Le code Da Vinci, le nombre d`or et la suite de Fibonacci

Le code Da Vinci, le nombre d’or et la suite de
Fibonacci : sûrement une question de botanique! (suite)
Jocelyn Dagenais, conseiller pédagogique à la commission scolaire Marie-Victorin
[email protected]
Maintenant que les présentations ont été faites, allons voir
plus en détails comment le construire, ce fameux nombre
d’or, et où on le retrouve.
Partage d’un segment pour y voir apparaître le nombre
d’or
a) Soit un segment AB
b) Placez I, le milieu de AB
c) Tracez la perpendiculaire d à AB passant par B
d) Tracez l’arc de cercle de centre B et de rayon BI (équivalent à
AB
2
) et qui coupe la droite d en C
e) Tracez le segment AC
f) Tracez l’arc de cercle de centre C et de rayon CB , qui
coupe AC en D
g) Tracez l’arc de cercle de centre A et de rayon AD , qui
coupe AB en M
On peut donc dire que le point M divise le segment AB en
moyenne et extrême raison.
AM
MB
MB
AM
=
=
AB
= Φ = 1, 618
BM
AM
AB
=
1
Φ
= 0, 618
1
Φ
= Φ −1
d
C
D
A
GRMS
I
Prenons un segment AB comme mesure du petit côté du
rectangle.
a) Construisez la perpendiculaire à AB passant par A
b) Construisez le carré ABCD
c) Construisez le point I milieu de AD
d) Construisez le cercle de centre I et de rayon IC
e) Nommez le point d’intersection entre le cercle et la perpendiculaire, E
f) Construisez la perpendiculaire à AE passant par E
g) Construisez la droite BC
h) Nommez l’intersection des droites, F.
Le rectangle AEFB est un rectangle d’or et le segment
AE représente le nombre d’or.
Voyons le calcul de la mesure de AE :
2
2
B
2
ID + DC = IC
2
1  + 12 = IC
2 
1 + 1 = IC 2
4
5
2 = IC
Alors AE =
AE =
M
2
2
C
F
D
E
Dans le triangle IDC, nous savons que ID + DC = IC
Si nous définissons AD = DC = BC = BC = 1, nous
1
pouvons dire que ID =





Si AB = 1, alors
AM = 0, 618 =
Construction du rectangle d’or
2
2
2
1
2
+
5
2
1+ 5
(AI + IE )et IC = IE
B
2
A
ENVOL no 139 — avril-mai-juin 2007
I
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Nombre d’or dans le pentagone régulier
Calcul de FD
FD
AD
= sin18
AC
= sin18
Palme
Empan
1
1
1
Φ
°
FD = AD × sin18
FC
Paume
2
Φ
°
°
FC = AC × sin18
°
°
DC = AD sin18 + AC sin18
DC = AD × 2 sin18
°
°
7,64 cm
12,36 cm
Pied
Coudée
Φ
Φ2
20 cm
DC = AD × 0, 618
DC
AC
AD
DC
= 0, 618
32,36 cm
= 1, 618 = Φ
52,36 cm
(de nos jours moins
de 50 cm)
A
Nombre d’or et la botanique
36˚
18˚
E
B
108˚
Voici la pomme de pin avec 13 spires dans un sens et 8
dans l’autre.
36˚
D
Que ce soient les écailles des pommes de pin, les graines
au centre du tournesol, les piquants des cactus ou les
écailles des ananas, on retrouve même le nombre d’or
dans la botanique.
72˚
F
C
Le nombre d’or et les éléments de mesures des
bâtisseurs romans
Le corps humain a servi d’instrument de mesure avec des
parties du corps facilement manipulables : la paume de
la main, la palme (distance entre l’extrémité de l’index et
l’extrémité de l’auriculaire), l’empan (distance entre l’extrémité du pouce et l’extrémité de l’auriculaire), le pied et
la coudée « royale » (distance entre l’extrémité du coude
et l’extrémité du majeur). Il semblerait que c’est cette dernière mesure qui a servi de base pour les autres mesures
en lien avec la suite géométrique de Fibonacci.
(http://math.smith.edu/~phyllo/)
Voici la marguerite avec 21 spires dans un sens et 34 dans
l’autre.
(http://math.smith.edu/~phyllo/)
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GRMS
Comme on peut le voir, les spires vont dans les deux sens :
positif et négatif.
En calculant les spires, on voit apparaître les nombre de la
suite de Fibonacci.
Mais pourquoi en est-il ainsi?
Certaines espèces poussent de manière à ce que les
écailles, graines, feuilles, etc, soient disposées sur une
spirale à chaque 137,50776º. Cet angle est correspond à
la division de la circonférence d’un cercle en 2 parties
proportionnelles à 1 et au nombre d’or.
