TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet MECANIQUE - TRAVAUX DIRIGES N° 6 Changement de référentiel - Mécanique non galiléenne Exercice n° 1 : Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire constante en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de masse m est enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottements. A un instant quelconque, la rotation de la tige est repérée par l’angle (t) et la position de l’anneau sur la tige par r (t ) OM . 3) En déduire l’expression de la réaction de la tige sur l’anneau en fonction de t. 4) L’anneau est maintenant soumis à une force de rappel par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide r0. Le ressort est enfilé sur la tige, une extrémité est fixée en O et l’autre est attachée au point mobile M. A l’instant t = 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale par rapport à la tige du point M0 repéré par les coordonnées polaires (0) = 0, r(0) = r0. Le mouvement de M peut être étudié soit dans le référentiel terrestre a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par r(t) lors du mouvement R 0 ; e x , e y , e z , supposé galiléen, soit dans le référentiel lié à la tige b) Résoudre cette équation dans le cas où R’ 0 ; e , e , e . r z de l’anneau. On pose 02 k 2 . m k 2 . Quel est la nature m du mouvement ? On néglige les frottements de l’air. Exercice n° 2 : Un cerceau de rayon R, de centre O tourne à la vitesse angulaire constante autour de l’axe vertical (Oz) dans le référentiel terrestre R supposé galiléen. Une perle de masse m est enfilée sur le cerceau et peut se déplacer sans frottement. Sa position M est repérée par l’angle . 1) Exprimer l’énergie potentielle totale de la perle dans le référentiel tournant lié au cerceau en fonction de 1) Peut-on appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans R’ ? Justifier. 2) En étudiant le mouvement dans le référentiel lié à la tige, déterminer l’équation différentielle vérifiée par r. La résoudre. 2) En déduire les positions d’équilibre possible e en fonction des plages de valeur de la vitesse angulaire. Discuter de leur stabilité. 3) Représenter graphiquement l’angle e, caractérisant la ou les positions d’équilibre stable, en fonction de . TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet Exercice n° 3 : Un sismographe est un appareil destiné à mesurer l’amplitude d’une secousse sismique, indépendamment de la pulsation. On étudie ici le principe du capteur (sismomètre). Il est constitué d’un bâti rigide fixé directement au sol, auquel est solidement accrochée une grande masse M par le biais d’un ressort sans masse de raideur k ; le mouvement vertical est amorti par un système magnétique générant une force proportionnelle et opposée à la vitesse relative de M par rapport au bâti : F = - v r . Soit z(t) le déplacement vertical de M par rapport à sa position d’équilibre et Z(t) le déplacement vertical du sol par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen lorsqu’une secousse se produit. d) On pose k/M et on prend . Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique z m/A en fonction de /. Dans quelle plage de pulsation l’amplitude zm de la masse M est-elle égale à l’amplitude A de la secousse à moins de 1% ? Quelle doit être la raideur k du ressort et le coefficient d’amortissement si l’on choisit une masse M = 100 kg pour un sismomètre capable d’enregistrer des secousses de fréquences supérieures à 1 Hz à moins de 1% près. Commenter. Exercice n° 4 : Déviation vers l’est lors d’une chute libre On abandonne sans vitesse initiale un point matériel à l’altitude h dans le référentiel terrestre, à la verticale du point A de latitude à la surface de la Terre. 1) En négligeant l’influence de la force de Coriolis sur le mouvement, établir les expressions x(t), y(t) et z(t), ainsi que le temps de chute. h = 150 m, g = 9,81 m.s-2. 2) Exprimer de façon générale la force de Coriolis et identifier le terme principal. 3) En ne tenant compte que de ce terme principal, calculer la « déviation vers l’est », on se placera à une latitude de 50°. 1) Ecrire l’équation différentielle de z par rapport au temps dans le référentiel non galiléen du bâti lors d’une secousse. 2) Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement permettant d’obtenir un retour à l’équilibre de la masse M le plus rapide possible ? 3) On considère que le bâti subit une secousse sinusoïdale permanente Z(t) = A cos(t). a) Résoudre l’équation différentielle par la méthode complexe. b) En déduire l’amplitude des oscillations et le retard de phase en fonction de A, k, M et Commenter. c) Déterminer la valeur du coefficient d’amortissement pour que la masse M n’entre pas en résonance d’amplitude.