MECANIQUE - Le lycée Pierre

TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet
MECANIQUE - TRAVAUX DIRIGES N° 6
Changement de référentiel - Mécanique non galiléenne
Exercice n° 1 :
Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse
angulaire constante en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de
masse m est enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottements. A un
instant quelconque, la rotation de la tige est repérée par l’angle (t) et la
position de l’anneau sur la tige par
OMtr )(
.
A l’instant t = 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale par rapport à la tige
du point M0 repéré par les coordonnées polaires (0) = 0, r(0) = r0.
Le mouvement de M peut être étudié soit dans le référentiel terrestre
R
zyx eee ,,;0
, supposé galiléen, soit dans le référentiel lié à la tige
R’
zr eee ,,;0
.
On néglige les frottements de l’air.
1) Peut-on appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans R’ ?
Justifier.
2) En étudiant le mouvement dans le référentiel lié à la tige, déterminer
l’équation différentielle vérifiée par r. La résoudre.
3) En déduire l’expression de la réaction de la tige sur l’anneau en
fonction de t.
4) L’anneau est maintenant soumis à une force de rappel par
l’intermédiaire d’un ressort de raideur k, de masse négligeable et de
longueur à vide r0. Le ressort est enfilé sur la tige, une extrémité est
fixée en O et l’autre est attachée au point mobile M.
a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par r(t) lors du mouvement
de l’anneau. On pose
22
0
 m
k
.
b) Résoudre cette équation dans le cas où
2
m
k
. Quel est la nature
du mouvement ?
Exercice n° 2 :
Un cerceau de rayon R, de centre O tourne à la vitesse angulaire
 constante autour de l’axe vertical (Oz) dans le référentiel
terrestre R supposé galiléen.
Une perle de masse m est enfilée sur le cerceau et peut se
déplacer sans frottement. Sa position M est repérée par l’angle
.
1) Exprimer l’énergie potentielle totale de la perle dans le
référentiel tournant lié au cerceau en fonction de 
2) En déduire les positions d’équilibre possible e en fonction des plages
de valeur de la vitesse angulaire. Discuter de leur stabilité.
3) Représenter graphiquement l’angle e, caractérisant la ou les positions
d’équilibre stable, en fonction de .

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Exercice n° 3 :
Un sismographe est un appareil destiné à mesurer l’amplitude d’une
secousse sismique, indépendamment de la pulsation. On étudie ici le
principe du capteur (sismomètre).
Il est constitué d’un bâti rigide fixé directement au sol, auquel est
solidement accrochée une grande masse M par le biais d’un ressort sans
masse de raideur k ; le mouvement vertical est amorti par un système
magnétique générant une force proportionnelle et opposée à la vitesse
relative de M par rapport au bâti :
F
= -
r
v
. Soit z(t) le déplacement
vertical de M par rapport à sa position d’équilibre et Z(t) le déplacement
vertical du sol par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen
lorsqu’une secousse se produit.
1) Ecrire l’équation différentielle de z par rapport au temps dans le
référentiel non galiléen du bâti lors d’une secousse.
2) Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement permettant
d’obtenir un retour à l’équilibre de la masse M le plus rapide possible ?
3) On considère que le bâti subit une secousse sinusoïdale permanente
Z(t) = A cos(t).
a) Résoudre l’équation différentielle par la méthode complexe.
b) En déduire l’amplitude des oscillations et le retard de phase  en
fonction de A, k, M et Commenter.
c) Déterminer la valeur du coefficient d’amortissement pour que la
masse M n’entre pas en résonance d’amplitude.
d) On pose 
k/M et on prend . Tracer le diagramme de
Bode de la fonction de transfert harmonique zm/A en fonction de
/. Dans quelle plage de pulsation l’amplitude zm de la masse
M est-elle égale à l’amplitude A de la secousse à moins de 1% ?
Quelle doit être la raideur k du ressort et le coefficient
d’amortissement si l’on choisit une masse M = 100 kg pour un
sismomètre capable d’enregistrer des secousses de fréquences
supérieures à 1 Hz à moins de 1% près. Commenter.
Exercice n° 4 : Déviation vers l’est lors d’une chute libre
On abandonne sans vitesse initiale un point matériel à l’altitude h dans le
référentiel terrestre, à la verticale du point A de latitude  à la surface de la
Terre.
1) En négligeant l’influence de la force de Coriolis sur le mouvement,
établir les expressions x(t), y(t) et z(t), ainsi que le temps de chute. h =
150 m, g = 9,81 m.s-2.
2) Exprimer de façon générale la force de Coriolis et identifier le terme
principal.
3) En ne tenant compte que de ce terme principal, calculer la « déviation
vers l’est », on se placera à une latitude de 50°.