STA 2314 : Mathématiques pour l`Assurance

STA 2314 : Mathématiques pour l'Assurance
Travaux dirigés 3
Assurance Dommages
Distribution des Sinistres
Exercice 1 I. La distribution des sinistres Y est caractérisée par une densité :
f (y) = c2 y e−cy I[0,+∞[ (y) (c > 0).
1. Déterminer la fonction génératrice des moments de Y . Calculer E(Y ) en fonction de c.
Quelle est la valeur de ce paramètre lorsque E(Y ) = 915 euros ? Calculer la variance de Y .
2. Etudier les variation de f (y). Quel est le montant de sinistre le plus probable ?
II. Le nombre annuel de sinistres N est régi par une loi géométrique, telle que :
P (N = n) = (1 − p) · pn (0 < p < 1).
Quelle est la fonction génératrice de N ? Quelle est la valeur de p qui correspond à E(N )=1/3 ?
Calculer la variance de N .
III.
1. On désigne par X la charge annuelle cumulée des sinistres. Quels sont l'espérance mathématique et l'écart type de X ?
2. Calculer la fonction génératrice des moments. Montrer qu'elle correspond à une probabilité
de 0.75 d'avoir X = 0 et dans le cas où il y a au moins un sinistre, à une densité g(x) qui
se présente comme une combinaison linéaire de deux exponentielles à préciser.
Exercice 2 I. On considère une v.a. Y de loi de Pareto de paramètre (a, y0 ). Soit Z = log Y .
1. Montrer que P (Z > z) = e−a(z−z0 ) on précisera z0 . Quelle est l'espérance mathématique
de Z .
2. Soit y1 , · · · , yn les valeurs de n observations indépendantes de Y . Proposer un estimateur
sans biais de 1/a.
II. Le tableau suivant donne les valeurs actualisées en 1990 de 55 sinistres survenus en 38 ans
aux Etats-Unis. On cherche à ajuster ces observations par une loi de Pareto.
1. Estimer le paramètre a.
2. Faire un test du χ2 au seuil de 5 % sur la base de la répartition des nombres par tranches
de coût.
1
3. En supposant que le nombre annuel de sinistres de l'espèce est régi par un processus de
Poisson, en évaluer le paramètre, puis calculer la probabilité d'observer en un an au moins
un sinitre dépassant en valeur le plus important enregistré sur les 38 annnées.
Catastrophes naturelles aux USA Sinistres dépassant 200 millions de dollars
N◦
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Montants
203.75
203.87
208.89
212.99
214.00
215.05
216.65
219.76
219.90
222.64
222.75
240.98
245.68
248.98
251.08
260.10
268.04
272.78
N◦
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Montants
287.56
289.17
297.67
298.35
307.54
317.94
320.60
328.64
332.13
342.97
351.64
407.47
420.16
427.31
431.45
439.86
471.21
503.67
N◦
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
Montants
529.94
581.99
814.85
822.22
847.28
893.11
896.93
1008.58
1023.26
1050.19
1199.89
1243.45
1263.48
1312.98
1602.07
2465.37
2753.91
5576.76
6299.95
Exercice 3 Dans un contrat d'assurance automobile applicable à une otte de 5 véhicules, la
clause de bonus-malus est conçue de la manière suivante.
• Il y a 3 niveaux de tarifs :
le niveau 2 est celui du tarif d'origine (P est la prime annuelle),
le niveau 1 correspond à 50% de P ,
le niveau 3 correspond à 150% de P .
• Après une année sans sinistre le niveau descend d'une unité sans pouvoir être inférieur à 1.
• Un seul sinistre dans l'année laisse le niveau de tarif inchangé.
• Plus d'un sinistre en un an augmente le niveau d'une unité sans qu'il puisse excéder 3.
1. En considérant que les 5 risques regroupés sont indépendants et que le nombre des sinistres
sur chacun d'entre eux est une variable de Poisson d'espérance mathématique λ = 0.15,
quelles sont les probabilités d'avoir, en un an, au moins 2 sinistres.
2. Désignant par ak , bk et ck les probabilités d'être respectivement aux niveaux de tarifs 1,
2 ou 3 au cours de l'année k , déterminer les valeurs de ak+1 , bk+1 et ck+1 en fonction des
valeurs précédentes.
2
3. En supposant qu'il existe une distribution limite telle que :
lim ak = a ,
k→+∞
lim bk = b ,
k→+∞
lim ck = c,
k→+∞
trouver les valeurs de ces proportions et en déduire l'espérance mathématique de la prime
ultime en fonction de P .
Quelle doit être la valeur de P pour que la prime ultime vaille 100 ?
Processus des Sinistres
Exercice 4 Une compagnie d'assurance décide de modéliser le nombre d'un type de sinistres
donnés par un processus de Poisson d'intensité λ. Cependant l'enregistrement de ces sinistres est
aléatoire et chaque sinistre a une probabilité p d'être enregistré indépendamment des autres.
Montrer que le processus des enregistrements est un processus de Poisson de paramètre λp.
Exercice 5 Considérons que l'occurrence d'un sinistre durant une période [t, t + h) est indépendante du nombre de sinistres survenus auparavant et que sa probabilité est λ(t)h + o(h),
h → 0.
1. Montrer que la probabilité qu'il n'y ait pas de sinistres entre [0, s] est :
Z s
exp −
λ(u)du .
0
2. Montrer que la probabilité qu'il y ait k sinistres entre [0, s] est :
Z s
k
Z s
1
λ(u)du .
λ(u)du exp −
k!
0
0
Exercice 6 Le nombre de sinistres N (u) observés entre 0 et u est régi par un processus de
Poisson d'intensité constante λ. A la date t, on a observé n sinistres.
1. Montrer que pour s ∈ [0, t[ :
1
n
P (1 sinistre entre s et s + ds) =
ds→0 ds
t
lim
2. Montrer que :
P (N (s) = k|N (t) = n) = Cnk
s k t
1−
s n−k
, s ≤ t , 0 ≤ k ≤ n.
t
Exercice 7 Pour tarifer un certain risque, on fait les hypothèses suivantes :
• l'intensité du nombre de sinistres est constante,
• les sinistres successifs sont des variables aléatoires indépendantes de la forme :
Yi = Zi · (1 + r)Ti ,
où Ti est l'époque de survenance, r un taux annuel d'ination et Zi une variable aléatoire telle
que E(Zi ) = C .
Donner l'expression de E(Xt ), où Xt désigne la charge cumulé des sinistres de 0 à t, en fonction
de C , r, λ et t.
Application numérique : λ = 0.1, C =150 euros, r=10%, t=1 et 5 ans.
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