Homotopie des Alg`ebres Simpliciales sur une Opérade - IMJ-PRG

Homotopie des Alg`ebres Simpliciales sur
une Op´erade
Sacha Ikonico↵

Introduction
Le but initial de mon travail de m´emoire de master est l’´etude de l’article de Be-
noˆıt Fresse, On the Homotopy of Simplicial Algebras over an Operad [1]. Au d´ebut
de ce travail, si je connaissais la notion d’homotopie dans le contexte topologique,
et la notion d’alg`ebre, je ne voyais pas le lien entre ces deux sujets (comment une
structure alg`ebrique pourrait elle ˆetre ”d´eform´ee continˆument”?). La compr´ehension
du titre de l’article de B. Fresse m’a donc amen´e `a ´etudier de nouveaux concepts,
et parfois `a comprendre comment des concepts que je connaissais s’inscrivaient dans
un contexte di↵´erent de celui dans lequel j’avais l’habitude de les rencontrer. C’est
pourquoi une partie de mon m´emoire est ´ecrite `a la mani`ere d’un cours de niveau
master, afin d’introduire les outils n´ecessaires `a l’´etude de l’article de B. Fresse. La
fin de ce m´emoire sera d´edi´ee `a l’explication de cet article. Je d´ecrirai sa structure
et d´etaillerai la preuve des principaux r´esultats. Je suppose que mon lecteur dispose
d’une connaissance de base de la th´eorie des cat´egorie, d’alg`ebre et de repr´esenta-
tion des groupes finis, et id´ealement, qu’il a des notions de topologie alg´ebrique,
(homotopie, homologie,) pour comprendre les liens avec ce sujet.
Ce m´emoire est le reflet de mon ”stage de master 2”. En tant que tel, il contient
exclusivement l’aboutissement des recherches que j’ai e↵ectu´ees pour comprendre
l’article de Benoˆıt Fresse. Cela comprend quelques r´esultats pr´eliminaires impor-
tants, les calculs et les d´emonstrations que j’ai r´ealis´es pour me convaincre de certains
de ces r´esultats, ainsi que quelques points dont j’ai pu discuter avec Mme Livernet
qui dirigeait mes recherches. Cela signifie aussi que certains sujets que j’´evoque, et
certaines parties de l’article de B. Fresse, m´eriteraient un traitement plus complet.

Table des mati`eres
Chapitre 1. Modules Simpliciaux 1
1. Cat´egorie Simpliciale 1
2. Objet Simplicial 2
3. Groupe Ab´elien Simplicial 3
4. Correspondance de Dold-Kan 4
5. Produits de Groupes Ab´eliens Simpliciaux 8
6. Compl´ements sur les Produits 10
Chapitre 2. Monade 13
1. Cat´egorie Mono¨ ıdale 13
2. Tressage 14
3. Mono¨ ıde dans une Cat´egorie Mono¨ ıdale 15
4. Monade 16
5. Monades et Adjonctions 18
6. Alg`ebre sur une Monade 18
Chapitre 3. Op´erades 23
1. Suite Sym´etrique 23
2. Op´erade 25
3. Alg`ebre sur une Op´erade 25
4. Op´erade des Endomorphismes 26
5. Version invariante 27
6. Compositions partielles 31
Chapitre 4. ´ Etude de l’Article de Benoˆıt Fresse [1]33
1. Structure de l’article 33
2. (As)-alg`ebres 34
3. (Com)-alg`ebres 34
4. (Lie)-alg`ebres 37
5. (P oiss)-alg`ebres 42
6. D´erivation des fonteurs non-additifs 42
7. Op´erations homotopiques 44
8. Le Th´eor`eme 2.2.10 46
Bibliographie 53
iii

Chapitre 1
Modules Simpliciaux
L’objet de ce chapitre est de d´efinir la notion d’homotopie dans un cadre pure-
ment alg´ebrique. Pour cela, nous d´efinirons les objets simpliciaux d’une cat´egorie.
Il est utile de garder en tˆete la notion topologique que nous essayons de g´en´eraliser.
Nous nous int´eresserons plus particuli`erement `a la cat´egorie des groupes ab´eliens,
ou des modules sur un anneau commutatif, qui sont le bon cadre pour approcher
l’article de B. Fresse. Enfin, nous ´enoncerons deux r´esultats fondamentaux sur les
groupes ab´eliens simpliciaux, qui sont la correspondance de Dold-Kan et le Th´eo-
r`eme d’Eilenberg-Zilber. Les r´ef´erences principales pour ce chapitre sont [2], [3], [4]
et [5]
1. Cat´egorie Simpliciale
D´ efinition 1.1.La cat´egorie simpliciale, que l’on note , est celle dont les ob-
jets, index´es par les entiers naturels, sont not´es [n], et telle que, pour toute paire d’en-
tiers (m, n), Hom([m],[n]) est l’ensemble des fonctions croissantes de {0,...,m}
dans {0,...,n}
D´ efinition 1.2.Pour tout entier net tout i2{0,...,n}, on d´efinit deux
morsphismes dn
i:[n1] ![n] et sn i:[n+1]![n], appel´es respectivement i-`eme
coface et i-`eme cod´eg´en´erescence, par :
dn
i(k)=⇢ksi k<i
k+1 si ki(dn
i”saute” la i-`eme place)
sn
i(k)=⇢ksi ki
k1si k>i (sn
i”r´ep`ete” le i-`eme entier)
On oubliera souvent de noter le ”n” en exposant, qui se d´eduit du contexte.
Un morphisme de , vu comme fonction croissante de {0,...,m}dans {0,...,n}
ne peut que ”sauter” des entiers, ou bien en ”r´ep´eter”. On a donc :
Proposition 1.3.Les morphismes de sont engendr´es par les cofaces et les
cod´eg´en´erescences, lesquelles sont li´ees par les seules relations suivantes :
djdi=didj1si i<j(1.3.1)
sjsi=sisj+1 si ij(1.3.2)
sjdi=8
<
:
disj1si i<j
Id si i=jou i=j+1
di1sjsi i>j+1
(1.3.3)
On va mˆeme donner une d´ecomposition des morphismes de qu’on utilisera par
la suite. C’est l’objet de la proposition suivante ([2], §2, page 4)
Proposition 1.4.Tout morphisme de admet une d´ecomposition du type :
di1...d
iksj1...s jl(Un produit de cod´eg´en´erescences puis de cofaces)(1.4.1)
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