DÉVELOPPEMENT : THÉORÈME DE LAMÉ [Skandalis algèbre p.2]

DÉVELOPPEMENT : THÉORÈME DE LAMÉ [Skandalis algèbre p.2]
Le nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide ne dépasse pas  où  est le nombre de chiffres de
l’écriture en base 10 de . Autrement dit, si    alors on fera moins de  divisions euclidiennes.
Quelques notations & résultats préliminaires
1) On note 
 les termes de la suite de Fibonacci tels que :   et  
2) Rappels sur le nombre d’or :   
 solution de        donc :     
3) On montre par récurrence que    on a : 
Démonstration
1) À toute étape de l’algorithme on a :   
  et   
donc :       
2) On note  le nombre d’étapes de l’algorithme, comme  et  ne sont pas obtenus par
division, on le termine avec :       avec   
…
On vient de montrer que  majore le nombre  de divisions euclidiennes, par l’intermédiaire
de la suite de Fibonacci. Par exemple, si on cherche le PGCD de  et de   , on sait
que  ne peut pas dépasser  et il suffit de chercher dans la suite de Fibonacci
l’indice maximal possible :   et   donc il y aura au maximum 19 étapes.
3) Résumons dans le cas où  s’écrit avec  chiffres :      
Efficacité de la majoration
Si on cherche par exemple le PGCD de  (4 chiffres) et , on a besoin de 19 divisions (on est dans
le « pire » cas où    à chaque étape). On a quasiment le maximum prévu par Lamé :     