Le nombre d`or - Blog du voyage

Le nombre d’or
Le nombre d’or est aussi appelé « section dorée » ou « Divine proportion » . Il est appelé (Phi) en
l’honneur du sculpteur grec Phidias qui s’en servit dans les proportions du Parthénon sur l’acropole
d ’ Athènes . Il s’agit de la solution positive de l’équation algébrique
01²  xx
.
Sa valeur exacte est
251
. Son écriture décimale est infinie .
Les cinquante premières décimales de :
≈ 1 ,
61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576
Simon Plouffe a déterminé plus de 10 millions de décimales pour le nombre d'or en 1998.
Ce nombre est la valeur d’un rapport de deux grandeurs homogènes . Il est déterminé par une
proportion : « il y a de la petite partie à la grande , le même
rapport que la grande au tout » .
Si a est la grande et b la petite , alors
ba a a
b
.
Un rectangle d’or est un rectangle dont le rapport de la
longueur sur la largeur est égale au nombre .
Pour le construire, il suffit de tracer un triangle rectangle de
base
2
1
et de hauteur 1 . En utilisant le théorème de Pythagore,
on obtient une hypoténuse de longueur
2
5
. On reporte
ensuite cette longueur à la « suite » de la base . On obtient enfin un rectangle d’or de longueur
251
et de
largeur 1 .
On relève la présence du nombre d’or dans différents domaines :
 Dans l’architecture:
Les Civilisations anciennes ont utilisé le nombre d'or pour concevoir des monuments aux proportions
harmonieuses.
- La Pyramide de Khéops chez les Egyptiens (vers 2600 avant J-C) :le rapport de la hauteur de la
pyramide par sa demi-base est le nombre d’or ; les prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la
grande pyramide avaient été choisies telles que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait
exactement la surface de chacune des faces triangulaires. »
- le Parthénon chez les Grecs (entre 447 et 432 avant J-C) (si, on relie les extrémités de ce monument , on
obtient un rectangle d’or )
- le temple de Salomon , la plupart des églises romanes , le théâtre d’Epidaure (le rapport entre les deux
séries de gradins , l’une de 21 et l’autre de 34 sont des nombres de la suite de Fibonacci )……
Le Parthénon : un exemple architectural utilisant le nombre d’or

 En anatomie : il caractérise l’emplacement du nombril par rapport à l’ensemble du corps humain
( nous sommes bien proportionnés ! )
On dit que le rapport de la 1ère phalange à la 2ème , ou de la 2ème à la 3ème , est égal au nombre d’or .
Fascinant, n’est ce pas ?
Il est important de mentionner que certains animaux, comme l’étoile de mer et l’oursin, ont des formes
correspondant au pentagone régulier étoilé.
 Dans la nature : certains scientifiques observent le nombre d’or dans l’implantation des feuilles sur la
tige des plantes . De nombreuses fleurs ont un nombre de pétales de : 3, 5 , 8 , 13 ,21 …… : ce sont les
premiers termes de la suite de Fibonacci .
Une pâquerette ou un tournesol ont des pétales positionnés en spirales suivant ces termes qui conduisent
au nombre d’or . Les écailles de pommes de pin ou d’ananas présentent la même particularité .
Tournesol Ananas Magnolia
Le nombre d’or est aussi dans les sciences , la biologie. Des milliers d’organismes biologiques se figent
dans l’ADN et les proportions de cette spirale sont régies par le nombre d’or .
 Dans la peinture :les dimensions des tableaux sont souvent tels que
l
L
par exemple « la Joconde » de Léonard de Vinci
Comme on peut le voir, le visage de Mona Lisa rentre parfaitement dans un rectangle d ' Or... Serait- ce là le secret de
son sourire ?
et « La Naissance de Vénus » de Botticelli

