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Problème 1. La suite des nombres de Fibonacci
La suite des nombres de Fibonacci est 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... où chaque nombre est la somme des deux précédents. Cette suite de nombres possède de nombreuses propriétés qui ne sont pas seulement des curiosités mathématiques : la suite des nombres de Fibonacci joue un rôle important dans de nombreuses applications et aussi dans la résolution du célèbre problème numéro 10 de Hilbert, la résolubilité des équations diophantiennes. ème
Posons F1 = F2 = 1, alors le n nombre de la suite peut être obtenu ainsi : (1) Fn = FŶоϭ+ FŶоϮƉŽƵƌŶшϯ͘ Le problème que nous voulons étudier est la relation algébrique entre la suite de Fibonacci et la divisibilité (i) Etudiez le reste des nombres de Fibonacci dans la division euclidienne par N où N = Fn (n ш 3). Quand est ce que le reste est 0 ? Exemple : si nous choisissons N = 3 = F4 alors les restes de F1, F2, ... sont 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, ... Conclusion: Fm est divisible par Fn noté Fn|Fm lorsque m est divisible par n, i.e. n|m. (m est un entier naturel). Prouvez cette propriété. De cette conclusion nous voyons que Fpgcd(m,n)|Fm and Fpgcd(m,n)|Fn. Ainsi il est vrai que pgcd(m,n)|pgcd(Fm, Fn). (ii) Nous pouvons prouver encore plus : Théorème : Fpgcd(m,n) = pgcd(Fm, Fn) Žƶŵ͕Ŷшϭ. En prouvant les lemmes Lemme 1 : Il existe des entiers a et b tels que pgcd(m, n) = am + bn. n+1
Lemme 2 : Fm+n = FŵоϭFn + FmFn+1, FŵоŶ с;оϭͿ (FŵоϭFn о&mFŶоϭ). (iii) A partir de (ii) nous pouvons prouver les conséquences suivantes : (a) Fn et Fn+1 Ŷ͛ŽŶƚĂƵĐƵŶĚŝǀŝƐĞƵƌĐŽŵŵƵŶ (n ш 1). (b) Fm|Fn si et seulement si m|n (m, n ш 1). (iv) Nous pouvons aussi prouver les identités suivantes : 2
n Fn+1 = FnFn+2 н;оϭͿ
2
2
2
F1 + F2 + ·∙ ·∙ ·∙ + Fn = FnFn+1 2
F1F2 + F2F3 + ·∙ ·∙ ·∙ + F2nF2n+1 = F2n 2
2
Fn + Fn+1 = F2n+1 F1 + 2F2 + 3F3 + ·∙ ·∙ ·∙ + nFn = nFn+2 о Fn+3 + 2 (iv) Retrouver la suite des nombres de Fibonacci dans le célèbre triangle de Pascal :