Corrigé 20050620 ()

CNAM 2004-2005
Mathématiques actuarielles fondamentales (assurance non vie)
Examen du 20 juin 2005 - 18h30 – 20h30
(Tous documents autorisés)
Les exercices sont indépendants.
Exercice 1
Un assureur cherche à déterminer le tarif à appliquer à une population segmentée selon
2 critères : le sexe de l’assuré et le groupe de véhicule à partir des observations
présentées dans les tableaux ci-dessous :
Nombre d'assurés
Femmes
Hommes
Groupe 1
800
390
Groupe 2
185
450
Groupe 3
30
130
Nombre de sinistres
Femmes
Hommes
Groupe 1
213
158
Groupe 2
45
149
Groupe 3
10
31
Charge estimée des sinistres
Femmes
Hommes
Groupe 1
930 000
648 000
Groupe 2
185 400
570 000
Groupe 3
37 800
105 000
1° : Pour chaque case tarifaire et chaque sous-population, calculer la fréquence
empirique, le coût moyen empirique et la prime pure empirique
Fréquence empirique = nombre de sinistres / nombre d’assurés
Coût moyen empirique = charge des sinistres / nombre de sinistres
Prime pure empirique = Fréquence empirique x Coût moyen (= charge des sinistres /
nombre d’assurés)
Nombre d'assurés
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Ensemble
Femmes Hommes Ensemble
800
390
1 190
185
450
635
30
130
160
1 015
970
1 985
Nombre de sinistres
Groupe 1
Groupe 2
Femmes Hommes Ensemble
213
158
371
45
149
194
Fréquences empirique
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Ensemble
Femmes Hommes Ensemble
26,63%
40,51% 31,18%
24,32%
33,11% 30,55%
33,33%
23,85% 25,63%
26,40%
34,85% 30,53%
Coûts moyens empiriques
Groupe 1
Groupe 2
Femmes Hommes Ensemble
4 366
4 101
4 253
4 120
3 826
3 894
Groupe 3
Ensemble
10
268
31
338
41
606
Charges estimées des sinistres
Femmes Hommes Ensemble
Groupe 1
930 000 648 000 1 578 000
Groupe 2
185 400 570 000
755 400
Groupe 3
37 800 105 000
142 800
Ensemble 1 153 200 1 323 000 2 476 200
Groupe 3
Ensemble
3 780
4 303
3 387
3 914
3 483
4 086
Primes pures empiriques
Femmes Hommes Ensemble
Groupe 1
1 163
1 662
1 326
Groupe 2
1 002
1 267
1 190
Groupe 3
1 260
808
893
Ensemble
1 136
1 364
1 247
2° : En utilisant le modèle multiplicatif pour la fréquence, construire la grille des
fréquences théoriques, en écrivant, pour chaque valeur fixée d’un critère, que le
nombre de sinistres donné par le modèle appliqué à la population observée est égal au
nombre observé.
Posons F = fréquence de l’ensemble de la population (= 30,53%).
Notons a1 et a2 les paramètres « influence femme » et « influence homme »
et notons b1, b2, b3 les paramètres « influence groupe1 » influence groupe2 et
influence groupe 3
Fréquence théorique
Femmes
F.a1.b1
F.a1.b2
F.a1.b3
Hommes
F.a2.b1
F.a2.b2
F.a2.b3
Gpe 1
Gpe 2
Gpe 3
Contrain
te
F[800a1b1+185a1b2+30a1b3]=268 F[390a2b1+450a2b2+130a2b3]=338
Contrainte
F[800a1b1+390a2b1]=371
F[185a1b2+450a2b2]=194
F[30a1b3+130a2b3]=41
Ce qui se réécrit :
a1 = 268/(F.800b1+F.185b2+F.30b3)
a2 = 338/(F.390b1+F.450b2+F.130b3)
b1 = 371/(F.800a1+390.a2)
b2 = 194/(F.185a1+450.a2)
b3 = 41/(F.30a1+130.a2)
En partant de l’hypothèse “absence d’influence homme / femme”, soit a1 = a2 = 1 et en
iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1 et a2 à partir de b1, b2 et
b3, on obtient :
a1
a2
b1
b2
b3
iter1
iter2
iter3
iter4
iter5
iter6
iter7
100,00% 85,45%
83,35%
83,06%
83,01% 83,01% 83,01%
100,00% 115,60% 117,96% 118,30%
118,34% 118,35% 118,35%
102,12% 107,12% 107,84% 107,94%
107,96% 107,96% 107,96%
100,07% 93,68%
92,77%
92,64%
92,62% 92,61% 92,61%
83,94% 76,34%
75,30%
75,15%
75,13% 75,13% 75,13%
Les valeurs convergent dès la quatrième itération (et ne varient plus dès la 6ème).
