Petit coup de main pour réussir

Soutien 3ème
C
A
B
Petit coup de main pour réussir
les calculs d’angles à l’aide de cos, sin et tan.
( Corrigé )
Dans le triangle ABC, rectangle en B
- l’hypoténuse est [AC]
(c’est le plus long des trois côtés.)
- le côté opposé à l’angle A est [BC]
(c’est celui qui est en face A et qui ne
contient pas le sommet A.)
- le côté adjacent à l’angle A est [AB]
(c’est celui qui contient le sommet A
et qui n’est pas l’hypoténuse.)
- [AB] est le côté opposé à l’angle C
- [BC] est le côté adjacent à l’angle C
Par définition on a : cos A =
AC
AB
sin A =
AC
BC
tan A =
AB
BC
Astuce : On peut retrouver ces 3 formules grâce au mot :« CAHSOHTOA ».
CAH se traduisant par Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
SOH se traduisant par Sinus = Opposé / Hypoténuse
TOA se traduisant par Tangente = Opposé / Adjacent
côté adjacent à A
hypoténuse
côté opposé à A
hypoténuse
côté opposé à A
côté adjacent à A

Soutien 3ème
Exercice n°1 : Compléter :
- Dans le triangle EFG rectangle en G
cos E =
EF
EG
sin E =
EF
FG
tan E =
EG
FG
- Dans le triangle EIH rectangle en H
cos E =
EI
EH
sin E =
EI
IH
tan E =
EH
IH
Exercice n°2 : Compléter :
1- Le triangle ABC est rectangle en A
Pour l’angle B, on connaît les longueurs
de l’hypoténuse [BC] et du côté
adjacent [AB].
On peut donc utiliser : cos B =
BC
AB
=
6
3
donc cos B =
2
1
Pour déterminer la mesure de l’angle B, on tape cos-1(1 : 2) sur la calculatrice
et on obtient : B = 60°
Il ne faut pas confondre le cosinus de l’angle B qui est le nombre
2
1
et la mesure de l’angle B qui vaut 60°.
Et il faut donc éviter d’écrire « cos B =
2
1
= 60° ».
2- Le triangle EFG est rectangle en E
Pour l’angle G, on connaît les longueurs
de l’hypoténuse [EG] et du côté
opposé [EF].
On peut donc utiliser : sin G =
FG
EF
donc sin G =
7
3
(on n’arrondi pas !)
Pour déterminer la mesure de l’angle G, on tape sin-1(3 : 7) sur la calculatrice
et on obtient : G  46° (arrondi au degré.)
E
F
G
H
I
A
C
B
3
6
F
G
E
7
3

Soutien 3ème
3- Le triangle MNO est rectangle en O
Pour l’angle M, on connaît les longueurs
du côté opposé [ON] et du côté
adjacent [MO].
On peut donc utiliser : tan M =
OM
ON
donc tan M =
3
4
(on n’arrondi pas !)
Pour déterminer la mesure de l’angle M, on tape tan-1 (4 : 3) sur la calculatrice
et on obtient : M  53,1° (arrondi au dixième de degré.)
Dans un devoir, il est inutile de tout expliquer comme précédemment.
Il suffit de rédiger comme dans l’exercice n°3 suivant :
Exercice n°3 : On considère le triangle RST ci-contre.
Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle R.
Dans le triangle RST rectangle en T
on a : sin R =
SR
ST
(On écrit la formule avec les lettres de la figure)
donc sin R =
27
21
=
9
7
(On remplace les longueurs par leurs valeurs
et on simplifie la fraction si c’est possible.)
et donc R  51° (Il faut penser à séparer sin R et R et il est inutile
d’indiquer ce que l’on a tapé sur la calculatrice.)
Exercice n°4 : On considère le triangle EFG ci-dessous.
Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle E.
Dans le triangle EFG rectangle en G,
on a : tan E =
EG
FG
donc tan E =
3
2
6
4
60
40 
donc E  33,7° (arrondi au dixième)
N
M
4
3
O
S
27
21
T
R
F
E
G
60
40

Soutien 3ème
Exercice n°5 : On considère le triangle ABC ci-dessous.
Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle A.
Dans le triangle ABC rectangle en B,
on a : cos A =
AC
AB
donc cos A =
12
5
24
10 
donc A  65,4° (arrondi au dixième)
Exercice n°6 : On considère le triangle IJK ci-dessous.
Déterminer la mesure, au degré près, de l’angle K.
Dans le triangle IJK rectangle en J,
on a : sin K =
IK
IJ
donc sin K =
9
4
99
44
9,9 4,4 
donc K  26° (arrondi au degré)
Exercice n°7 : On considère la figure ci-contre.
Déterminer, au dixième de degré près, la mesure
des angles ABC, ACD, BDC, et CBD .
Dans le triangle ABC rectangle en A,
on a : tan ABC =
AB
AC
donc tan ABC =
3
5
et donc ABC  59°
Dans le triangle ACD rectangle en A,
on a : cos ACD =
CD
AC
donc cos ACD =
9
5
et donc ACD  56°
BDC = ADC . Dans le triangle ACD rectangle en A,
on a : sin BDC =
CD
AC
donc sin BDC =
9
5
et donc BDC  34°
CBD n’étant pas dans un triangle rectangle, on ne peut pas utiliser cos, sin ou
tan. Mais CBD et CBA sont supplémentaires donc CBD = 180° - 59°
donc CBD = 121°
B
C
A
24
10
K
J
I
4,4
9,9
D
B
9
A
C
3
5

Soutien 3ème