Réduction des endomorphismes

Chapitre 3
R´eduction des endomorphismes
Le contenu de ce chapitre se trouve :
– dans Alg`ebre Lin´eaire de J. Grifone, chapitre 1 paragraphes 7 et 8 pour sommes et sommes directes,
chapitre 6 pour toutes les autres parties.
– dans Alg`ebre et G´eom´etrie 2e ann´ee de Liret et Martinais, chapitre 2 paragraphe 1 (plus quelques
passages du chapitre 6 de premi`ere ann´ee) pour les sommes et sommes directes, chapitres 3 et 4
pour les autres parties.
Dans tout ce chapitre, Eest un espace vectoriel sur un corps K.
3.1 Sommes de sous-espaces, sommes directes
Soient F1,,F
p... des sous-espaces vectoriels de E. On note F1+··· +Fpl’ensemble des sommes
x1+···+xp,o`uxi∈Fipour i=1,...,p.
Proposition 3.1 F1+···+Fpest un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle la somme des sous-espaces
vectoriels F1,...,F
p. C’est le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant la r´eunion F1∪...∪Fp.
D´efinition 3.2 On dit que les sous-espaces vectoriels F1,...,F
pde Esont en somme directe, ou encore
que la somme F1+··· +Fpest directe, si et seulement si pour tous x1∈F1,...,x
p∈Fptels que
x1+···+xp=0on a x1=...=xp=0.
Proposition 3.3 La somme F1+···+Fpest directe si et seulement si tout ´el´ement de F1+···+Fp
s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme x1+···+xpavec xi∈Fipour i=1,...,p.
Quand F1,...,F
psont en somme directe, on note leur somme F1⊕···⊕Fp.
Nous nous int´eressons maintenant plus sp´ecialement au cas de deux sous-espaces.
Th´eor`eme 3.4 [Grifone : Proposition I.32] Deux sous-espaces F1et F2d’un espace vectoriel Esont en
somme directe si et seulement si F1∩F2={0}.
Th´eor`eme 3.5 Soit F1(resp. F2) un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, de base B1(resp.
B2). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. F1et F2sont en somme directe.
2. La famille (B1,B2)(obtenue en mettant “bout `a bout” B1et B2) est une base de F1+F2.
3. dim(F1+F2) = dim(F1) + dim(F2).
D´efinition 3.6 On dit que deux sous-espaces vectoriels F1et F2de l’espace vectoriel Esont suppl´emen-
taires l’un de l’autre si et seulement si E=F1⊕F2.
Par exemple, dans l’espace vectoriel des fonctions de Rdans R, le sous-espace vectoriel des fonctions
paires et celui des fonctions impaires sont suppl´ementaires.
Th´eor`eme 3.7 [Grifone : Corollaire I.35] Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace
vectoriel de Eadmet un suppl´ementaire.
Il n’y a pas unicit´e du suppl´ementaire. Par ailleurs, le th´eor`eme vaut aussi sans hypoth`ese de dimension
finie.
25

26 CHAPITRE 3. R ´ EDUCTION DES ENDOMORPHISMES
Th´eor`eme 3.8 [Grifone : Proposition I.37] Soient F1et F2deux sous-espaces vectoriels de dimensions
finies de E. Alors
dim(F1+F2) = dim(F1) + dim(F2)−dim(F1∩F2).
Nous passons maintenant au cas des sommes de plus de deux sous-espaces. Il ne suffit pas que les
espaces F1,...,F
paient deux `a deux une intersection r´eduite `a {0}pour qu’ils soient en somme directe.
Th´eor`eme 3.9 Soit pun entier >2. Des sous-espaces vectoriels F1,...,F
pde Esont en somme directe
si et seulement si F1,...,F
p−1sont en somme directe et Fpest en somme directe avec F1⊕···⊕Fp−1.
Th´eor`eme 3.10 Soient F1,...,F
pdes sous-espaces vectoriels de dimensions finies de E, de bases re-
spectivement B1,...,Bp. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. F1,...,F
psont en somme directe.