Ce qui donne des fréquences théoriques :
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Femmes Hommes
27,36% 39,01%
23,47% 33,46%
19,04% 27,14%
3° : En utilisant le modèle additif pour le coût moyen, construire la grille des coûts
théoriques adaptée aux observations, en écrivant, pour chaque valeur fixée d’un critère
que la charge de sinistres donnée par le modèle appliquée aux nombres de sinistres
observés est égale à la charge observée.
Posons C = coût moyen fréquence de l’ensemble de la population (= 4086).
Notons a1 et a2 les paramètres « influence femme » et « influence homme »
et notons b1, b2, b3 les paramètres « influence groupe1 » influence groupe2 et
influence groupe 3
Coût moyen théorique
Femmes
Hommes
Gpe 1
C + a1 + b1
C + a2 + b1
Gpe 2
C + a1 + b2
C + a2 + b2
Gpe 3
C + a1 + b3
C + a2 + b3
Contrain 213.(C+a1+b1)+45(C+a1+b2)+10(C 158.(C+a2+b1)+149(C+a2+b2)+31(C
te
+a1+b3)=1 153 200
+a2+b3)=1 323 000
Contrainte
213.(C+a1+b1)+158(C+a2
b1)=1 578 000
45.(C+a1+b2)+149.(C+a2
+b2)=755400
10.(C+a1+b3)+31(C+a2+b
3)=142800
Ce qui se réécrit :
a1 = (1 153 200 – 213b1 – 45b2 – 10b3)/268 - C
a2 = (1 323 000 – 158b1 – 149b2 – 31b3)/338 - C
b1 = (1 578 000 – 213a1 – 158a2)/371 -C
b2 = (755 400 – 45a1 – 149a2)/194 -C
b3 = (142 800 – 10a1 – 31a2)/41 -C
En partant de l’hypothèse “absence d’influence homme / femme”, soit a1 = a2 = 0 et en
iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1 et a2 à partir de b1, b2 et
b3, on obtient :
iter1
a1
a2
b1
b2
b3
iter2
0,0
0,0
167,2
-192,3
-603,2
iter3
138,7
-110,0
134,4
-140,0
-553,9
iter4
154,2
-122,3
130,8
-134,2
-548,4
iter5
155,9
-123,6
130,4
-133,5
-547,8
iter6
156,1
-123,8
130,3
-133,5
-547,7
156,1
-123,8
130,3
-133,5
-547,7
iter7
156,1
-123,8
130,3
-133,5
-547,7
Convergence à la 5ème itération.
Ce qui donne des coût moyens théoriques :
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Femmes Hommes
4 372,6 4 092,7
4 108,8 3 828,9
3 694,6 3 414,7
4° : Quelle grille tarifaire obtient-t-on ? La comparer avec celle du 1.
Freq x Coût moyen :
Empirique
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Femmes Hommes Nouvelle
1 163
1 662 G 1
1 002
1 267 G 2
1 260
808 G 3
Femmes Hommes
1 196
1 596
964
1 281
703
927
Ecarts
Femmes
Groupe 1
103%
Groupe 2
96%
Groupe 3
56%
Hommes
96%
101%
115%
Exercice 2
Un assureur couvre un risque dont la fréquence suit un processus de poisson de
paramètre = 50% et pour lequel l’examen des sinistres survenus a permis d’établir la
statistique des tranches de coût totaux suivante :
Min
Max
Nombre
Coût total de
la tranche
0
200
400
700
1000
1300
1600
200
400
700
1000
1300
1600
3200
2220
1345
815
495
300
185
110
258 890
499 490
510 680
435 730
340 700
252 990
181 520
1° : Quelle est la prime pure pour un contrat couvrant le risque durant un an ?
Prime pure = E(Fréquence) x E(Coût moyen) =  x (somme des coûts par tranche /
somme des nombres) = 50% x ( 2 480 000 / 5 470 ) = 50% x 453,38 = 226,69
2° : Quelle est la variance du résultat pour un contrat ?
