efrei – l`3

EFREI – L’3
TRAVAUX DIRIGES N° 3
EXERCICE N°1 :
Soit a un nombre réel et X une variable aléatoire telle que :
a
X ()   * et n  N * , P( X  n) 
.
n(n  1)(n  2)
Déterminer la valeur de a puis calculer, si elle existe E(X).
EXERCICE N°2 :
Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω)= et dont la loi de probabilité vérifie la relation
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suivante : n  N * , p(n)  p(n  1).
n
Déterminer cette loi.
EXERCICE N°3 :
Deux joueurs A et B jouent au dé. A commence. Le gagnant est le premier joueur à obtenir
l’as.
Déterminer la probabilité de victoire de chaque joueur.
EXERCICE N°4 :
Un photographe professionnel achète trois agrandisseurs qu’il décide de louer à la journée.
Le nombre de personnes se présentant dans une journée afin de louer un de ces appareils est
une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre 2.
Si une personne se présente et qu’un appareil est disponible, elle le loue pour la journée,
sinon elle se présente à nouveau le lendemain.
1. Calculer la probabilité pour qu’il n’y ait aucune demande non satisfaite à la fin de la
première journée puis à la fin de la deuxième journée.
2. Calculer la probabilité pour qu’à la fin de la deuxième journée, il y ait une personne non
satisfaite.
3. Même question avec n personnes non satisfaites.
4. Quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait pas eu de demande insatisfaite à la fin de la
première journée si il n’y en a pas eu à la fin de la deuxième journée ?
EXERCICE N°5 :
Soit n un entier non nul et soit p un réel tel que 0<p<1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On définit la
variable aléatoire Y de la façon suivante :
 Si X=k avec k>0, alors Y=k
 Si X=0, alors Y suit la loi uniforme sur ;;...; n .
Déterminer la loi de Y .