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Fonction exponentielle
CHAPITRE
Leonhard EULER (1707-1783) a introduit et popularisé plusieurs conventions de nota-
tion par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés.
Il a été le premier à écrire f(x) pour désigner la fonction fappliquée à x
Il a également introduit la notation moderne des fonctions trigonométriques, la lettre
epour la notation de l’exponentielle, la lettre grecque Σpour désigner une somme,
ainsi que d’autres notations d’usage courant.
Il a également popularisé l’utilisation de la lettre grecque πpour désigner le rapport de
la circonférence d’un cercle à son diamètre, mais il n’est pas à l’origine de cette nota-
tion.

Sommaire
0 Généralités
0.1 Programmes de la classe de Première S
0.2 Extraits du programmes de la classe de Terminale S
0.3 Programme libanais de la classe de Terminale série SG
1 Introduction
1.1 Exercice
a) Étude de l’évolution d’une population de bactéries
1.2 Étude d’une nouvelle fonction f
a) Introduction de f(t) à partir de N(t)
b) Étude de ftelle que f0=fet f(0) =1
c) Conséquences des égalités (2) et (3)
d) Synthèse
2 Étude de la fonction exponentielle
2.1 Définition et propriétés
a) Existence et unicité
b) Définition
c) Propriétés
d) Conséquences
2.2 Nouvelle notation
a) Présentation
b) Nouvelle écriture des propriétés
c) Applications
2.3 Représentation graphique et conséquences
a) Limites
b) Exercices
c) Représentation graphique
d) Conséquences
2.4 Approche de la fonction logarithme népérien
a) Introduction
b) Liens entre exponentielle et logarithme
c) Exercices
2.5 Résultat complémentaire
a) Fonction exponentielle et dérivation
b) Exercices
3 Applications
3.1 Exemples de fonctions de la forme f:x7→exp(u(x))
a) Fonction de la forme fk:x7−→ekx
b) Fonction de la forme ϕk:x7−→exp(−kx2) avec k>0
3.2 Exercices
a) Exemple d’étude d’une fonction
b) Intervention de la fonction exponentielle
4 Résumé du cours
5 Démonstrations du cours
6 Exercices
224 Sommaire chapitre 5 Francis CORTADO

Généralités
0
01Programmes de la classe de Première S
N’est pas au programme de la classe de première S
02Extraits du programmes de la classe de Terminale S
Comme dans les classes précédentes, l’activité mathématique est motivée par la résolution de
problèmes. L’ensemble des fonctions mobilisables est élargi par l’introduction des fonctions ex-
ponentielle, logarithme, sinus et cosinus. La fonction exponentielle intervenant dans différents
champs du programme, il est souhaitable de l’introduire assez tôt dans l’année. L’acquisition d’au-
tomatismes de calcul demeure un objectif du programme, cependant, dans le cadre de la résolution
de problèmes, on a recours si besoin à un logiciel de calcul formel ou scientifique.
Tout ce qui concerne les limites de la fonction exponentielle est reporté à un chapitre ultérieur.
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Fonction x7−→exp(x) Démontrer l’unicité d’une
fonction dérivable sur R, égale
à sa dérivée et qui vaut 1 en 0
La fonction exponentielle est présentée
comme l’unique fonction fdérivable sur
Rqui vaut 1 en 0 et telle que :
f0=fet f(0) =1
L’existence est admise.
Relation fonctionnelle,
notation ex.• Utiliser la relation fonc-
tionnelle pour transfor-
mer une écriture.
• Connaître le sens de va-
riation et la représen-
tation graphique de la
fonction exponentielle.
• Calculer la dérivée de
x7−→eu(x)
• Utiliser, pour aréel stric-
tement positif et bréel,
l’équivalence
a=eb⇔b=ln(a)
On étudie des exemples de fonctions de
la forme x7−→ exp(u(x)), notamment
avec
u(x)=−k·xou u(x)=−k·x2(k>0)
qui sont utilisées dans des domaines va-
riés.
Étude de phénomènes d’évolution.
Radioactivité
Francis CORTADO Sommaire chapitre 5 225

03Programme libanais de la classe de Terminale série SG
1. Étudier et représenter graphiquement la fonction exponentielle de base e.
2. Étudier et représenter graphiquement la fonction exponentielle de base a.
•Reconnaître la fonction exponentielle de base ecomme étant la fonction réciproque de la fonc-
tion logarithme népérien.
•Reconnaître le domaine de définition, la variation et la courbe représentative de la fonction
exponentielle de base e.
•Connaître et utiliser les propriétés de la fonction logarithme népérien :
ex+y=ex×ey; ex−y=ex
ey; (ex)y=ex y
•Reconnaître les limites suivantes :
lim
x→+∞ ex; lim x→−∞ ex; lim x→+∞
ex
x; lim
x→−∞ |x|exet lim
x→0
ex−1
x
•Reconnaître la dérivée de la fonction euet une primitive de la fonction u0eu
•Savoir que ab=eblnaoù a>0 et a6=1
•Reconnaître le domaine de définition, la variation et la courbe représentative de la fonction
x7−→ ax
•Savoir que la fonction puissance x7−→ xα, où α∈Rn’est définie que si x>0.
•Reconnaitre la variation et la courbe représentative de la fonction puissance.
•Reconnaître les limites suivantes.
lim
x→+∞
lnx
xα; lim
x→0+xαlnx; lim
x→+∞
ex
xα; lim
x→−∞ |x|αex
où αest un réel strictement positif.
•Résoudre des équations et des inéquations faisant intervenir les fonctions logarithme
et exponentielle.
Les propriétés algébriques et les limites usuelles des fonctions exponentielles népériennes, exponen-
tielle à base a et puissance seront démontrées.
On fera l’étude et la représentation graphique de la fonction x 7−→ axdans les deux cas où 0<a<1
et a >1.
On investira les limites déjà calculées pour comparer les croissances des fonctions
ln, x7−→ex,x7−→ xα.
On vérifiera que la définition de x 7−→ xαcoïncide avec la définition de x 7−→ xnpour n ∈Zdans le
cas où x >0.
226 Sommaire chapitre 5 Francis CORTADO

Introduction
1
11Exercice
a) Étude de l’évolution d’une population de bactéries
Exercice 1
Une population initiale N0de bactéries double toutes les vingt minutes.
Quel aurait été le nombre de bactéries si on avait arrêté l’expérience au bout de cinquante mi-
nutes ?
Application numérique N0=10000
Solution
Le tableau ci-dessous, donne le nombre de bactéries N(t) avec comme unités N0, qui est le
nombre de bactéries initial.
ten minutes N(t)
0 1
20 2
40 4
60 8
80 16
100 32
120 64
Ce tableau ne permet pas de d’obtenir la valeur de N(t) entre deux instants consécutifs.
On peut pour estimer N(50), représenter graphiquement les valeurs données dans le tableau pré-
cédent.
En les joignant par une ligne continue, on pourra ainsi évaluer le nombre de bactéries au bout de
50 minutes.
Francis CORTADO Sommaire chapitre 5 227