Université de Nice - L2 - Probabilités FEUILLE DE TD NUMÉRO 2

Université de Nice - L2 - Probabilités
FEUILLE DE TD NUMÉRO 2
CORRECTIONS
PROBABILITÉS FINIES
Dans chacun des exercices qui suivent, on prendra un grand soin à modéliser l’expérience considérée
à l’aide d’un espace de probabilité, dont on précisera la mesure de probabilité.
Exercice 1. Soit Ω = {1, . . . , N}. Soit une suite de nombres (pi)1≤i≤Npositifs avec PN
i=1 pi= 1.
Montrez que la formule P(A) = Pi∈Apipour Asous ensemble de Ωdéfinit une probabilité sur Ω.
Correction
•0≤P(A)≤1X
•P(Ω) = PN
i=0 pi= 1 X
•P(A) + P(B) = Pi∈Api+Pi∈Bpi=Pi∈A∪Bpi=P(A∪B)X
Exercice 2. Soit Ω = {1, . . . , N}. Soit 0< x < 1. Trouver Stelle que (pi=Sxi)1≤i≤Nsoit une
loi de probabilité sur Ω.
Correction
Il faut que
N
X
i=1
pi= 1
⇒
N
X
i=1
Sxi= 1
⇒S=1
PN
i=1 xi
⇒S=1
1−xN+1
1−x−1=1−x
1−xN+1 −1 + x=1−x x−xN+1 =1−x x·(1 −xN).
Exercice 3. On lance Nfois une pièce à pile ou face.
(1) Décrire l’espace des événements Ω.
(2) Soit 0< r < 1. A un événement w∈Ω, on associe
pw=N
krk(1 −r)N−k
Si wcontient kpile et N−kface. Montrez que (pw)w∈Ωest une loi de probabilité sur Ω.
Correction
1

(1) Prennons 0pour pile et 1pour face. On a Ω∼
={0,1}N.
(2) •0≤pw≤1X
•On calcule :
N
X
i=0
pw=N
krk(1 −r)N−k= 1 X
Par la formule de Binôme de Newton. 
Exercice 4. Soit (Ω,P)un espace probabilisé. Montrez que
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Correction
Remarquons que A= (A\B)∪(A∩B), et (A\B),(A∪B)sont disjoints. Donc,
P(A∪B) + P(A∩B) = P(A\B)∪(B\A)∪(A∪B)+P(A∩B)
=P(A\B) + P(B\A)+2P(A∪B)
=P(A\B)∪(A∩B)+P(B\A)∪(A∩B)
=P(A) + P(B).
Remarquons qu’on utilise le fait que P(X∪Y) = P(X) + P(Y)si X,Ysont disjoints. 
Exercice 5. Soit (Ω,P)un espace probabilisé. Soit une fonction f: Ω → {x1, . . . , xp}. Montrez
que les poids pk=P(f−1({xk})) forment une loi de probabilité sur {x1, . . . , xp}.
Correction
Soit Pk:= f−1[{xk}]. Remarquons que, en utilisant les propriétés des applications, on a
•Pi∩Pj=∅,∀i6=j
• ∪p
i=1Pi= Ω
On vérifie que c’est une loi :
•0≤P(·)≤1X
•
p
X
k=1
pk=
p
X
k=1
P(f−1({xk}))
=
p
X
k=1
P(Pk)
=P∪p
k=1Pk(Car les ensembles sont disjoints)
=P(Ω)
= 1 X
2

Exercice 6. Quelle est la probabilité qu’en jetant six dés équilibrés et discernables (par exemple
par la couleur), toutes les faces exhibent un chiffre différent ?
Correction
Ω = {1,...,6}6,|Ω|= 66. Il y a 6×5× · · · × 2×1 = 6! tirages avec nombres tous différents, donc
|Ω|=6!
66.
Exercice 7. Quelles sont les probabilités que, parmi les familles de nenfants, n≥2, une famille
soit constituée d’enfants des deux sexes (événement A), puis des garçons et d’au plus une fille
(événement B). Calculer la probabilité de A∩B.
Correction
Ω = {0,1}n,|Ω|= 2n.
•Soit G:= {que des garçons}et F:= {que des filles}. Donc
P(A)=1−P(Ac)
= 1 −P(G∪F)
= 1 −P(G) + P(F)
= 1 −1
2n+1 2n= 1 −2n−1
•Au plus une fille ⇒pas de fille ou exactement une fille. Prenons F?:= {exactement une fille}.
P(B) = P(G∪F?)
=P(G) + P(F?)
=1
2n+n 2n
=1 + n
2n.
•A∩B=2 sexes et au plus une fille ⇒exactement une fille,
P(A∩B) = n
2n.
Exercice 8.
(1) Une urne contient Mjetons numérotés de 1àM. On tire successivement njetons en
remettant chaque fois le jeton tiré et en brassant bien. Donner la probabilité de l’événement
E:= {aucun jeton ne soit tiré plus d’une fois}.
(2) Application : un groupe de nétudiants sont réunis dans une même salle. Quelle est la
probabilité, pn, qu’au moins deux étudiants aient leur anniversaire le même jour. (On
suppose qu’aucun n’est né le 29 février et que nest inférieur à 365.)
Correction
Mjetons, ntirages, Ω = {1, . . . , M}ncar on remet les jetons. |Ω|=Mn.
|Tirage bijectif|=M(M−1) . . . (M−(n−1)) = M!
(M−n)!
3

