Soutien 3ème Petit coup de main pour réussir les calculs d’angles à l’aide de cos, sin et tan. ( Corrigé ) Dans le triangle ABC, rectangle en B C - l’hypoténuse est [AC] (c’est le plus long des trois côtés.) - le côté opposé à l’angle A est [BC] (c’est celui qui est en face A et qui ne contient pas le sommet A.) A - le côté adjacent à l’angle A est [AB] (c’est celui qui contient le sommet A et qui n’est pas l’hypoténuse.) - [AB] est le côté opposé à l’angle C - [BC] est le côté adjacent à l’angle C Par définition on a : AB cos A = AC côté adjacent à A hypoténuse BC AC côté opposé à A BC tan A = AB côté opposé à A sin A = hypoténuse côté adjacent à A Astuce : On peut retrouver ces 3 formules grâce au mot :« CAHSOHTOA ». CAH se traduisant par Cosinus = Adjacent / Hypoténuse SOH se traduisant par Sinus = Opposé / Hypoténuse TOA se traduisant par Tangente = Opposé / Adjacent B Soutien 3ème Exercice n°1 : Compléter : - Dans le triangle EFG rectangle en G cos E = EG EF sin E = FG EF F E tan E = FG EG H G I - Dans le triangle EIH rectangle en H cos E = EH EI sin E = IH EI tan E = IH EH Exercice n°2 : Compléter : C A 1- Le triangle ABC est rectangle en A 3 Pour l’angle B, on connaît les longueurs de l’hypoténuse [BC] et du côté adjacent [AB]. 3 AB On peut donc utiliser : cos B = = 6 BC 6 B donc cos B = 1 2 Pour déterminer la mesure de l’angle B, on tape cos-1(1 : 2) sur la calculatrice et on obtient : B = 60° Il ne faut pas confondre le cosinus de l’angle B qui est le nombre 1 2 et la mesure de l’angle B qui vaut 60°. 1 Et il faut donc éviter d’écrire « cos B = = 60° ». 2 F 2- Le triangle EFG est rectangle en E Pour l’angle G, on connaît les longueurs de l’hypoténuse [EG] et du côté opposé [EF]. EF On peut donc utiliser : sin G = FG 7 3 E donc sin G = G 3 7 (on n’arrondi pas !) Pour déterminer la mesure de l’angle G, on tape sin-1(3 : 7) sur la calculatrice et on obtient : G 46° (arrondi au degré.) Soutien 3ème M 3- Le triangle MNO est rectangle en O Pour l’angle M, on connaît les longueurs du côté opposé [ON] et du côté adjacent [MO]. ON 4 On peut donc utiliser : tan M = donc tan M = OM 3 3 O 4 N (on n’arrondi pas !) Pour déterminer la mesure de l’angle M, on tape tan-1 (4 : 3) sur la calculatrice M 53,1° (arrondi au dixième de degré.) et on obtient : Dans un devoir, il est inutile de tout expliquer comme précédemment. Il suffit de rédiger comme dans l’exercice n°3 suivant : Exercice n°3 : On considère le triangle RST ci-contre. 21 S Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle R. T 27 R Dans le triangle RST rectangle en T on a : sin R = ST SR donc sin R = 21 7 = 27 9 (On écrit la formule avec les lettres de la figure) (On remplace les longueurs par leurs valeurs et on simplifie la fraction si c’est possible.) et donc R 51° Exercice n°4 : (Il faut penser à séparer sin R et R et il est inutile d’indiquer ce que l’on a tapé sur la calculatrice.) On considère le triangle EFG ci-dessous. Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle E. Dans le triangle EFG rectangle en G, on a : tan E = 40 4 2 FG donc tan E = 60 6 3 EG F 40 G donc E 33,7° (arrondi au dixième) E 60 Soutien 3ème Exercice n°5 : On considère le triangle ABC ci-dessous. Déterminer la mesure (au dixième de degré) de l’angle A. Dans le triangle ABC rectangle en B, B AB 10 5 on a : cos A = donc cos A = AC 24 12 donc A 65,4° Exercice n°6 : C 10 24 A (arrondi au dixième) On considère le triangle IJK ci-dessous. Déterminer la mesure, au degré près, de l’angle K. Dans le triangle IJK rectangle en J, on a : sin K = IJ donc IK donc K 26° sin K = K 9,9 4,4 44 4 9,9 99 9 I J 4,4 (arrondi au degré) Exercice n°7 : On considère la figure ci-contre. B D 3 A Déterminer, au dixième de degré près, la mesure des angles ABC, ACD, BDC, et CBD . 9 Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : tan ABC = 5 AC donc tan ABC = 3 AB 5 C et donc ABC 59° Dans le triangle ACD rectangle en A, on a : cos ACD = 5 AC donc cos ACD = 9 CD et donc ACD 56° BDC = ADC . Dans le triangle ACD rectangle en A, on a : sin BDC = 5 AC donc sin BDC = 9 CD et donc BDC 34° CBD n’étant pas dans un triangle rectangle, on ne peut pas utiliser cos, sin ou tan. Mais CBD et CBA sont supplémentaires donc CBD = 180° - 59° donc CBD = 121° Soutien 3ème