2. La famille (B1,...,Bp)est une base de F1+···+Fp.
3. dim(F1+···+Fp) = dim(F1)+···+ dim(Fp).
Exercice 3.1
Soit Fle sous-espace vectoriel de R4engendr´e par les vecteurs
u1=(6,−3,2,−4) et u2=(−4,2,−3,6)
et Gle sous-espace engendr´e par
v1=(−2,1,2,−2) ,v
2=(2,−1,−1,2) et v3=(2,−1,0,2) .
D´eterminer une base et la dimension de F, G, F +G, F ∩G.D´eterminer un suppl´ementaire de Fdans
R4.D´eterminer un suppl´ementaire de F∩Gdans F.
Exercice 3.2
Si R3=F1⊕F2⊕F3avec les Fidiff´erents de {0},d´ecrire g´eom´etriquement les Fi.Mˆeme question si
R3=F1⊕F2.
Exercice 3.3
Soient F1et F2deux sous-espaces vectoriels de Een somme directe. Par d´efinition, tout ´el´ement xde
F1⊕F2s’´ecrit de mani`ere unique comme x=x1+x2avec x1dans F1et x2dans F2. Montrer que
l’application x→ x1de F1⊕F2dans F1est lin´eaire.
Exercice 3.4
Soit Eun espace vectoriel sur K,pun endomorphisme de Etel que p2=p. Montrer que Eest la somme
directe du noyau de pet de l’image Fde p; pour ceci, on pourra montrer que pour tout xde E,p(x)
est l’unique ´el´ement yde Ftel que x−y∈ker(p). (Un endomorphisme pv´erifiant p2=ps’appelle un
projecteur : il projette Esur Fparall`element `a ker(p). Par ailleurs, cet exercice pourra ˆetre repris `ala
suite du th´eor`eme des noyaux 3.25.)
Exercice 3.5
Soit Sle sous-ensemble des matrices sym´etriques de Mn(K)(v´erifiant t A=A), Ale sous-ensemble des
matrices antisym´etriques (v´erifiant t
A=−A)etTle sous-ensemble des matrices triangulaires sup´erieures
(v´erifiant ai,j = 0 pour i>j). Montrer que S,Aet Tsont des sous-espaces vectoriels de Mn(K),
et calculer leurs dimensions. Montrer que Set Asont suppl´ementaires. Montrer que Test aussi un
suppl´ementaire de A. Trouver un sous-espace vectoriel contenu dans Tet suppl´ementaire de S.
Exercice 3.6
On note R3[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´es ≤3. On pose P1=X+1,
P2=X−1etP3=X2+1.
1. Soit F1(resp. F2) le sous-ensemble des polynˆomes de R3[X] divisibles par P2P3(resp. P1P3).
Montrer que F1et F2sont des sous-espaces vectoriels de R3[X], et d´eterminer leurs dimensions.
Montrer que F1et F2sont en somme directe. D´ecrire les polynˆomes appartenant `a F1⊕F2.
2. Soit F3le sous-espace vectoriel des polynˆomes des polynˆomes de R3[X] divisibles par P1P2. Montrer
que R3[X]=F1⊕F2⊕F3.

3.2. VECTEUR PROPRE . . . 27
Exercice ∗3.7
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, uun endomorphisme de E. Montrer que
rang(u) + rang(IdE−u)≥dim(E).
Montrer que l’on a ´egalit´e si et seulement si u2=u. (On pourra comparer ker(u) et l’image de IdE−u.)
3.2 Vecteur propre, valeur propre, sous-espace propre.
Polynˆome caract´eristique
Toutes les d´efinitions et tous les r´esultats donn´es pour un endomorphisme fs’appliquent `a une matrice
Ade taille n×n`a coefficients dans K, identifi´ee `a l’endomorphisme V→ AV de E=Kn,o`uVest un
vecteur-colonne `a ncoordonn´ees.
D´efinition 3.11 [Grifone : D´efinition VI.1] Soit fun endomorphisme de E.
1. Un ´el´ement vde Eest appel´e vecteur propre de fsi v=0et s’il existe λ∈Kavec f(v)=λv.
2. Un scalaire λ∈Kest appel´e valeur propre de fs’il existe un ´el´ement non nul vde Etel que
f(v)=λv.