Le format du tableau correspond à un rectangle d'or. Le groupe des Vents, à gauche du tableau, le
personnage de la Grâce à droite, s'inscrivent dans des rectangles d'or et plus précisément le long des
diagonales de ces rectangles d'or. Il est possible également de tracer deux cercles dont le diamètre
correspond au côté de ces rectangles d'or. Le cercle de gauche renferme le groupe des Vents et Vénus, le
cercle de droite Vénus et le personnage de la Grâce. Le nombre d'or apporte donc une clef à la composition
de ce tableau.
Salvator DALI a utilisé le rectangle d’or pour certaines de ses toiles .
Le sacrement de la dernière cène Salvador Dali, 1955
Il semble bien que les artistes divisaient leurs toiles en huitièmes, 8/5 qui est très proche du nombre d’or à 7
millièmes près.
 Dans la musique :
Les Pythagoriciens, vers 460 avant J.C, avaient déjà fait des recherches sur les intervalles sonores.
Il existe certains rapprochements entre le nombre et une des gammes les plus célèbres. La forme du violon
a des proportions esthétiques très liées au nombre d'or. Les luthiers étaient alors préoccupés par la beauté des
proportions.
 Dans les mathématiques : en algèbre avec les suites de Fibonacci et en géométrie avec le pentagone
d’or , les triangles d’or , les spirales d’or …..
La figure est construite à partir d'un grand rectangle d'or.
On retire le grand carré au grand rectangle d'or et on obtient un petit rectangle d'or.
Ensuite, on retire le petit carré au petit rectangle d'or et on obtient un rectangle d'or plus petit.
On réitère l'opération indéfiniment.
La spirale obtenue est une spirale équiangulaire qui se rencontre beaucoup dans la nature : tournesols,
pommes de pins, coquillages, disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes.
 Dans la technologie récente : qui , elle aussi, utilise cette divine proportion pour construire ses écrans
au format
9
16
.

Qui était Fibonacci ?
Fibonacci est né à Pise en 1175, en Italie . Son vrai nom est Léonardo Pisano, ou
Léonard de Pise.
Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.
(Bonacci signifie chanceux , de bonne fortune)
Bonacci est l'un des plus grands mathématiciens du moyen – âge.
C'est lui qui a introduit la numération décimale et l'écriture arabe des chiffres en
Occident . Ceci illustre les liens entre la vitalité commerciale des villes d'Italie de
l'époque et la créativité scientifique et artistique de leurs membres.
Son éducation s’est faite en grande partie en Afrique du Nord . En 1202, il publie Liber Abaci (« Le livres
des calculs »), un traité sur les calculs et la comptabilité fondée sur le calcul décimal à une époque où tout
l'Occident utilisait encore les chiffres romains et calculait sur abaque. Par cette publication, Fibonacci
introduit le système de notation indienne en Europe. ( un système bien plus puissant et plus rapide que la
notation romaine). L'invention sera mal reçue car le public ne comprenait plus les calculs que faisaient les
commerçants. En 1280, Florence interdit même l'usage des chiffres arabes par les banquiers. On jugea que le
0 apportait la confusion et des difficultés au point qu'ils appelèrent ce système cifra, qui signifie
«code secret ».
Fibonacci est connu de nos jours pour un problème conduisant aux nombres et à la suite qui portent son
nom, mais à son époque, ce sont surtout les applications de l'arithmétique au calcul commercial qui l'ont fait
reconnaître : calcul du profit des transactions, conversion entre monnaies de différents pays. Son travail sur
la théorie des nombres était ignoré de son vivant .
Définition
La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues..
Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, Fibonacci décrit la croissance
d'une population de lapins :
« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »
Ce problème est à l'origine de la suite dont le n-ième terme correspond au nombre de paires de lapins au
n-ième mois.
Voilà les premiers nombres de la suite : F1 = 1 ; F2 = 1 ; F3 = 2 ; F4 = 3 ; ...etc
Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :
si on note Fn le nème nombre de Fibonacci,
nnn FFF   12
Si on calcule les valeurs des quotients des termes de la suite ,, on remarque que l'on obtient des nombres de
plus en plus proches les uns des autres (sans jamais être égaux !) et se rapprochent du nombre d'or.
On peut démontrer que la suite des quotients
n
n
F
F1
a pour limite le nombre d'or lorsque n tend vers l'infini .
Utilisation de la suite de Fibonacci
 Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'algorithme d'Euclide qui
détermine le plus grand commun diviseur de deux entiers.
 Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du triangle de Pascal .
 Une utilisation intéressante des suites de Fibonacci est la conversion des miles en kilomètres.
 Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont
égaux aux nombres de Fibonacci.
 Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques
sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de
pin.