Triangles Isométriques Solution de l`exercice 1

Triangles Isométriques
Solution de l'exercice 1
1) Démontrez que les triangles OAI et OCK sont isométriques.
Solution : Nous avons les égalités suivantes :
1. OA = OC car O est le centre du parallélogramme ABCD
2. Angle(AOI) = Angle(COK) car ces 2 angles sont opposés
3. Angle(OAI) = Angle(OCK) car ces 2 angles sont alterne-interne
D'après un théorème du cours, les triangles OAI et OCK sont isométriques
2) Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont isométriques
Solution : En utilisant la méthode précédente, on démontre de même que les triangles
OAL et OCJ sont isométriques.
3) Justifiez les égalités suivantes : IO = OK et OJ = OL
Solution : Comme OAI et OCK sont isométriques, alors IO = OK. Comme OAL et OCJ
sont isométriques alors OJ = OL
4) En déduire qu’IJKL est un losange
Solution : Comme IO = OK et OJ = OL, les diagonales de IJKL se coupent en leur milieu.
IJKL est donc un parallélogramme. Mais comme de plus, ces diagonales sont
perpendiculaires, alors IJKL est un losange !
Triangles Semblables
Solution de l'exercice 1
Démontrez que les triangles ABB' et ACC' sont semblables.
Démontrons, conformément au théorème, que ces 2 triangles ont 2 angles égaux 2 à 2.
1. L'angle en A est commun aux 2 triangles
2. Les angles AB'B et AC'C sont tous les 2 des angles droits
Par conséquent les triangles AB'B et AC'C sont semblables !
Triangles Isométriques
Solution de l'exercice 2
Les triangles OBC et OAD sont isométriques. Pourquoi ?
Car leurs 3 côtés sont égaux 2 à 2. En effet :
1. OC = OA (car les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux)
2. OB = OD (idem)
3. AD = BC (car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même
longueur)

Donc leurs hauteurs issues de A et C sont égales : AI = CK
On en déduit que les triangles OAI et OKC sont isométriques (Pourquoi ! ! ). Parce que :
1. OA = OC
2. AI = CK
3. Angle(OAI) = Angle(OCK) (ce sont 2 angles alternes/internes)
Et d'après un théorème du cours, cela signifie que OAI et OKC sont isométriques D'où OI
= OK.
De même, en montrant que les triangles AOB et DOC sont isométriques, puis que les
triangles ODL et OBJ le sont aussi, on montre que OL = OJ. Tu aurais pu détailler ! !
Comme OI = OK et OL = OJ, les diagonales du quadrilatère IJKL se coupent en leurs
milieux.
Donc (Quelle propriété utilises-tu ? ) IJKL est un parallélogramme.
Triangles Semblables
Solution de l'exercice 2
1) Démontrez que H appartient au cercle de diamètre [BC]. En déduire que BC = 2.IH
Solution : HBC est rectangle en H, donc H appartient au cercle de diamètre [BC]. Le
milieu I de [BC] est le centre du cercle et donc : BC = 2.IH
2) Par une méthode semblable, démontrez que AC = 2.JH
Solution : De même, on démontre que AC = 2.JH
3) Démontrez que AB = 2.IJ
Solution : I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [AC]. D'après le théorème des
milieux, on en déduit que AB = 2.IJ
4) Déduire des 3 résultats précédents que les triangles ABC et IJH sont semblables.
Solution : Les 3 égalités précédentes prouvent que les triangles ABC et IJH ont leurs
côtés proportionnels. Ils sont donc semblables.
5) Quel est le sommet homologue de C ? En déduire que =
Solution : Dans les triangles semblables ABC et IJH, H est le sommet homologue à C. Par
conséquent : =