0 ; ] et de compléter après par symétrie par
rapport à (Oy)
x
0
Error!

cos x
1
0
–1
Sinus
f:x
 sin x
définie sur IR
Sinusoïdale
Sinus est 2  périodique, il suffit donc de l’étudier
sur [ ; ] et de compléter après par périodicité
Sinus est impaire, il suffit donc de l’étudier sur
[0 ; ] et de compléter après par symétrie par
rapport à O
x
0
Error!

sin x
1
0
0
Exercices : Faire les n°26 à 29 p 104 – n°31 à 33 p 104 – n°43 à 45 p 105
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