Cette propriété est importante en pratique, parce que, si les données rela-
tives au nombre de sinistres montrent une variance (estimée) signi…cativement
plus grande que l’espérance (estimée), la loi binômiale négative présentera une
meilleure adéquation avec les observations que la loi de Poisson. ( ce qui sera
montré ultérieurement lors de l’étude statistique du risque).
2 Etude de la composante montant
Il s’agit de caractériser la loi d’une variable Xà valeurs positives.
On peut citer, au titre des lois les plus communément utilisées en calcul
actuariel, la loi exponentielle, la loi log-normale et la loi gamma.
Loi exponentielle
Elle est caractérisée de la manière suivante.
De…nition 4 Xsuit une loi exponentielle de paramètre csi sa fonction de
répartition est dé…nie par:
P(X < x) = exp(cx)où cest positif
La densité correspondante est f(x) = cexp(cx)et l’espérance est égale à
E(X) = 1
c
Loi log-normale
C’est la loi d’une variable Xtelle que son logarithme Y=Log(X)suit une
loi normale N(m; 2).
Son espérance est égale à E(X) = exp(m+2
2):
Exercice: Le montrer
Loi Gamma (r; )
De…nition 5 Une variable Xde loi gamma (r; )est caractérisée par la
densité:
h(x) = r
(r)exxr11x0
où > 0et r > 0sont des nombres réels. (r) = R1
0exp(t)tr1dt:
L’espérance de la variable Xest égale à E(X) = r
Exercice: calculer l’espérance d’une variable de loi (r; ).
La loi gamma a pour propriété d’être stable par sommation:
Proposition 6 La somme de deux variables aléatoires Xet Yindépendantes,
distribuées selon une loi Gamma, suit aussi une loi Gamma.
Remarque: quelle que soit la loi adoptée pour représenter le montant des
sinistres, on calcule une prime ”stop-loss” , lorsqu’il existe une franchise; dans
ce cas, l’assureur ne prend en charge le sinistre que si XFoù Fdésigne le
montant de la franchise. La prime est alors calculée comme:
E(max(0; X F)) = Z1
F
xfX(x)dx
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