SPÉCIALE MP* : DEVOIR LIBRE ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

SP´ ECIALE MP* : DEVOIR LIBRE
´
EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES DU TYPE DE FUCHS
Les trois parties de ce probl`eme sont ind´ependantes
Partie I
Si aet bsont deux nombres r´eels, on s’int´eresse `a l’´equation diff´erentielle :
(E) x2d2y
dx2+axdy dx+by = 0
I.1. a. Rappeler pourquoi l’ensemble des solutions de (E) sur ]0,+∞[ est un sous-espace de
dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions r´eelles de classe C2sur ]0,+∞[.
b. On rappelle qu’une application Φ de ]0,+∞[ dans Cest une solution complexe de (E)
ssi les fonctions r´eelles ℜΦ et ℑΦ sont des solutions de (E).
Montrer que l’ensemble des solutions complexes de (E) sur ]0,+∞[ est un espace
vectoriel complexe de dimension 2.
I.2. A quelle condition l’´equation (E) admet-elle des solutions polynomiales ?
Pr´eciser alors ces solutions.
I.3. En effectuant le changement de variable x=et, r´esoudre l’´equation (E) ; pr´eciser la forme
g´en´erale des solutions r´eelles sur ]0,+∞[.
Partie II
Soient a(x) =
+∞
P
n=0
anxnet b(x) =
+∞
P
n=0
bnxnles sommes de deux s´eries enti`eres `a coefficients
r´eels dont les rayons de convergence sont sup´erieurs ou ´egaux `a R > 0.
On s’int´eresse dans cette partie `a l’´equation diff´erentielle (F) sur l’intervalle ]0,+R[ :
(F) x2d2y
dx2+a(x)xdy dx+b(x)y= 0
On rappelle que, si xest un r´eel strictement positif et kun nombre complexe, la notation xk
est mise `a la place de exp(kln x).
II.1. Soient kun nombre complexe et c(x) =
+∞
P
n=0
cnxnla somme d’une s´erie enti`ere complexe
de rayon de convergence diff´erent de 0. On suppose que c0= 1.
a. Montrer que, si la fonction y=c(x)xkest une solution complexe de (F) sur un
intervalle ]0, R′[, le nombre complexe kest racine d’une ´equation du second degr´e que
l’on ´ecrira.
b. Montrer que, sous cette hypoth`ese, les nombres cnv´erifient une suite de relations que
l’on pr´ecisera et que l’on appellera (P).
II.2. Soit kune racine de l’´equation (C) :
(C) k2+ (a0−1)k+b0= 0
a. On suppose que ∆ = (a0−1)2−4b0n’est pas le carr´e d’un nombre entier non nul.
Montrer qu’il existe une suite de nombres complexes et une seule v´erifiant :
c0= 1
1

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ainsi que les relations de r´ecurrence (P) ´etablies en II . 1˚b.
b. Si ∆ = p2o`u p∈N∗, donner une C.N.S. pour qu’il existe une suite (cn) v´erifiant (P)
associ´ee `a ko`u kest la plus petite racine r´eelle de l’´equation (C).
Montrer que, de toutes fa¸cons, on peut trouver une suite (cn) v´erifiant (P).
II.3. a. Soit (cn) une des suites construites `a la question pr´ec´edente. On d´esigne par dnle
module du nombre cn; montrer que la suite des nombres r´eels positifs (dn) v´erifie les
in´egalit´es :
n|n+ 2k+a0−1|dn6
n−1
X
m=0
dm(|bn−m|+|k+m|.|an−m|)
pour tout entier sup´erieur ou ´egal `a 1.
b. Montrer que, pour tout nombre positif δ < R, il existe un entier n0tel que, pour tout
n>n0, on ait :
dnδn6sup
m∈[0,n−1]
(dmδm).
II.4. a. Montrer qu’il existe un nombre complexe ket une s´erie enti`ere complexe de rayon de
convergence sup´erieur ou ´egal `a R, de somme c(x), tels que la fonction y=c(x)xk
soit solution de (F) sur ]0, R[.
b. Pr´eciser alors la forme de toutes les solutions de (F) au voisinage de 0 selon les cas
rencontr´es.
Partie III
Soient a1,...,ap,pnombres r´eels tous diff´erents et Ple polynˆome d´efini par :
P(x) =
p
Y
i=1
(x−ai).
Soient Qet Rdeux polynˆomes `a coefficients r´eels.
On s’int´eresse ici `a l’´equation diff´erentielle (Φ) :
(Φ) [P(x)]2d2y
dx2+P(x)Q(x)dy dx+R(x)y= 0
III.1. Soit ail’un des nombres a1, . . . , ap.
a. Montrer que yest une solution de (Φ) sur ]ai, ai+ε[ ssi la fonction d´efinie par z(t) =
y(t+ai) est solution sur l’intervalle ]0, ε[ de l’´equation diff´erentielle (Fi) :
(Fi)t2.d2z
dt2+t.Ai(t).dz dt+Bi(t).z = 0
o`u Aiet Bisont des fractions rationnelles que l’on pr´ecisera.
b. Montrer qu’il existe un r´eel strictement positif Ritel que les fonctions Aiet Bisoient
d´eveloppables en s´erie enti`ere sur ] −Ri,+Ri[.
c. On appelle valeurs caract´eristiques en aide l’´equation (Φ) les deux racines de
l’´equation du second degr´e :
k2+ (a0−1)k+b0= 0
o`u a0=Ai(0) et b0=Bi(0).
Exprimer la somme des deux valeurs caract´eristiques en ai`a l’aide des polynˆomes P
et Q.

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III.2. a. Montrer que yest solution de (Φ) sur ]S, +∞[ o`u S= max(0,max(ai)) ssi la fonction
zd´efinie par z(t) = y(1/t) est solution sur l’intervalle ]0,1/S[ (]0,+∞[ si S= 0) d’une
´equation diff´erentielle (˜ Φ) :
(˜ Φ) t2.d2z
dt2+˜
A(t).t.dz
dt+˜
B(t).z = 0
o`u ˜ Aet ˜ Bsont des fractions rationnelles.
b. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur les degr´es de P,Qet Rpour que
les fonctions ˜ Aet ˜ Bsoient d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0.
c. Cette condition ´etant remplie, on appelle valeur caract´eristique `a l’infini de l’´equation
(Φ) les valeurs caract´eristiques en 0 de l’´equation (˜ Φ).
Quelle est leur somme ?
III.3. Quelle est la somme de toutes les valeurs caract´eristiques de l’´equation diff´erentielle (Φ)
en tous les points aiet `a l’infini ?
III.4. On consid`ere le polynˆome P(x) = x(x−1).
D´eterminer des polynˆomes Qet Rtels que les valeurs caract´eristiques de l’´equation
diff´erentielle (Φ) correspondante soient respectivement :
•0 et 0 au point 0,
•0 et 0 au point 1,
•1/2 et 1/2 `a l’infini.
III.5. Soit (Φ′) l’´equation diff´erentielle obtenue en 4˚. En trouver une solution d´eveloppable en
s´erie enti`ere au voisinage de 1 (i.e. y=
+∞
P
n=0
an(x−1)n).
Existe-t-il une solution (non nulle !) de (Φ′) d´efinie sur ]0,+∞[ ?