Corrigé 20050620 ()

CNAM 2004-2005
Mathématiques actuarielles fondamentales (assurance non vie)
Examen du 20 juin 2005 - 18h30 – 20h30
(Tous documents autorisés)
Les exercices sont indépendants.
Exercice 1
Un assureur cherche à déterminer le tarif à appliquer à une population segmentée selon
2 critères : le sexe de l’assuré et le groupe de véhicule à partir des observations
présentées dans les tableaux ci-dessous :
Nombre d'assurés
Femmes
Hommes
Groupe 1
800
390
Groupe 2
185
450
Groupe 3
30
130
Nombre de sinistres
Femmes
Hommes
Groupe 1
213
158
Groupe 2
45
149
Groupe 3
10
31
Charge estimée des sinistres
Femmes
Hommes
Groupe 1
930 000
648 000
Groupe 2
185 400
570 000
Groupe 3
37 800
105 000
1° : Pour chaque case tarifaire et chaque sous-population, calculer la fréquence
empirique, le coût moyen empirique et la prime pure empirique
Fréquence empirique = nombre de sinistres / nombre d’assurés
Coût moyen empirique = charge des sinistres / nombre de sinistres
Prime pure empirique = Fréquence empirique x Coût moyen (= charge des sinistres /
nombre d’assurés)
Nombre d'assurés
Fréquences empirique
Femmes
Hommes
Ensemble
Femmes
Hommes
Ensemble
Groupe 1
800
390
1 190
Groupe 1
26,63%
40,51%
31,18%
Groupe 2
185
450
635
Groupe 2
24,32%
33,11%
30,55%
Groupe 3
30
130
160
Groupe 3
33,33%
23,85%
25,63%
Ensemble
1 015
970
1 985
Ensemble
26,40%
34,85%
30,53%
Nombre de sinistres
Coûts moyens empiriques
Femmes
Hommes
Ensemble
Femmes
Hommes
Ensemble
Groupe 1
213
158
371
Groupe 1
4 366
4 101
4 253
Groupe 2
45
149
194
Groupe 2
4 120
3 826
3 894

Groupe 3
10
31
41
Groupe 3
3 780
3 387
3 483
Ensemble
268
338
606
Ensemble
4 303
3 914
4 086
Charges estimées des sinistres
Primes pures empiriques
Femmes
Hommes
Ensemble
Femmes
Hommes
Ensemble
Groupe 1
930 000
648 000
1 578 000
Groupe 1
1 163
1 662
1 326
Groupe 2
185 400
570 000
755 400
Groupe 2
1 002
1 267
1 190
Groupe 3
37 800
105 000
142 800
Groupe 3
1 260
808
893
Ensemble
1 153 200
1 323 000
2 476 200
Ensemble
1 136
1 364
1 247
2° : En utilisant le modèle multiplicatif pour la fréquence, construire la grille des
fréquences théoriques, en écrivant, pour chaque valeur fixée d’un critère, que le
nombre de sinistres donné par le modèle appliqué à la population observée est égal au
nombre observé.
Posons F = fréquence de l’ensemble de la population (= 30,53%).
Notons a1 et a2 les paramètres « influence femme » et « influence homme »
et notons b1, b2, b3 les paramètres « influence groupe1 » influence groupe2 et
influence groupe 3
Fréquence théorique
Femmes
Hommes
Contrainte
Gpe 1
F.a1.b1
F.a2.b1
F[800a1b1+390a2b1]=371
Gpe 2
F.a1.b2
F.a2.b2
F[185a1b2+450a2b2]=194
Gpe 3
F.a1.b3
F.a2.b3
F[30a1b3+130a2b3]=41
Contrain
te
F[800a1b1+185a1b2+30a1b3]=268
F[390a2b1+450a2b2+130a2b3]=338
Ce qui se réécrit :
a1 = 268/(F.800b1+F.185b2+F.30b3)
a2 = 338/(F.390b1+F.450b2+F.130b3)
b1 = 371/(F.800a1+390.a2)
b2 = 194/(F.185a1+450.a2)
b3 = 41/(F.30a1+130.a2)
En partant de l’hypothèse “absence d’influence homme / femme”, soit a1 = a2 = 1 et en
iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1 et a2 à partir de b1, b2 et
b3, on obtient :
iter1
iter2
iter3
iter4
iter5
iter6
iter7
a1
100,00%
85,45%
83,35%
83,06%
83,01%
83,01%
83,01%
a2
100,00%
115,60%
117,96%
118,30%
118,34%
118,35%
118,35%
b1
102,12%
107,12%
107,84%
107,94%
107,96%
107,96%
107,96%
b2
100,07%
93,68%
92,77%
92,64%
92,62%
92,61%
92,61%
b3
83,94%
76,34%
75,30%
75,15%
75,13%
75,13%
75,13%
Les valeurs convergent dès la quatrième itération (et ne varient plus dès la 6ème).
Ce qui donne des fréquences théoriques :
Femmes
Hommes
Groupe 1
27,36%
39,01%
Groupe 2
23,47%
33,46%
Groupe 3
19,04%
27,14%
3° : En utilisant le modèle additif pour le coût moyen, construire la grille des coûts
théoriques adaptée aux observations, en écrivant, pour chaque valeur fixée d’un critère
que la charge de sinistres donnée par le modèle appliquée aux nombres de sinistres
observés est égale à la charge observée.

