mécanique du point matériel - Plate

MÉCANIQUEDUPOINTMATÉRIEL
Cours&Applications
HichemChaabane
ProfesseurdePhysiqueàl'ISITCom‐HammamSousse‐Tunisie
Année2010

TabledesMatières
ChapitreI:CinématiqueduPointMatériel………………………………………………………………………………02
ChapitreII:DynamiqueduPointMatérielDansUnRéférentielGaliléen………………………………….22
ChapitreIII:TravailEtÉnergie………………………………………………………………………………………………….37
ChapitreIV:L'OscillateurHarmoniqueEtamortiParFrottementFluide………………………………….49
ChapitreV:OscillateurHarmoniqueEnRégimeForcé……………………………………………………………..61
ChapitreVI:LeMomentCinétique…………………………………………………………………………………………..66
ChapitreVII:LesChangementsDeRéférentiels……………………………………………………………………….71
ChapitreVIII:DynamiqueduPointMatérielDansUnRéférentielNonGaliléen………………………78
ChapitreIX:SystèmeDeDeuxPointsMatérielsEnInteraction………………………………………………..92
ChapitreX:LesMouvementsÀForceCentrale………………………………………………………………………..103

ChapitreI:CinématiqueduPointMatériel
MécaniqueduPointMatérielHichemChaabane‐Année2011ISITCom‐HammamSousse
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ChapitreI
CINÉMATIQUEDUPOINTMATÉRIEL
Lamécaniqueétudielemouvementdescorpsetlarelationentrecemouvementetdesnotionsphysiques
tellesquelaforceetlamasse.Ellesediviseentroisparties:
‐lacinématiquequiapourobjetl’étudedemouvementenfonctiondesconceptsd’espaceetdetemps
enfaisantabstractiondesescauses.
‐ladynamiquequiétudielesrelationsentrelesmouvementsetlesforcesquilesproduisent.
‐lastatiquequiestl’étudedeséquilibresetdesconditionsauxquelsdoiventsatisfairelesforces
s’exerçantsuruncorpspourqu’ilresteaureposs’ill’estinitialement.Dansnotrecasnousneparleronsquetrès
peudelastatique,enlamentionnantcommecasparticulierdeladynamique.
I‐DÉFINITIONSFONDAMENTALES
I‐1‐pointmatériel
Unmouvementestlechangementcontinudelapositiond’unobjetetpeuts’accompagnerderotationsoude
vibrations.Dansdenombreusessituations,onpeuttraiterl’objetcommes’ils’agissaitd’uneparticule.C’està
direquel’étatmécaniquedusystèmepeutêtresuffisammentbienreprésentéparlescoordonnéesd’unpoint.
C’estunélémentmatériel,cohésif,depetitesdimensionsparrapportauxautresdimensionsmisesenjeu.Onlui
associeunscalairepositifappelésamassequiestlaquantitédematièrecontenuedanslevolumedel'objet.
I‐2‐événement
Lesphénomènesphysiquespeuventêtreconsidéréscommeunensembled’événements,c’estàdiredes
phénomènesélémentairesquiseproduisentendesendroitsdéterminésdel’espaceetàuninstantdonné.
I‐3‐temps
EnmécaniqueNewtonienne,letempsestunevariableindépendantereprésentéegénéralementparlalettre
àl'exclusiondetouteautrenotation(saufprécisionsparticulièresàunproblèmedéterminé),quirepèrel’instant
oùl’événements’estproduit.Cettevariabletempss’écouledansunsensetpasdansl’autre(dansunsenstelque
lacauseprécèdel’effet):telévénementalieuaprèstelautre.Quandonsaitclasserlasuccessiontemporelledes
événementsonditquel’onaétablitunechronologie.
Noussupposonsaussiqueletempsestuniforme,cequirevientàdirequelesloisphysiquessontinvariantespar
translationdansletemps.
I‐4‐repèred’espace
Onappellerepèred’espace,unensembledepointsdontlesdistancessontinvariablesaucoursdutemps.On
caractérisegénéralementunrepèred'espaceparunpoint,originedurepère,choisiconventionnellementet
unebase(
, , )dontonaintérêtàlachoisirorthonormée.
I‐5‐notionsderéférentieldetempsabsolu
Pourdéfinirlapositiondesdifférentspointsdel’espacegéométrique,unobservateurutiliseraunrepère
d’espace(systèmedecoordonnéesquiluiestlié)etunehorlogepourmesurerlestemps.Cerepèreespace‐
tempsestappeléréférentiel.