On applique la formule :
Var(R) = E(Freq) x Var(Coût moyen) + Var(Freq) x E(Coût moyen)²
soit :
Var(R) =  x [ Var(Coût moyen) + E(Coût moyen)² ] cas la fréquence est poissonnienne
Pour évaluer un majorant (par prudence) de Var(CM) on applique le raisonnement :
sinistres concentrés aux extrémités des tranches. En notant  la proportion de sinistres
au maximum, pour respecter la contrainte Coût total, on a nombre x [.Max + (1-).min]
= Coût total, soit  (Max – min) + min = Coût total / nombre ou encore  = [Coût total /
nombre – min] / [Max – min]
ce qui permet d’évaluer, pour un sinistre de la tranche, E(CM²) = .Max² + (1-).min² et
donc la variance pour un sinistre de la tranche ( = E(CM²) – E(CM)² ) et donc la
variance de la tranche (= Nombre x Var(un sinistre de la tranche ) et donc la variance
totale, ce qui, divisé par le nombre de sinistres, donne la variance du coût moyen.
Min
(m)
0
200
400
700
1000
1300
1600
alpha
Max
Nombre Coût total
E(CM)
(a = (E(CM) (M)
(N)
(CT)
= CT/N
m)/(M-m)
200
2220
258 890
116,62
58,3%
400
1345
499 490
371,37
85,7%
700
815
510 680
626,60
75,5%
1000
495
435 730
880,26
60,1%
1300
300
340 700 1 135,67
45,2%
1600
185
252 990 1 367,51
22,5%
3200
110
181 520 1 650,18
3,1%
Ensemble
5 470 2 480 000
453,38
E(CM²)
(=a.M +(1a).m)
23 323
142 821
409 261
796 446
1 312 033
1 885 789
2 800 873
Var(CM)
Var tranche
=E(CM²)=Nx
E(CM)²
Var(CM)
9 724
21 586 995
4 907
6 599 383
16 632
13 555 285
21 584
10 684 166
22 295
6 688 367
15 696
2 903 756
77 773
8 554 996
369 696
70 572 948
Soit Var(CM) = 70 572 948 / 5470 = 12 902 et E(CM) = 453,38
Var(R) = 50% x [ 12 902 + 453,38²] = 109 230
3° : Quelle serait la prime pure si le contrat prévoyait de ne couvrir que le premier
sinistre par contrat chaque année ?
Pour un processus de Poisson, la probabilité d’avoir k sinistres est :
P(N=k) = exp- . k / k! , soit une espérance = somme sur k de k.exp - . k / k! (qui est
égale à 
On ne couvre que le premier sinistre : la probabilité de sinistre devient 1 – P(N=0) = 1 –
exp- = 1 – exp(-50%) = 39,34%
La prime pure devient, en notant P la prime pure du 2° : 39,34%/50% x P = 78,69% x P
= 178,39.
4° : Quelle seraient la prime pure et la variance du résultat pour un contrat si
celui-ci prévoyait un plafond de garantie à 1000 ?
On remplace les trois dernières tranches par : min = 1000, Max = 3200, nombre = 595,
coût total = 595 x 1000
Min
(m)
0
200
400
700
1000
Max
Nombre Coût total
E(CM)
(M)
(N)
(CT)
= CT/N
200
2220
258 890
116,62
400
1345
499 490
371,37
700
815
510 680
626,60
1000
495
435 730
880,26
3200
595
595 000 1 000,00
Ensemble
5 470 2 299 790
alpha
(a = (E(CM)
-m)/(M-m)
58,3%
85,7%
75,5%
60,1%
0,0%
420,44
E(CM²)
(=a.M +(1a).m)
23 323
142 821
409 261
796 446
1 000 000
Var(CM)
Var tranche
=E(CM²)=Nx
E(CM)²
Var(CM)
9 724
21 586 995
4 907
6 599 383
16 632
13 555 285
21 584
10 684 166
0
0
286 410
52 425 829
E(CM) = 420,44
V(CM) = 52 425 829 / 5470 = 93 176
Exercice 3
Le tableau ci-dessous représente la chronique des paiements constatés pour une
catégorie de risques sur les 5 dernières années. On considère qu’au bout de 5 ans, il
ne reste plus de sinistres à régler.
Paiements En année 1 En année 2 En année 3 En année 4 En année 5
2000
123
142
75
31
4
2001
145
140
82
30
2002
176
160
99
2003
132
135
2004
156
1° Quelles provisions devrait être constituées avec la méthode des cadences ?