donc
P(E) = M!
(M−n)!Mn.
On applique avec M= 365
pn= 1 −365!
(365 −n)!365n.
Avancé : On remarque que, si l’on veut calculer la valeur exacte pour, par exemple, p23, on
est obligé de passer par des très grandes valeurs comme 365!. Calculer cela n’est pas possible
sur une calculatrice non-spécialisée. (En revanche, Python n’a aucun problème...)
>>> from math import factorial
>>> factorial(365)
25104128675558732292929443748812027705165520269876079766872595193901106138220937
41966601800900025416937617231436098232866070807112336997985344536791065387238359
97043555327409376780914914294408643160469250745101348470255460140980059079655410
41195496105311886173373435145517193282760847755882291690213539123479186274701519
39680850494072260703300124632839880055048742799987669041697343786107818534466796
68715110496538881301368361990105291800561258445494886486176829158263475641489909
84138067809999604687488146734837340699359838791124995957584538873616661533093253
55125684505604638873812970295138115186141368892298651000544094394301469924411255
57552791407604927642537402504103910564219790032896000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Mais on peut faire mieux que des grosses calcules. Rappelons que
exp(x) = 1 + x+x2
2! +x3 3! +· · ·
Donc, pour xpetit, on peut approximer
exp −t
M'1−t M.
Et donc
P(E) = M(M−1) . . . (M−(n−1))
Mn=1−0 M·1−1 M· · · 1−n−1 M
≈exp 0
M·exp 1 M· · · exp n−1 M
= exp −Pn−1
k=0 k
M!
= exp −n(n−1)
2M
≈exp(−n2/2M).
Et finalement, p23 = 1 −P(E)≈1−exp(−232/(2 ·365) '0.5155. La probabilité est donc
supérieur à 0.5! (Et, est-ce que c’est une bonne approximation ? Python me donne que la vraie
valeur est 0.5072. Pas mal !)
4

Exercice 9. Des tickets au nombre de Msont édités et numérotés de 1àM. Pour simplifier, on
suppose que les npremiers (avec 2n≤M) sont gagnants. (Naturellement, les acheteurs ne le savent
pas.) Quelle est la probabilité qu’un acheteur de nbillets achète au moins un billet gagnant ?
Correction
Le nombre de tirages possible est M
n. Le nombre de tirages perdant est M−n n. La probabilité est
donc
1−M−n
n
M
n.
Exercice 10. Étant donné un espace de probabilité fini (Ω,P), montrer que P(A)≤P(B)si Aet
Bsont deux événements tels que A⊂B.
Correction
Voir TD1
Exercice 11. Étant donné un espace de probabilité fini (Ω,P), montrer pour toute famille A1, . . . , An
de névénements que
Pn
[
i=1
Ai≤
n
X
i=1
P(Ai).
Correction
Par récurrence. Pour la base, on prend n= 2, et
P(A1∪A2)≤P(A1) + P(A2)X
Maintenant, on veut montrer que si ça marche pour n−1, alors ça marche pour n.
P(∪n
i=1Ai) = P∪n−1
i=1 Ai∪An
≤P∪n−1
i=1 Ai+P(An)
≤
n−1
X
i=1
P(Ai) + P(An)
=
n
X
i=1
P(Ai).
Exercice 12. 2 personnes tirent un nombre de 0 à 99.
(1) Probabilité qu’elles tirent le même nombre?
(2) Probabilité qu’elles tirent des nombres différents qui ne contiennent pas 4?
Correction
Même nombre: (n1, n2)∈ {0,99}2.n1=n2, donc 100 tirages possibles sur 1002au total, donc
100
1002=1 100.
5