Le code Da Vinci, le nombre d`or et la suite de Fibonacci

Le code Da Vinci, le nombre d’or et la suite de
Fibonacci : sûrement une question de botanique! (suite)
Jocelyn Dagenais, conseiller pédagogique à la commission scolaire Marie-Victorin
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Maintenant que les présentations ont été faites, allons voir
plus en détails comment le construire, ce fameux nombre
d’or, et où on le retrouve.
Partage d’un segment pour y voir apparaître le nombre
d’or
a) Soit un segment
AB
b) Placez I, le milieu de
AB
c) Tracez la perpendiculaire d à
AB
passant par B
d) Tracez l’arc de cercle de centre B et de rayon
BI
(équi-
valent à
AB
2
) et qui coupe la droite d en C
e) Tracez le segment
AC
f) Tracez l’arc de cercle de centre C et de rayon
CB
, qui
coupe
AC
en D
g) Tracez l’arc de cercle de centre A et de rayon
AD
, qui
coupe
AB
en M
On peut donc dire que le point M divise le segment
AB
en
moyenne et extrême raison.
AM AB
MB BM
MB AM
AM AB
1, 618
10, 618
Si AB 1, alors
1
AM 0, 618
= = Φ =
= = =
Φ
=
= = = Φ −1
Φ
GRMS ENVOL no 139 — avril-mai-juin 2007 25
AB
d
D
M
I
C
Construction du rectangle d’or
Prenons un segment
AB
comme mesure du petit côté du
rectangle.
a) Construisez la perpendiculaire à
AB
passant par A
b) Construisez le carré ABCD
c) Construisez le point I milieu de
AD
d) Construisez le cercle de centre I et de rayon
IC
e) Nommez le point d’intersection entre le cercle et la per-
pendiculaire, E
f) Construisez la perpendiculaire à
AE
passant par E
g) Construisez la droite BC
h) Nommez l’intersection des droites, F.
Le rectangle AEFB est un rectangle d’or et le segment
AE
représente le nombre d’or.
Voyons le calcul de la mesure de
AE
:
Dans le triangle IDC, nous savons que
2 2 2
ID + DC = IC
Si nous dénissons
AD
=
DC
=
BC
=
BC
= 1, nous
pouvons dire que
1
ID 2 =
2 2 2
22
2
2
ID + DC = IC
11 IC
2
11 IC
4
5IC
2
  + =
+ =
=
( )
1 5
Alors AE AI IE et IC IE
2 2
1 5
AE 2
= + + =
+
=
AI
F
ED
CB

Nombre d’or dans le pentagone régulier
°
°
°
°
° °
°
FD
FD
AD
FD AD
FC
AC
FC AC
DC AD AC
DC AD
DC AD
DC
AC
AD
DC
Calcul de
= sin18
= ×sin18
= sin18
= ×sin18
= sin18 + sin18
= × 2 sin18
= × 0,618
= 0,618
= 1,618 = Φ
Le nombre d’or et les éléments de mesures des
bâtisseurs romans
Le corps humain a servi d’instrument de mesure avec des
parties du corps facilement manipulables : la paume de
la main, la palme (distance entre l’extrémité de l’index et
l’extrémité de l’auriculaire), l’empan (distance entre l’ex-
trémité du pouce et l’extrémité de l’auriculaire), le pied et
la coudée « royale » (distance entre l’extrémité du coude
et l’extrémité du majeur). Il semblerait que c’est cette der-
nière mesure qui a servi de base pour les autres mesures
en lien avec la suite géométrique de Fibonacci.
Paume Palme Empan
2
1
Φ
1
Φ
1
7,64 cm 12,36 cm 20 cm
Pied Coudée
Φ Φ2
32,36 cm 52,36 cm
(de nos jours moins
de 50 cm)
Nombre d’or et la botanique
Que ce soient les écailles des pommes de pin, les graines
au centre du tournesol, les piquants des cactus ou les
écailles des ananas, on retrouve même le nombre d’or
dans la botanique.
Voici la pomme de pin avec 13 spires dans un sens et 8
dans l’autre.
(http://math.smith.edu/~phyllo/)
Voici la marguerite avec 21 spires dans un sens et 34 dans
l’autre.
(http://math.smith.edu/~phyllo/)
A
36˚
E
DC
B
18˚
72˚
108˚
36˚
F
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26 GRMS

