Master Gestion des risques en finance et assurance

Master Gestion des risques en …nance et
assurance
Analyse économétrique approfondie des risques
en …nance et assurance
Partie II Introduction au calcul actuariel:
Chapitre 1: Analyse a priori du risque en
assurance
Catherine Bruneau
Année 2009-2010
1
Analyse a priori du risque en assurance
On distingue traditionnellement deux composantes pour caractériser le risque:
la composante fréquence NT , nombre de sinistres sur une période donnée [0; T ]
et la composante montant X par sinistre.
On introduit alors la variable aléatoire ST qui est le montant cumulé des
sinistres sur la période [0; T ] pour un client :
ST =
NT
X
Xi
i=1
Xi est la variable aléatoire correspondant au montant du iieme sinistre. NT
est aussi une variable aléatoire. Il convient de modéliser les deux.
1.1
Etude de la composante fréquence des sinistres pour
un dossier
Il existe di¤érentes lois utilisées pour caractériser la distribution de NT .
1.1.1
Loi de Poisson simple P( )
Elle caractérise l’arrivée d’évènements sur une période donnée, sous les hypothèses suivantes:
1
i) deux sinistres ne peuvent pas survenir en même temps
ii) le nombre d’évènements sur une période ne dépend que de la longueur de
la période
iii) les évènements survenus sur des périodes sans recouvrement sont indépendants
Dans ce cas, la variable aléatoire NT obéit à une loi,de Poisson P( T ) de
paramètre T :
( T )n
P (NT = n) = e T
n!
où
caractérise la cadence, c’est-à-dire, le nombre moyen d’évènements par
unité de temps.
La loi de Poisson P( ) a pour propriété d’avoir son espérance égale à sa
variance, égales au paramètre .
Exercice: le montrer
On peut généraliser le processus précédent en supposant que plusieurs sinistres peuvent survenir à la fois.
1.1.2
Processus de Poisson généralisé
De…nition 1 (Xt )t dé…nit un processus de Poisson généralisé sur [0; T ] si:
i) X0 = 0
ii) (Xt )t est un processus à accroissements indépendants: (X 2 X 1 ) et
(X 4 X 3 ) sont indépendants si 1 < 2 < 3 < 4
iii) (Xt )t est un processus à accroissements stationnaires: la loi de X +h
X ne dépend que de h et pas de
iv) le nombre espéré de sinistres sur chaque intervalle de temps …ni est …ni
v) la loi du nombre d’évènements à chaque fois qu’il en arrive est caractérisé
par la fonction de répartition F
Alors, on a:
P (Xt
x) =
X
exp(
k 0
où F
(k)
t)
( t)k
F
k!
(k)
(x)
(x) désigne le résultat de k convolutions:
Z
(1)
F
(x) =
F (y x)dF (y)
Z
F (k) (x) =
F (k 1) (y x)dF (y)
Remarque: si F (k) (x) = 1 pour tout k.
Rappel: la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de
même loi F a pour fonction de répartition F (1) . Plus généralement, F (k 1)
caractérise la loi de la somme de k variables indépendantes de même loi F .
2
1.1.3
Loi binômiale négative
Cette loi est utilisée pour décrire un phénomène de contagion. En e¤et on peut
dé…nir l’intensité de la fréquence des sinistres de la manière suivante
De…nition 2 Etant donné un processus de comptage (Nt )t , on dé…nit l’intensité
de la fréquence des sinistres comme suit:
pn;n+1 (t; t + h)
h
= P (Nt+h = n + k=Nt = n)
n+1 (t)
=
où pn;n+k (t; t + h)
lim
h!0
ieme
sinistre
n+1 (t) caractérise la probabilité instantanée d’observer un n+1
à la date t. En pratique on considère des processus pour lesquels n+1 = a + bn
avec a 0.
Si b = 0, on retrouve le processus de Poisson simple. Si b > 0, on a un
processus de contagion. Dans ce cas, on obtient un processus suivant une loi
Binômiale Négative tel que les probabilités de transition obéissent à:
pn;n+k (h)
=
avec p(h)
=
( n + k 1)
p(h)
k! ( n 1)
exp( bh) et
n
=
n
n+1
b
p(h))k
(1
=
a
+n
b
De…nition 3 Un processus de comptage (Nt )t suit une loi Binômiale Négative
BN (r; p) s’il véri…e:
P (Nt = n) =
où (r) =
(r
R1
0
e t tr
1
(r + n) r
p (1
(r)n!
p)n
dt pour tout nombre réel r positif.
Remarque: pour tout r, on a (r) = (r 1) (r 1); si r est entier, (r) =
1)! et (1) = 1:
On peut montrer que, dans ce cas, E(NT ) = r(1p p) et V ar(NT )) = r(1p2 p)
ar(NT ))
de sorte que V E(N
= p1 > 1.
T)
Exercice: le montrer.
Par exemple, on écrira:
EU
=
1
X
nP (U = n) =
n=1
=
=
1
X
n
n=1
r(1
p
r(1
1
p) X
(n
n=1
1
1)!
p)
p
car r (r) = (r + 1).
3
1 (r + n) r
p (1
n!
(r)
(r + 1 + n
r (r)
1)
p)n
pr+1 (1
p)n
1
Cette propriété est importante en pratique, parce que, si les données relatives au nombre de sinistres montrent une variance (estimée) signi…cativement
plus grande que l’espérance (estimée), la loi binômiale négative présentera une
meilleure adéquation avec les observations que la loi de Poisson. ( ce qui sera
montré ultérieurement lors de l’étude statistique du risque).
2
Etude de la composante montant
Il s’agit de caractériser la loi d’une variable X à valeurs positives.
On peut citer, au titre des lois les plus communément utilisées en calcul
actuariel, la loi exponentielle, la loi log-normale et la loi gamma.
Loi exponentielle
Elle est caractérisée de la manière suivante.
De…nition 4 X suit une loi exponentielle de paramètre c si sa fonction de
répartition est dé…nie par:
P (X < x) = exp( cx) où c est positif
La densité correspondante est f (x) =
E(X) = 1c
c exp( cx) et l’espérance est égale à
Loi log-normale
C’est la loi d’une variable X telle que son logarithme Y = Log(X) suit une
loi normale N (m; 2 ).
2
Son espérance est égale à E(X) = exp(m + 2 ):
Exercice: Le montrer
Loi Gamma (r; )
De…nition 5 Une variable X de loi gamma (r; ) est caractérisée par la
densité:
r
h(x) =
e x xr 1 1x 0
(r)
R1
où
> 0 et r > 0 sont des nombres réels. (r) = 0 exp( t)tr 1 dt:
L’espérance de la variable X est égale à E(X) = r
Exercice: calculer l’espérance d’une variable de loi (r; ).
La loi gamma a pour propriété d’être stable par sommation:
Proposition 6 La somme de deux variables aléatoires X et Y indépendantes,
distribuées selon une loi Gamma, suit aussi une loi Gamma.
Remarque: quelle que soit la loi adoptée pour représenter le montant des
sinistres, on calcule une prime ”stop-loss” , lorsqu’il existe une franchise; dans
ce cas, l’assureur ne prend en charge le sinistre que si X F où F désigne le
montant de la franchise. La prime est alors calculée comme:
Z 1
xfX (x)dx
E(max(0; X F )) =
F
4