Si vest un vecteur propre de f, il existe un seul λ∈Ktel que f(v)=λv. On dit que λest la valeur
propre de fassoci´ee `a v.
D´efinition 3.12 [Grifone : D´efinition VI.7] Soit λune valeur propre de l’endomorphisme fde E.Lesous-
espace propre Eλassoci´e`a la valeur propre λest le sous-espace des vecteurs vde Etels que f(v)=λv.
Autrement dit, Eλ= ker(f−λIdE).
Soit A∈M
n(K). Si λest une valeur propre de A, le sous-espace propre associ´e`aλest l’ensemble des
solutions du syst`eme lin´eaire homog`ene de n´equations `a ninconnues de matrice A−λIn.
Pour la suite de cette section, Eest de dimension finie n. On introduit maintenant un outil qui permet
de d´eterminer les valeurs propres.
D´efinition 3.13 Soit fun endomorphisme de E.Led´eterminant de f−XIdEest un polynˆome de degr´e
nen la variable X`a coefficients dans K. On l’appelle le polynˆome caract´eristique de l’endomorphisme.
On note
Pf(X) = det(f−XIdE).
Si A∈M
n(K), son polynˆome caract´eristique PA(X) = det(A−XI n)s’´ecrit
PA(X)=(−1)nXn+(−1)n−1trace(A)Xn−1+···+ det(A).
(Rappelons que trace(A) est la somme n
i=1 ai,i de ses coefficients diagonaux.)
Deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique : si B=U−1AU o`uUest inversible,
alors PB=PA.
Th´eor`eme 3.14 [Grifone : Proposition VI.3. Liret-Martinais : Proposition p.55] Un scalaire λ∈Kest
valeur propre de l’endomorphisme fde Esi et seulement si λest une racine du polynˆome caract´eristique
Pfde f(c.-`a-d. Pf(λ)=0).
Si λest racine de multiplicit´e mde Pf, on dit que λest valeur propre de multiplicit´e mde f.
Exemple. Soit A=
1 001
0−122
0−232
0−112
.Nous allons d´eterminer les sous-espaces propres de A.Le
polynˆome caract´eristique de Aest
PA(X)=
1−X001
0−1−X22
0−23−X2
0−112−X
=(1−X)(−X3+4X2−5X+2)=(X−1)3(X−2) ,

28 CHAPITRE 3. R ´ EDUCTION DES ENDOMORPHISMES
et donc les valeurs propres de Asont 1 (avec multiplicit´e 3) et 2 (avec multiplicit´e 1). Le sous-espace
propre E1est l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene de matrice A−I4:
x4=0
−2x2+2x3+2x4=0
−2x2+2x3+2x4=0
−x2+x3+x4=0
.
Les solutions de ce syst`eme s’´ecrivent (x1,x
2,x 2,0) et donc E1admet comme base (1,0,0,0) ,(0,1,1,0).
La r´esolution du syst`eme homog`ene de matrice A−2I4montre que E2est engendr´e par le vecteur
(1,2,2,1).
Exercice 3.8
Quel est le polynˆome caract´eristique d’une matrice triangulaire dont les coefficents diagonaux sont
a1,1,...,a
n,n ?
Exercice 3.9
Trouver les valeurs propres et une base des sous-espaces propres des matrices suivantes (on distinguera
ce qui se passe sur Ret sur C,sin´ecessaire).
C1=
000
010
101
C2=
11−1
−2−22
−3−33
C3=
320
−100
001
C4=
−1−4−2−2
−4−1−2−2
2214
2241
C5=
0 010
0 001
−1 000
0−100
.
Exercice 3.10
Calculer le polynˆome caract´eristique de la matrice
00... ... 0a0
10
....
.
.a1
01
.......
.
..
.
.
.
.
..........0.
.
.
.
.
.......0an−2
0... ... 01an−1
.
Exercice 3.11
Montrer qu’une matrice A∈M
n(K) est inversible si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de A.