On remplace les paiements annuels par les paiements cumulés et on applique la
méthode, ce qui nous donne un total de provisions de 443,7.
En
En année
En
En année
année 1
2
année 3
4
En année 5 Provisions
123
265
340
371
375
0,0
145
285
367
397
4,3
Cumul
2000
2001
2002
176
336
2003
2004
132
156
267
200%
283%
183%
129%
142%
42%
Facteur
Produit
Provisions (produit -1)
435
109%
110%
10%
101%
101%
1%
Coût
ultime
375
401,3
42,6
477,6
110,9
285,9
443,7
377,9
441,9
100%
100%
0%
2° En supposant que la sinistralité anticipée lors de l’établissement des tarifs est
de 85% et sachant que les primes de l’année 2000 étaient de 450 et ont ensuite
progressé de 15 par an, quelles seraient les provisions à constituer avec la méthode
Bornhuetter-Ferguson ?
Pour 100 de paiements en première année, l’évolution du cumul des paiements selon la
méthode des cadences est :
Facteur
Paiements
200%
100
129%
200
109%
258
101%
280
100%
283
Soit, en proportion du coût ultime :
Paiements
Provisions
Cumul
2000
2001
35,3%
64,7%
70,7%
29,3%
91,1%
8,9%
98,9%
1,1%
100,0%
0,0%
En année
En
En
En
En
Sinistres Prop
Prov.
1
année 2 année 3 année 4 année 5 Primes attendus restante BF
123
265
340
371
375
450
383
0,0%
0
145
285
367
397
465
395
1,1%
4
2002
176
336
2003
2004
132
156
267
435
480
408
8,9%
36
495
510
421
434
29,3%
64,7%
Total
123
280
445
Exercice 4
Un assureur A présente les caractéristiques suivantes : ses fonds propres sont de
1000, et sur les dernières années il a constatée en moyenne un bénéfice de 100. Il
couvre 11034 risques caractérisés par une probabilité de sinistre de 5% et une
distribution des montants de sinistres Y telle que :
F(Y) = P(Y<=y) = 0 pour y <= 0 et P(Y<=y) = 1 – e-10%.y pour y > 0.
1° quels sont l’espérance et la variance de la fréquence ?
C’est une loi binomiale de paramètre p = 5%. E() = p, V() = p.(1-p) :
E(freq) = 5%x1 + (1-5%).0 = 5% (=p)
E(freq²) = 5%.1² + (1-5%).0² = 5%
V(freq) = E(freq²) – e(freq)² = 5% - 5%² = 5%.(1-5%) = 4,75%
2° quels sont l’espérance et la variance du coût moyen ?
F(Y) représente la fonction de répartition d’une loi exponentielle de paramètre alpha =
10%. E(Y) = 1/alpha = 10 et V(Y) = 1/alpha² = 100
3° quels est le coefficient de sécurité  pour cet assureur ?
Dans le modèle fréquence/coût moyen, l’espérance et la variance de la charge annuelle
de sinistres pour un contrat s’obtiennent en appliquant les formules :
E(X) = E(N).E(Y)
V(X) = E(N).V(Y) + V(N)E(Y)²
Où X représente la variable aléatoire « charge annuelle pour un contrat », N la variable
aléatoire « fréquence » et Y la variable aléatoire « coût moyen d’un sinistre ».
Ici, V(X) = 5%.100 + 4,75%.10² = 9,75
La variance de l’ensemble du portefeuille est = 9,75 x 11034 = 107582
beta = Richesse + E(résultat) / écart type résultat d’ensemble = 1100 / racine(11034 x
9,75) = 3,35 (soit une probabilité de ruine de 0,04%)
L’assureur A fusionne avec un assureur B dont les fonds propres avant fusion étaient
de 1000 et ayant constaté sur les dernières années en moyenne une perte de 100.
4° sachant que le coefficient de sécurité  du nouvel ensemble est de 4, quel
était le coefficient de sécurité avant fusion de l’assureur B ?
Nouvel ensemble : 4 = (1000 + 1000)+(100-100) / écart type résultat
Ecart type résultat d’ensemble = 2000 / 4 = 500
Variance totale = 250 000
Dont variance assureur A : 107 582 -> variance assureur B = 142 418
D’ou beta(B) = 900 / racine(142 418) = 2,38 (probabilité de ruine de 0,85%)