La pyramide de Chéops
Je crois que c’est l’exemple que je cite le plus souvent en
classe. Une seule figure réalisée avec Cabri 3D v2 suffit.
Si l’on considère la mesure du côté de la base de la pyramide ce-dessous comme étant égale à 2 :
• Mesure de l’apothème EG = Φ
• Mesure de la hauteur EF = Φ
• Mesure des arêtes EA , EB, EC et ED = Φ+2
Les dimensions réelles de la pyramide de Chéops
• Mesure des côtés de la base (presque un carré parfait) :
230,37 mètres (440 coudées)
• Mesure de la hauteur : 146,59 mètres (280 coudées)
Comment obtient-on cet angle ?
Angle α =
360
°
1+ Φ
=
360
1+
°
1+ 5
≈ 137, 50776
2
1
angle α
137,5º
Le théâtre d’Épidaure en Grèce
Ce théâtre, construit entre 330 et 320 av. JC. avec une
acoustique incomparable, est constitué de 34 rangées dans
la partie basse et de 21 rangées dans la partie supérieure,
soit deux nombres faisant partie de la suite de Fibonacci.
Φ
Nombre d’or et l’architecture
La tour du CN à Toronto
À travers l’histoire, on peut trouver
plusieurs exemples architecturaux intéressants où nous voyons apparaître
l’utilisation du nombre d’or. Les pyramides d’Égypte, le Parthénon, NotreDame-de-Paris, le bâtiment des Nations Unies ou la tour du CN en sont
quelques exemples. Ainsi, pour la
tour du CN, la terrasse d’observation
(endroit où il y a le plancher de verre)
est à 342 mètres et la hauteur totale de
la tour est de 553,33 mètres. Le rapport entre ces deux mesures est égal à
0,618, ce qui représente phi.
GRMS
Les curiosités du nombre d’or
Une carte de crédit
En lien avec un article que j’ai rédigé l’année dernière,
on peut presque retrouver l’inverse du nombre d’or en
prenant les dimensions d’une carte de crédit, ce qui nous
donnera environ 0,628 (le bon résultat étant 0,618).
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Le corps humain
•  http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
• Le nombril divise la hauteur de l’homme en deux segments. Ces deux segments sont dans le rapport du nombre d’or.
•
distance extrémité de la main droite et épaule gauche
distance épaule gauche et extrémité de la main gauche
= Φ
Comme vous avez pu le constater, on retrouve le nombre
d’or un peu partout. Au fil de mes lectures et découvertes,
je me suis aperçu du travail colossal que les premiers bâtisseurs de cathédrales, pyramides et autres bâtiments ont
fait au niveau des calculs mathématiques. Avec nos outils de géométrie dynamique et de calculs performants, je
crois que nous oublions tout le travail que représentaient
ces constructions. Souvent d’une beauté inégalée ou d’une
grande envergure, chacune d’elles se démarque par la passion et l’inspiration de ses créateurs et bâtisseurs.
En terminant, ce que nous remarquons encore une fois,
c’est que la mathématique a tenu et tient toujours une
place centrale dans tout ce qui nous entoure.
• http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/
Page.php?IDP=135
• http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/
textes/rectangle_dor.htm
• http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/
textes/nombre_dor.htm
•  http://www.nombredor.be/index.html
• h t t p : / / u s e r s . h o l . g r / ~ h e l e n / i n d e x . f i l e s /
LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm
• http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/
Page.php?IDP=287&IDD=0
•  http://www.goldenmuseum.com/
• http://www.maths-rometus.org/mathematiques/mathset-nombres/le-nombre-d-or.asp
• http://www.premiumwanadoo.com/monjcb/cabri/
regle%20compas/50or.htm
•  http://perso.orange.fr/pixelle/notre-dame.htm
•  http://maven.smith.edu/~phyllo/
Référence :
Géométrie du nombre d’or de Robert Vincent aux éditions
Chalagam.
• http://www.thotweb.com/encyclopedie/pyramide_kheops.php
•  http://expo.ifrance.com/lenombre/som_his.htm
• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
Et quelques sites Internet :
• http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier63-1.php
•  http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html
• http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier239-1.php
•  http://goldennumber.net/
• http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affich
e&quoi=fibonacci
• http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/
NbOr.htm
• http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affich
e&quoi=./n/nbor.html
•  http://www.biblelieux.com/epidaure.htm
• http://www.vsmp.ch/bulletin/no89/fiboacci/fibonacci.
html
• http://www.chateau-de-mezerville.org/curiositesgeometriques/nombre-d-or-geometrie.php
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