La suite des nombres de FIBONACCI

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La suite des nombres de Fibonacci est une suite
de nombres qui est en fait la somme des deux
nombres précédents de la suite:
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89
; 142 ; 231
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Notre sujet était divisé en plusieurs parties :
 Étudier le reste des nombres de Fibonacci.
 Nous allons ensuite parler du triangle de Pascal.
 Nous avons en plus prouvé trois identités en rapport
avec la suite.
 Enfin, en étudiant de près la suite, nous avons
découvert une propriété intéressante.
Les cas ou le reste de la division euclidienne
entre Fn et Fm est zero
Si l’on divise un nombre de la suite par un autre nombre de la suite, on
retrouve dans les restes des divisions euclidiennes la suite de Fibonacci.
LE TRIANGLE DE PASCAL
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Le triangle de Pascal est un outil mathématique
créé de cette manière :
Pour retrouver les nombres de la suite de Fibonacci dans le triangle
de Pascal, il faut faire la somme des chiffres de la diagonale
ascendante du triangle.
DES IDENTITÉS:
Nous avons prouvé les identités suivantes :
F  F2  ...  F n 2F nF n1
2
1
2
F1F2  F 2F3  ...  F2 n F2 n1 F 2n
2
1F1  2F2  3F3  ...  nF n nF n 2 F n3 2
LA RÉCURRENCE
La récurrence est une méthode pour montrer que des identités sont
vraies pour tous les nombres. Cette méthode se fait en deux parties.
- Tout d’abord on prouve que l’identité est vraie avec 1 Initialisation
- Ensuite on prouve que pour tout nombre l’identité est vraie pour le
nombre suivant Hérédité.
Par exemple, si cela marche pour un nombre, cela marche pour le
prochain. C’est-à-dire que, quand elle marche pour 1, elle marche
pour 2 et si elle marche pour 8 elle marche pour 9 ...
UNE IDENTITÉ BASÉE SUR LA SUITE
FIBONACCI

Pour l’identité suivante on a :
F 1  F2  ...  Fn  F nF ( n1)
2

2
2
Pour n=1 on a :
F 1  F 1F 11
2
car
1  11
2
EXEMPLE POUR BIEN COMPRENDRE
F 1  F2  ...  Fn  F nF ( n1)
2
2
2
Pour n = 5 on a donc :
F  F2  F3  F4  F5  F5 F6
2
1
2
2
2
2
12  12  2 2  32  52  1  1  4  9  25  40
F5 F6  5  8  40
Et F 1 × F 2 = 1×1 = 1 donc pour n=1 l’identité est
vraie.
On suppose que l’identité est vraie pour tout n
appartenant à N :
F  F2  ...  Fn F nF n1
2
1
2
2
On suppose que cela marche pour n et on
montre que c’est vraie pour n+1 ce qui revient
à montrer que :
F  F2  ...  Fn  F
2
1
2
2
2
n 1
F n1F n2
ON CALCULE :
( F  F2  ...  Fn )  F
2
1
2
= ( F nF n1)  F
2
2
n 1
= F nF n1 F n1Fn1
= F n1( F n F n1)
= F n1F n 2
2
n 1
Le chercheur, Qimh, nous a dit de nous pencher sur : Fn/Fn-1
Dès lors, nous avons remarqué un rapport qui se rapprochait de plus en plus
de 1,618033989.
Nous l’avons alors mis dans le convertisseur de Plouffe, et il nous a donné :
x est une solution de x  x  1  0
2
Or, cela ne disait rien à de pauvres élèves de seconde tels que nous.
Nous avons donc (avec un peu d’aide, je vous l’accorde) décidé de résoudre
l’équation suivante :
x2  x 1  0
x2  x 1  0
2
1
1

 x    1  0
2
4

2
1
5

x    0
2
4

2
1
5

x  
2
4

 x
1
5

2
4
ou
x
5 1

4 2
ou
5 1
x

2 2
1 5
x
2
ou
Nombre d’or
ou
1
5

2
4
5 1
x

4 2
x
5 1

2 2
1 5
x
2
x
Nombre en bois 
(C’est en fait l’inverse du
nombre d’or au signe près)
FIN
TACK SÅ MYCKET !