Probabilités – variable aléatoire

Probabilités – Variable aléatoire
1) Variable aléatoire : loi de probabilité et espérance
a. Variable aléatoire discrète
Définition :
On considère l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire X sur cet
ensemble, c’est associer un nombre à chaque issue de l’expérience aléatoire.
Cette variable aléatoire est discrète lorsqu’elle prend un nombre fini de valeurs : x1, x2, x3, …,xi, …, xn ou xi est
la ie valeur possible.
L’ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur xi de la variable aléatoire X est l’événement noté
(X = xi).

Exemple 1 :
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotés de 1 à 6. Si on obtient un numéro entre 1 et 4 on gagne
un nombre d’euros correspondant au numéro sorti. Si on obtient les numéros 5 ou 6, on perd deux euros. On
définit une variable aléatoire G qui à chaque résultat associe le gain obtenu. Dans ces conditions G peut prendre
les valeurs –2, 1, 2, 3, 4 et les probabilités de ces résultats sont :
P(G=1)=p(G=2)=p(G=3)=p(G=4) =
6
1
et p(G=-2)= p({5 ;6}) =
6
2
Exemple 2 :
On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère la variable aléatoire S prenant
comme valeurs la somme des numéros obtenus. On note E l’ensemble des 36 couples (a ; b) ou a et b sont des
nombres de 1 à 6. La somme S des numéros peut donc prendre toutes les valeurs entières entre 2 et 12 :
S
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
b. Loi de probabilité
Définition :
Définir une loi de probabilité P d’une variable aléatoire X, c’est associer à chaque valeur xi de la variable
aléatoire un nombre positif pi tel que la somme des pi est égale à 1.
Ainsi, pi = P(X = xi), avec 0 pi 1 et
ni
i
ip
11
Déterminer la loi de probabilité de X c’est donner, sous forme d’un tableau, toutes les probabilités des valeurs
xi.
Exemple 1 :
Dans le jeu de l’exemple 1, les valeurs prises par G sont –2, 1, 2, 3 et 4.
Le tableau suivant définit la loi de probabilité sur {–2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}
Valeur prise par G
-2
1
2
3
4
Probabilité
6
2
6
1
6
1
6
1
6
1
Exemple 2 :
Lorsqu’on lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, la somme S prend toutes les valeurs entières
de 2 à 12. Si les dés sont équilibrés, la loi de probabilité de S est :
Valeur prise
par S
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Probabilité
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
c. Espérance d’une variable aléatoire
Définition et théorème :
L’espérance d’une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs xi pondérées par leurs probabilités.
E(X) =
ni
i
ii xp
1
Exemple 1 :
E(X) =
6
2
(-2) +
6
1
1+
6
1
2 +
6
1
3 +
6
1
4 = 1

Exemple 2 :
E(X) =
36
1
2 +…. +
36
1
12 = 7
Propriété :
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, la moyenne des résultats obtenus
sur des séries de taille N se rapproche de l’espérance mathématiques lorsque N devient grand.
Remarque :
Cette propriété est une conséquence directe de la loi des grands nombres.
2) Répétition d’expériences identiques et indépendantes
a. Expériences identiques et indépendantes
Définition :
Effectuer successivement la même expérience aléatoire, dans les mêmes conditions, c’est réaliser une
succession d’expériences identiques et indépendantes.
Une issue est donc une liste de résultats de l’expérience aléatoire répétée.
Exemple :
Lancer cinq fois un dé cubique : la liste {4-2-1-5-4} est une issue.
b. Arbre pondéré et principe multiplicatif
Définition :
Soit une expérience aléatoire ayant plusieurs résultats. On représente la répétition de n expériences identiques et
indépendantes par un arbre pondéré. Cet arbre a n niveaux et on note sur les branles les probabilités des
résultats.
Règle :
La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur
chaque branche de ce chemin.
Exemple :
 On tire 3 boules, avec remise, dans une urne contenant 3 boules bleu, 2 jaunes et 1 rouge indiscernables au
toucher.
 On tire six cartes, avec remise, dans un jeu de 32 cartes : la probabilité d’obtenir la liste (cœur, non cœur,
non cœur, cœur, cœur, cœur) est
4
1
4
3
4
3
4
1
4
1
4
1
Remarque :
Cette liste comporte 4 cœurs. On retrouve donc 4 fois la probabilité d’obtenir un cœur.
c. Coefficients binomiaux
Définition :
On s’intéresse à la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues E et S.
Le nombre de liste ou l’issue favorable S apparaît exactement k fois, parmi n résultats, est le coefficient
binomial noté
k
n
, ou 0 k n.
Il se lit « k parmi n » et est obtenu à l’aide de la calculatrice.
Remarque :
Sur un arbre pondéré à n niveaux de cette expérience,
k
n
est le nombre de chemins au cours desquels
l’événement S est réalisé k fois.

Calculatrice :
T.I : 4 combinaison 2 Casio : 4 C 2
Exemple :
On lance 4 fois une pièce bien équilibrée. Le nombre de listes ou on obtient Face deux fois exactement est
2
4
=6
3) Loi binomiale
a. Loi de Bernoulli
Définitions :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues, appelées succès et échec.
On note p la probabilité de succès et q = 1 – p la probabilité d’échec.
Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c’est associer à une expérience aléatoire une loi de probabilité
comme ci-dessous
Issue
Succès S
Echec E
Probabilité
P
Q = 1 - p
Propriété :
On associe au succès le nombre 1 et à l’échec le nombre 0 : l’espérance de la loi de Bernoulli est :
E = 1 p + 0 (1 – p) = p
Exemple :
Une étude a montré que 20 % des personnes désirent acheter un produit. On rencontre au hasard, une personne :
on définit une loi de Bernoulli en assimilant cette fréquence de 0,2 à la probabilité p de succès.
b. Loi binomiale
Définition :
Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, on définit la variable aléatoire X
égale au nombre de succès obtenus à la fin des n épreuves.
La loi de probabilité de X est nommée loi binomiale e paramètre n et p, ou p est la probabilité de succès de la
loi de Bernoulli.
Exemple :

Propriété :
La loi binomiale de paramètres n et p est une loi définie sur {0 ; 1 ; … ; n} par :
P(k) =
k
n
pk (1-p)n-k
Remarque :
k
n
est le terme d’indice k de la nième ligne du triangle de Pascal.
Propriété :
L’espérance de la loi binomiale B(n,p), de paramètres n et p, est : np
Exemple :
Une urne contient 80 billes rouges et 20 billes vertes .
On prélève cinq fois de suite avec remise une bille de l’urne. Le nombre de billes rouges obtenues appartient à
l’ensemble E = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} et suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,8
Les probabilités d’obtenir k boules rouges, pour k variant de 0 à 5 sont :
 P(0) =
0
5
0,80 0,25 = 0,00032
 P(1) =
1
5
0,81 0,24 = 0,0064
 P(2) =
2
5
0,82 0,23 = 0,0512
 P(3) =
3
5
0,83 0,22 = 0,2048
 P(4) =
4
5
0,84 0,21 = 0,4096
 P(5) =
5
5
0,85 0,20 = 0,32768
La somme des probabilités vaut bien 1.
E(X) = 0 0,00032 + 1 0,0064 + 2 0,0512 + 3 0,2048 + 4 0,4096 + 5 0,32768 = 4
Ce résultat est bien conforme à la formule E(X) = n p = 5 0,8 = 4