ChapitreI:CinématiqueduPointMatériel
MécaniqueduPointMatérielHichemChaabane‐Année2011ISITCom‐HammamSousse
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Noussupposonsqueletempsestunenotionabsolueindépendanteduréférentiel,c’estàdiredeuxobservateurs
liésàdesréférentielsdifférentsattribuentlesmêmesdatesauxmêmesévénements.Notonsaussiquelamasse
d'unpointmatérieldéfiniedansleparagrapheI‐1,estinvariableaucoursdutempsetparchangementde
référentiel.
I‐6‐mouvement
Ilfautavanttoutnoterquelanotiondemouvementestrelative.Iln'estpaspossibledeparleravecprécision
d'unmouvementsansdireparrapportàquoionl'observe,c'estàdiresansdéfinirunréférentiel.L'énoncéd'un
mouvementdevraobligatoirementêtresuivideceluiduréférentielcorrespondant.
Onditqu’unpointmatérielestenmouvementsil’uneaumoinsdesescoordonnéesvarieavecletemps.Si
lescoordonnéesdupointsontconstantesaucoursdutemps,lepointestditimmobileouaurepos
(toujoursparrapportàunréférentielbiendéterminé).
I‐7‐trajectoire
Considéronsunpointenmouvementparrapportàunréférentielnoté.Lacourbedécriteparcepoint
quandletempss’écouleestappeléetrajectoiredupointdansleréférentielconsidéré.C’estlelieu
géométriquedespositionseffectivementoccupéesparlepointmatérielquandletempss’écoule.
I‐8‐vecteurespace(vecteurposition)
Soitl’originedurepèreespaceetsoitlaposition,àl’instant,delaparticulesursatrajectoire.On
appellevecteurespace(ouaussivecteurposition)levecteur
,fonctionvectorielledutemps.Onécrit:
I‐9‐équationhorairedumouvement
Considéronsunetrajectoire()décriteparunpointmatérielenmouvementdansunréférentieldebase
orthonorméedirecte,,
.
Soitlapositiondecetteparticuleàl’instantetsoit
sapositionsur()àl’instant.
L’arcentreetestégaleà
estappeléabscissecurvilignede
Pardéfinition,onappelleéquationhorairedu
mouvementl’équationdonnantl'abscissecurviligneen
fonctiondutemps:
Dansunrepèreàtroisdimensions(parexemple
cartésien)ondoitfournirtroiséquationsdumêmetype:
 ;  et 
II‐REPRÉSENTATIONDESTRAJECTOIRES
II‐1‐différentssystèmesdecoordonnées
Enphysique,ondoitsouventlocaliserdesobjetsdansl’espaceetonsesertpourceladescoordonnées.On
peutsituerunpointsuruneligneàl’aided’uneseulecoordonnée(abscisse),unpointdansunplanàl’aidede
deuxcoordonnées(abscisseetordonnée)etunpointdansl’espaceàl’aidedetroiscoordonnées(abscisse,
ordonnéeetcôte).
M
O
sensdumouvement

ChapitreI:CinématiqueduPointMatériel
MécaniqueduPointMatérielHichemChaabane‐Année2011ISITCom‐HammamSousse
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Pourdéfinirdespositionsdansl’espace,lesystèmedecoordonnéesutilisédoitcomprendre:unpointde
référence,appeléorigine(souventnoté),unsystèmed’axesorientésetdesmoyensderepérerlapositiond’un
pointdel’espaceparrapportàl’origineetauxaxes.
Soitdonc,unsystèmedetroisaxesrectangulaires,forméparlestroisvecteursunitairesorthogonaux,,et
et
d’origineetsoitunpointdel’espace,sapositionestdéfinieparlevecteurposition
.
L’expressiondecevecteurpeutprendredifférentesformesselonlesystèmedecoordonnéesutilisé.
II‐1‐a‐coordonnéescartésiennes
Onappellecoordonnéescartésiennesdupoint,lestroisvaleursalgébriques,,etpermettantde
localisercepointdanslerepèred’espace(O,,,
).
Lescomposantesduvecteurpositionsontlesvaleursalgébriquesdesprojectionsorthogonalesde
surles
directionsdéfiniesparlesvecteursdebase.Onécritalors:
avec,et∈∞,∞
Siseulelacoordonnéevariede,lepointsedéplacededansladirectiondansladirectiondu
vecteurunitaire;ilenseraitdemêmedesdeuxautrescoordonnées.
Cesdéplacementsélémentairespermettentdedéfinir:
‐unvecteurdéplacementélémentaire: 
‐unvolumeélémentaire:
II‐1‐b‐coordonnéescylindriques
Ilarrive,souvent,qu'unproblèmeaitunesymétriecylindrique,ilestpluscommodealorsd'utiliserlesystème
decoordonnéescylindriques.
Onappelleéletriplet(,,),permettantdelocaliserlepointtoutaussi
bienqueletriplet(,,).
Soitlepoint,projetéorthogonaldesurleplan
Leparamètrereprésenteladistance
etl’angleentreet .
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x
M
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x+dx
z+dz
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y+dy
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