Qu`est-ce qu`une intégrale impropre et comment la calculer? ∫ 2 lim

Qu’est-ce qu’une intégrale impropre et comment la calculer?
Une intégrale impropre
ment,
Rb
a
f est une intégrale définie qu’on ne peut pas calculer directe-
• soit parce qu’au moins une des bornes a et/ou b est l’infini;
• soit parce que la fonction f qu’on veut intégrer faut l’infini en un point de l’intervalle
[a, b].
Exemples:
(i)
R∞
(ii)
R2
(iii)
Ra
ex dx ⇒ on calcule lim 1 ex dx, càd qu’on résoud d’abord l’intégrale entre 1
a→∞
et a, puis on calcule la limite du résultat.
1
3
1 x−1 dx
R1 3
0 x−1 dx
R4
3
dx
1 x−2
R2
3
a x−1 dx
Ra 3
lim− 0 x−1
dx
a→1
⇒ on calcule lim
a→1+
⇒ on calcule
⇒ ici, on doit séparer l’intégrale en deux parties:
Z 2
Z 4
3
3
3
dx =
dx +
dx
1 x−2
2 x−2
1 x−2
Z a
Z 4
3
3
= lim−
dx + lim+
dx
a→2
b→2
1 x−2
b x−2
Z
4
et on calcule chaque terme séparément.
Si l’on trouve des nombres finis, on a le résultat et l’intégrale de départ converge. Si l’un
des termes vaut l’infini, alors l’intégrale de départ vaut aussi l’infini et donc diverge.
c G. Heilporn, 2011
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