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!"#$%&'()*+)La#suite#des#nombres#de#Fibonacci#
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La! suite! des! nombres! de! Fibonacci! est! ! 1,! 1,! 2,! 3,! 5,! 8,! 13,! ...! où! chaque! nombre! est! la! somme! des! deux!
précédents.!Cette!suite!de!nombres!possède!de!nombreuses!propriétés!qui!ne!sont!pas!seulement!des!curiosités!
mathématiques!:!la!suite!des!nombres!de!Fibonacci!joue!un!rôle!important!dans!de!nombreuses!applications!et!
aussi!dans!la!résolution!du!célèbre!problème!numéro!10!de!Hilbert,!la!résolubilité!des!équations!diophantiennes.!
Posons!!F1!=!F2!=!1,!alors!le!nème!!nombre!de!la!suite!peut!être!obtenu!ainsi!:!
,*-)./)0).Ŷоϭ1).ŶоϮƉŽƵƌŶшϯ͘)
Le!problème!que!nous!voulons!étudier!est!la!relation!algébrique!entre!la!suite!de!Fibonacci!et!la!divisibilité!
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,2-!Etudiez!le!reste!des!nombres!de!Fibonacci!dans!la!division!euclidienne!par!N!où!N!=!Fn!(n!ш!3).!Quand!est!ce!
que!le!reste!est!0!?!
Exemple!:!si!nous!choisissons!N!=!3!=!F4!alors!les!restes!de!F1,!F2,!...!sont!1,!1,!2,!0,!2,!2,!1,!0,!1,!1,!2,!0,!...!
Conclusion:!Fm!est!divisible!par!Fn!noté!Fn|Fm!!lorsque!m!est!divisible!par!n,!i.e.!n|m.!(m!est!un!entier!naturel).!Prouvez!cette!propriété.!
De!cette!conclusion!nous!voyons!que!Fpgcd(m,n)|Fm!and!Fpgcd(m,n)|Fn.!Ainsi!il!est!vrai!que!pgcd(m,n)|pgcd(Fm,!Fn).!
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,22-!Nous!pouvons!prouver!encore!plus!:!
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Théorème!:!Fpgcd(m,n)!=!pgcd(Fm,!Fn)!Žƶŵ͕Ŷшϭ.!
En!prouvant!les!lemmes!
Lemme!1!:!Il!existe!des!entiers!a!et!b!tels!que!pgcd(m,!n)!=!am!+!bn.!
Lemme!2!:!Fm+n!=!FŵоϭFn!+!FmFn+1,!FŵоŶ!с;оϭͿn+1(FŵоϭFn!о&mFŶоϭ).!
!
,222-!A!partir!de!(ii)!nous!pouvons!prouver!les!conséquences!suivantes!:!
(a)!Fn!et!Fn+1!Ŷ͛ŽŶƚĂƵĐƵŶĚŝǀŝƐĞƵƌĐŽŵŵƵŶ!(n!ш!1).!
(b)!Fm|Fn!si!et!seulement!si!m|n!(m,!n!ш!1).!
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,23-!Nous!pouvons!aussi!prouver!les!identités!suivantes!:!
Fn+1
2=!FnFn+2!н;оϭͿn!
F1
2!+!F2 2!+!Z!Z!Z!+!Fn 2!=!FnFn+1!
F1F2!+!F2F3!+!Z!Z!Z!+!F2nF2n+1!=!F2n
2!
Fn
2!+!Fn+1 2!=!F2n+1!
F1!+!2F2!+!3F3!+!Z!Z!Z!+!nFn!=!nFn+2!о!Fn+3!+!2!
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,23-!Retrouver!la!suite!des!nombres!de!Fibonacci!!dans!le!célèbre!triangle!de!Pascal!:!
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