Triangles Isométriques Solution de l'exercice 1 1) Démontrez que les triangles OAI et OCK sont isométriques. Solution : Nous avons les égalités suivantes : 1. OA = OC car O est le centre du parallélogramme ABCD 2. Angle(AOI) = Angle(COK) car ces 2 angles sont opposés 3. Angle(OAI) = Angle(OCK) car ces 2 angles sont alterne-interne D'après un théorème du cours, les triangles OAI et OCK sont isométriques 2) Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont isométriques Solution : En utilisant la méthode précédente, on démontre de même que les triangles OAL et OCJ sont isométriques. 3) Justifiez les égalités suivantes : IO = OK et OJ = OL Solution : Comme OAI et OCK sont isométriques, alors IO = OK. Comme OAL et OCJ sont isométriques alors OJ = OL 4) En déduire qu’IJKL est un losange Solution : Comme IO = OK et OJ = OL, les diagonales de IJKL se coupent en leur milieu. IJKL est donc un parallélogramme. Mais comme de plus, ces diagonales sont perpendiculaires, alors IJKL est un losange ! Triangles Semblables Solution de l'exercice 1 Démontrez que les triangles ABB' et ACC' sont semblables. Démontrons, conformément au théorème, que ces 2 triangles ont 2 angles égaux 2 à 2. 1. L'angle en A est commun aux 2 triangles 2. Les angles AB'B et AC'C sont tous les 2 des angles droits Par conséquent les triangles AB'B et AC'C sont semblables ! Triangles Isométriques Solution de l'exercice 2 Les triangles OBC et OAD sont isométriques. Pourquoi ? Car leurs 3 côtés sont égaux 2 à 2. En effet : 1. OC = OA (car les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux) 2. OB = OD (idem) 3. AD = BC (car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur) Donc leurs hauteurs issues de A et C sont égales : AI = CK On en déduit que les triangles OAI et OKC sont isométriques (Pourquoi ! ! ). Parce que : 1. OA = OC 2. AI = CK 3. Angle(OAI) = Angle(OCK) (ce sont 2 angles alternes/internes) Et d'après un théorème du cours, cela signifie que OAI et OKC sont isométriques D'où OI = OK. De même, en montrant que les triangles AOB et DOC sont isométriques, puis que les triangles ODL et OBJ le sont aussi, on montre que OL = OJ. Tu aurais pu détailler ! ! Comme OI = OK et OL = OJ, les diagonales du quadrilatère IJKL se coupent en leurs milieux. Donc (Quelle propriété utilises-tu ? ) IJKL est un parallélogramme. Triangles Semblables Solution de l'exercice 2 1) Démontrez que H appartient au cercle de diamètre [BC]. En déduire que BC = 2.IH Solution : HBC est rectangle en H, donc H appartient au cercle de diamètre [BC]. Le milieu I de [BC] est le centre du cercle et donc : BC = 2.IH 2) Par une méthode semblable, démontrez que AC = 2.JH Solution : De même, on démontre que AC = 2.JH 3) Démontrez que AB = 2.IJ Solution : I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [AC]. D'après le théorème des milieux, on en déduit que AB = 2.IJ 4) Déduire des 3 résultats précédents que les triangles ABC et IJH sont semblables. Solution : Les 3 égalités précédentes prouvent que les triangles ABC et IJH ont leurs côtés proportionnels. Ils sont donc semblables. 5) Quel est le sommet homologue de C ? En déduire que = Solution : Dans les triangles semblables ABC et IJH, H est le sommet homologue à C. Par conséquent : =