Posons C = coût moyen fréquence de l’ensemble de la population (= 4086).
Notons a1 et a2 les paramètres « influence femme » et « influence homme »
et notons b1, b2, b3 les paramètres « influence groupe1 » influence groupe2 et
influence groupe 3
Coût moyen théorique
Femmes
Hommes
Contrainte
Gpe 1
C + a1 + b1
C + a2 + b1
213.(C+a1+b1)+158(C+a2
b1)=1 578 000
Gpe 2
C + a1 + b2
C + a2 + b2
45.(C+a1+b2)+149.(C+a2
+b2)=755400
Gpe 3
C + a1 + b3
C + a2 + b3
10.(C+a1+b3)+31(C+a2+b
3)=142800
Contrain
te
213.(C+a1+b1)+45(C+a1+b2)+10(C
+a1+b3)=1 153 200
158.(C+a2+b1)+149(C+a2+b2)+31(C
+a2+b3)=1 323 000
Ce qui se réécrit :
a1 = (1 153 200 – 213b1 – 45b2 – 10b3)/268 - C
a2 = (1 323 000 – 158b1 – 149b2 – 31b3)/338 - C
b1 = (1 578 000 – 213a1 – 158a2)/371 -C
b2 = (755 400 – 45a1 – 149a2)/194 -C
b3 = (142 800 – 10a1 – 31a2)/41 -C
En partant de l’hypothèse “absence d’influence homme / femme”, soit a1 = a2 = 0 et en
iterant les valeurs de b1,b2,b3 à partir de a1 et a2, puis de a1 et a2 à partir de b1, b2 et
b3, on obtient :
iter1
iter2
iter3
iter4
iter5
iter6
iter7
a1
0,0
138,7
154,2
155,9
156,1
156,1
156,1
a2
0,0
-110,0
-122,3
-123,6
-123,8
-123,8
-123,8
b1
167,2
134,4
130,8
130,4
130,3
130,3
130,3
b2
-192,3
-140,0
-134,2
-133,5
-133,5
-133,5
-133,5
b3
-603,2
-553,9
-548,4
-547,8
-547,7
-547,7
-547,7
Convergence à la 5ème itération.
Ce qui donne des coût moyens théoriques :
Femmes
Hommes
Groupe 1
4 372,6
4 092,7
Groupe 2
4 108,8
3 828,9
Groupe 3
3 694,6
3 414,7
4° : Quelle grille tarifaire obtient-t-on ? La comparer avec celle du 1.
Freq x Coût moyen :
Empirique
Femmes
Hommes
Nouvelle
Femmes
Hommes
Ecarts
Femmes
Hommes
Groupe 1
1 163
1 662
G 1
1 196
1 596
Groupe 1
103%
96%
Groupe 2
1 002
1 267
G 2
964
1 281
Groupe 2
96%
101%
Groupe 3
1 260
808
G 3
703
927
Groupe 3
56%
115%
Exercice 2
Un assureur couvre un risque dont la fréquence suit un processus de poisson de
paramètre = 50% et pour lequel l’examen des sinistres survenus a permis d’établir la
statistique des tranches de coût totaux suivante :
Min
Max
Nombre
Coût total de
la tranche