Comme on peut le voir, les spires vont dans les deux sens :
positif et négatif.
En calculant les spires, on voit apparaître les nombre de la
suite de Fibonacci.
Mais pourquoi en est-il ainsi?
Certaines espèces poussent de manière à ce que les
écailles, graines, feuilles, etc, soient disposées sur une
spirale à chaque 137,50776º. Cet angle est correspond à
la division de la circonférence d’un cercle en 2 parties
proportionnelles à 1 et au nombre d’or.
Comment obtient-on cet angle ?
360 360
Angle 137, 50776
11 5
12
° °
α = = ≈
+ Φ +
+
Nombre d’or et l’architecture
La tour du CN à Toronto
À travers l’histoire, on peut trouver
plusieurs exemples architecturaux in-
téressants où nous voyons apparaître
l’utilisation du nombre d’or. Les pyra-
mides d’Égypte, le Parthénon, Notre-
Dame-de-Paris, le bâtiment des Na-
tions Unies ou la tour du CN en sont
quelques exemples. Ainsi, pour la
tour du CN, la terrasse d’observation
(endroit où il y a le plancher de verre)
est à 342 mètres et la hauteur totale de
la tour est de 553,33 mètres. Le rap-
port entre ces deux mesures est égal à
0,618, ce qui représente phi.
La pyramide de Chéops
Je crois que c’est l’exemple que je cite le plus souvent en
classe. Une seule gure réalisée avec Cabri 3D v2 suft.
Si l’on considère la mesure du côté de la base de la pyra-
mide ce-dessous comme étant égale à 2 :
• Mesure de l’apothème
EG = Φ
• Mesure de la hauteur
EF Φ=
• Mesure des arêtes
, , et EA EB EC ED Φ+2=
Les dimensions réelles de la pyramide de Chéops
• Mesure des côtés de la base (presque un carré parfait) :
230,37 mètres (440 coudées)
• Mesure de la hauteur : 146,59 mètres (280 coudées)
Le théâtre d’Épidaure en Grèce
Ce théâtre, construit entre 330 et 320 av. JC. avec une
acoustique incomparable, est constitué de 34 rangées dans
la partie basse et de 21 rangées dans la partie supérieure,
soit deux nombres faisant partie de la suite de Fibonacci.
Les curiosités du nombre d’or
Une carte de crédit
En lien avec un article que j’ai rédigé l’année dernière,
on peut presque retrouver l’inverse du nombre d’or en
prenant les dimensions d’une carte de crédit, ce qui nous
donnera environ 0,628 (le bon résultat étant 0,618).
Φ
angle α
137,5º
1
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Le corps humain
• Le nombril divise la hauteur de l’homme en deux seg-
ments. Ces deux segments sont dans le rapport du nom-
bre d’or.
•
distance extrémité de la main droite et épaule gauche
distance épaule gauche et extrémité de la main gauche = Φ
Comme vous avez pu le constater, on retrouve le nombre
d’or un peu partout. Au l de mes lectures et découvertes,
je me suis aperçu du travail colossal que les premiers bâ-
tisseurs de cathédrales, pyramides et autres bâtiments ont
fait au niveau des calculs mathématiques. Avec nos out-
ils de géométrie dynamique et de calculs performants, je
crois que nous oublions tout le travail que représentaient
ces constructions. Souvent d’une beauté inégalée ou d’une
grande envergure, chacune d’elles se démarque par la pas-
sion et l’inspiration de ses créateurs et bâtisseurs.
En terminant, ce que nous remarquons encore une fois,
c’est que la mathématique a tenu et tient toujours une
place centrale dans tout ce qui nous entoure.
Référence :
Géométrie du nombre d’or de Robert Vincent aux éditions
Chalagam.
Et quelques sites Internet :
• http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dos-
sier63-1.php
• http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dos-
sier239-1.php
• http://goldennumber.net/
• http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=afch
e&quoi=bonacci
• http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/
NbOr.htm
• http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=afch
e&quoi=./n/nbor.html
• http://www.biblelieux.com/epidaure.htm
• http://www.vsmp.ch/bulletin/no89/boacci/bonacci.
html
• http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-
geometriques/nombre-d-or-geometrie.php
• http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
• http://www.col-camus-soufenheim.ac-strasbourg.fr/
Page.php?IDP=135
• http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/
textes/rectangle_dor.htm
• http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/
textes/nombre_dor.htm
• http://www.nombredor.be/index.html
• http://users.hol.gr/~helen/index.files/
LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm
• http://www.col-camus-soufenheim.ac-strasbourg.fr/
Page.php?IDP=287&IDD=0
• http://www.goldenmuseum.com/
• http://www.maths-rometus.org/mathematiques/maths-
et-nombres/le-nombre-d-or.asp
• http://www.premiumwanadoo.com/monjcb/cabri/
regle%20compas/50or.htm
• http://perso.orange.fr/pixelle/notre-dame.htm
• http://maven.smith.edu/~phyllo/
• http://www.thotweb.com/encyclopedie/pyramide_khe-
ops.php
• http://expo.ifrance.com/lenombre/som_his.htm
• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibo-
nacci/bnat.html
• http://pass.maths.org.uk/issue3/bonacci/index.html
ENVOL no 139 —avril-mai-juin 2007
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