Montrer que A−λInest inversible si et seulement si λn’est pas valeur propre de A.Siλest valeur propre
de A, exprimer la dimension du sous-espace propre Eλen fonction du rang de A−λIn.
Exercice 3.12
Soit A∈M
n(K) une matrice inversible. Exprimer les valeurs propres et les vecteurs propres de A−1en
fonction de ceux de A.
Exercice 3.13
Montrer qu’une matrice A∈M
n(K)amˆeme polynˆome caract´eristique que sa transpos´ee t
A.Siλest
valeur propre de A, montrer que les sous-espaces propres associ´es `a λpour Aet pour t
Aont mˆeme
dimension.

3.3. ENDOMORPHISME DIAGONALISABLE 29
Exercice 3.14
Soit A∈M
n(R). On s’int´eresse aux valeurs propres et vecteurs propres complexes de A(vu comme
endomorphisme Cn→Cn). Montrer que, si λ∈Cest valeur propre de A, alors le conjugu´e λest aussi
valeur propre de A. Montrer que, si v∈Cnest vecteur propre de Aassoci´e`aλ, alors v(le vecteur dont
les coordonn´ees sont les conjugu´ees de celles de v) est vecteur propre associ´e`aλ.
3.3 Endomorphisme diagonalisable
Th´eor`eme 3.15 [Grifone : Proposition VI.8] Soient λ1,...,λ
pdes valeurs propres distinctes de l’endo-
morphisme fde E. Alors les sous-espaces propres Eλ1,...,E
λpsont en somme directe.
Pour la suite de cette section, Eest de dimension finie n.
D´efinition 3.16 Un endomorphisme fde Eest dit diagonalisable s’il existe une base Bde Etelle que
la matrice MatBfde fdans la base Bsoit diagonale.
Un endomorphisme fde Eest diagonalisable si et seulement si Eadmet une base form´ee de vecteurs
propres de f.
Une matrice A∈M
n(K) est diagonalisable si et seulement si elle est semblable `a une matrice diago-
nale.
Th´eor`eme 3.17 [Grifone : Corollaire VI.9] Soit fun endomorphisme de E,Pfson polynˆome car-
act´eristique. L’endomorphisme fest diagonalisable si et seulement si Pfest scind´e sur K, de racines
λ1,...,λ
p,etp
i=1 dim(Eλi)=n.
Le th´eor`eme 3.17 donne la condition de diagonalisabilit´e suivante. Cette condition est suffisante, mais
pas n´ecessaire.
Corollaire 3.18 [Grifone : Corollaire VI.12. Liret-Martinais : Proposition p.60] Si Pfest scind´e sur K
et a nracines simples, alors fest diagonalisable.
Proposition 3.19 [Grifone : Proposition VI.10. Liret-Martinais : Th´eor`eme p.58] Soit λune valeur
propre de multiplicit´e mde l’endomorphisme fde E. Alors :
1≤dim(Eλ)≤m.
Les r´esultats pr´ec´edents aboutissent `a ce crit`ere utile de diagonalisabilit´e.
Th´eor`eme 3.20 [Grifone : Th´eor`eme VI.11. Liret-Martinais : Th´eor`eme p.62] L’endomorphisme fest
diagonalisable si et seulement si Pfest scind´e et, pour toute valeur propre λde f, la dimension de Eλ
est ´egale `a la multiplicit´e de la valeur propre λ.
Exemple. Nous continuons l’exemple pris `a la fin de la section 1. Puisque 1 est valeur propre de Ade
multiplicit´e 3 et que la dimension du sous-espace propre E1est 2, la matrice An’est pas diagonalisable.
Exercice 3.15
Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est
A=
12−1
101
4−45
.
Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f. Trouver une base de R3dans laquelle la
matrice de fest diagonale.
Exercice 3.16
1. Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres des matrices suivantes :
A1=32
−2−2A2=
200
3−10
043
A3=
223
121
2−21
.
Trouver des matrices inversibles Pitelles que P−1
iAiPisoient diagonales. Calculer P−1 iet v´erifier
que les P−1
iAiPisont bien diagonales.