0
200
2220
258 890
200
400
1345
499 490
400
700
815
510 680
700
1000
495
435 730
1000
1300
300
340 700
1300
1600
185
252 990
1600
3200
110
181 520
1° : Quelle est la prime pure pour un contrat couvrant le risque durant un an ?
Prime pure = E(Fréquence) x E(Coût moyen) = x (somme des coûts par tranche /
somme des nombres) = 50% x ( 2 480 000 / 5 470 ) = 50% x 453,38 = 226,69
2° : Quelle est la variance du résultat pour un contrat ?
On applique la formule :
Var(R) = E(Freq) x Var(Coût moyen) + Var(Freq) x E(Coût moyen)²
soit :
Var(R) = x [ Var(Coût moyen) + E(Coût moyen)² ] cas la fréquence est poissonnienne
Pour évaluer un majorant (par prudence) de Var(CM) on applique le raisonnement :
sinistres concentrés aux extrémités des tranches. En notant la proportion de sinistres
au maximum, pour respecter la contrainte Coût total, on a nombre x [ .Max + (1- ).min]
= Coût total, soit (Max – min) + min = Coût total / nombre ou encore = [Coût total /
nombre – min] / [Max – min]
ce qui permet d’évaluer, pour un sinistre de la tranche, E(CM²) = .Max² + (1- ).min² et
donc la variance pour un sinistre de la tranche ( = E(CM²) – E(CM)² ) et donc la
variance de la tranche (= Nombre x Var(un sinistre de la tranche ) et donc la variance
totale, ce qui, divisé par le nombre de sinistres, donne la variance du coût moyen.
Min
(m)
Max
(M)
Nombre
(N)
Coût total
(CT)
E(CM)
= CT/N
alpha
(a = (E(CM) -
m)/(M-m)
E(CM²)
(=a.M +(1-
a).m)
Var(CM)
=E(CM²)-
E(CM)²
Var tranche
= N x
Var(CM)
0
200
2220
258 890
116,62
58,3%
23 323
9 724
21 586 995
200
400
1345
499 490
371,37
85,7%
142 821
4 907
6 599 383
400
700
815
510 680
626,60
75,5%
409 261
16 632
13 555 285
700
1000
495
435 730
880,26
60,1%
796 446
21 584
10 684 166
1000
1300
300
340 700
1 135,67
45,2%
1 312 033
22 295
6 688 367
1300
1600
185
252 990
1 367,51
22,5%
1 885 789
15 696
2 903 756
1600
3200
110
181 520
1 650,18
3,1%
2 800 873
77 773
8 554 996
Ensemble
5 470
2 480 000
453,38
369 696
70 572 948
Soit Var(CM) = 70 572 948 / 5470 = 12 902 et E(CM) = 453,38
Var(R) = 50% x [ 12 902 + 453,38²] = 109 230
3° : Quelle serait la prime pure si le contrat prévoyait de ne couvrir que le premier
sinistre par contrat chaque année ?
Pour un processus de Poisson, la probabilité d’avoir k sinistres est :
P(N=k) = exp- . k / k! , soit une espérance = somme sur k de k.exp- . k / k! (qui est
égale à 
On ne couvre que le premier sinistre : la probabilité de sinistre devient 1 – P(N=0) = 1 –
exp- = 1 – exp(-50%) = 39,34%
La prime pure devient, en notant P la prime pure du 2° : 39,34%/50% x P = 78,69% x P
= 178,39.
4° : Quelle seraient la prime pure et la variance du résultat pour un contrat si

celui-ci prévoyait un plafond de garantie à 1000 ?
On remplace les trois dernières tranches par : min = 1000, Max = 3200, nombre = 595,
coût total = 595 x 1000
Min
(m)
Max
(M)
Nombre
(N)
Coût total
(CT)
E(CM)
= CT/N
alpha
(a = (E(CM)
-m)/(M-m)
E(CM²)
(=a.M +(1-
a).m)
Var(CM)
=E(CM²)-
E(CM)²
Var tranche
= N x
Var(CM)
0
200
2220
258 890
116,62
58,3%
23 323
9 724
21 586 995
200
400
1345
499 490
371,37
85,7%
142 821
4 907
6 599 383
400
700
815
510 680
626,60
75,5%
409 261
16 632
13 555 285
700
1000
495
435 730
880,26
60,1%
796 446
21 584
10 684 166
1000
3200
595
595 000
1 000,00
0,0%
1 000 000
0
0
Ensemble
5 470
2 299 790
420,44
286 410
52 425 829
E(CM) = 420,44
V(CM) = 52 425 829 / 5470 = 93 176
Exercice 3
Le tableau ci-dessous représente la chronique des paiements constatés pour une
catégorie de risques sur les 5 dernières années. On considère qu’au bout de 5 ans, il
ne reste plus de sinistres à régler.
Paiements
En année 1
En année 2
En année 3
En année 4
En année 5
2000
123
142
75
31
4
2001
145
140
82
30
2002
176
160
99
2003
132
135
2004
156
1° Quelles provisions devrait être constituées avec la méthode des cadences ?
On remplace les paiements annuels par les paiements cumulés et on applique la
méthode, ce qui nous donne un total de provisions de 443,7.
Cumul
En
année 1
En année
2
En
année 3
En année
4
En année 5
Provisions
Coût
ultime
2000
123
265
340
371
375
0,0
375
2001
145
285
367
397
4,3
401,3
2002
176
336
435
42,6
477,6
2003
132
267
110,9
377,9
2004
156
285,9
441,9
443,7
Facteur
200%
129%
109%
101%
100%
Produit
283%
142%
110%
101%
100%
Provisions (produit -1)
183%
42%
10%
1%
0%
2° En supposant que la sinistralité anticipée lors de l’établissement des tarifs est
de 85% et sachant que les primes de l’année 2000 étaient de 450 et ont ensuite
progressé de 15 par an, quelles seraient les provisions à constituer avec la méthode
Bornhuetter-Ferguson ?
Pour 100 de paiements en première année, l’évolution du cumul des paiements selon la
méthode des cadences est :
Facteur
200%
129%
109%
101%
100%
Paiements
100
200
258
280
283