Les Nombres Réels

Chapitre 1
Les Nombres R´eels
1.1 Introduction
On appelle :
1. ensemble des nombres naturels ou encore des entiers naturels et on note Nl’ensemble N=
{0,1,2,3, . . .}.
2. ensemble des nombres ou des entiers relatifs et on note Zl’ensemble Z={. . . , −2,−1,0,1,2, . . .}.
3. ensemble des nombres d´ecimaux et note Dl’ensemble des nombres a=α
10p,p∈N,α∈Z.
4. ensemble des nombres rationnels et on note Ql’ensemble Q=np
q,p∈Z,q∈N,q6=0o.
Alors Nest inclus dans Zqui lui-mˆeme est inclus dans Dlui mˆeme inclus dans Q.
Th´eor`eme 1.1.1 Qest ce que l’on appelle un corps :la somme etle produit de deux ´el´ements de Q
appartient`a Qet tout ´el´ementde Qnon nul aun inverse lui-mˆeme dans Q.
Probl`eme :essayons de r´esoudre dans Ql’´equation x2=2. Supposons qu’un tel xexiste. Alors il s’´ecrit
sous la forme x=p
q.Quitte `a simplifierla fraction on peut supposer que pet qn’ontpas de multiple
commun.
Nous avons p2
q2=2d’o`up2=2q2:p2est donc un nombre pair.
Si p´etait un nombre impair, nous pourrions ´ecrire p=2k+1et p2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1
et donc p2serait aussi impair. Mais cela est faux puisque p2est pair, ce qui implique donc que pest
pair.
´
Ecrivons donc p=2p′.Il vientalors 4p′2=2q2et donc q2=2p′2.Le nombre q2est donc pair et cela
implique que qest lui-mˆemepair.
En r´esum´e:pet qsontdes multiples de 2:c’est absurde, on asuppos´equ’il n’avait pas de multiple
commun !Cela signifie qu’il n’existe pas p∈Zet q∈Nnon nul tel que p
q2
=2.
Pourtant, cet xsolution de x2=2est un nombre “r´eel” que l’on peu dessiner :c’est la longueur dela
diagonale d’un carr´ede cˆot´e1!Il manque quelque chose `a Qet ce quelque chose, c’est l’ensemble des
nombres r´eels.
1.2 ´ Ebauche de la construction de R
D´efinition 1.2.1On appelle relation binaire Rsur un ensemble Xla donn´ee d’un ensemble Gde
couples (x, y)o`uxet ysontdes ´el´ements de X.Lorsque le couple (x, y)appartient`a G,on dit que x
est en relation avec yet on note xRy.
Exemple 1.2.2 Consid´erons l’ensemble Xdes ˆetreshumains. On peut d´efinir la relation Rsur X
suivante :deux ˆetres humains sonten relations s’ils sontamis sur Facebook.
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On peut d´efinir la relation binaire Rsur Z:de la mani`ere suivante :xet ydans Zsonten relation si
xdivise y.
Sur l’ensemble des fleuves et rivi`eres de France, on peut d´efinir la relation “ˆetre un affluentde”. Par
exemple, l’Oise, est un affluentde la Seine.
Une relation sur ensemble Xest donc une assertion donton peut dire si elle est vraie ou non pour les
couples de X.
D´efinition 1.2.3Soit Xun ensemble et≺une relation binaire sur X.On dira que ≺est une relation
d’ordre si
1. ≺est r´eflexive:∀x∈Xx≺x,
2. ≺est antisym´etrique :∀x, y∈Xsi x≺yet y≺xalors x=y,
3. ≺est transitive:∀x, y,z∈X,si x≺yet y≺zalors x≺z.
On dit alors que Xest un ensemble ordonn´e.
Exemple 1.2.4 La relation “≤”inf´erieur ou ´egal est une relation d’ordre sur N,Zet Q:On peut
toujours dire si un nombre est plus grand qu’unautre. La relation d’ordre est totale.
Sur l’ensemble des fleuves et rivi`eres de France, la relation “ˆetre un affluentde” est une relation d’ordre
mais n’est pas une relation d’ordre totale :on ne peut pas comparer l’Oise, affluentdela Seine `a la
Durance, affluentdu Rhˆone.
D´efinition 1.2.5La relation ≺sur l’ensemble Xest dite relation d’ordre totale si pour tout x, y∈X
on atoujours x≺you y≺x.On dit que xet ysonttoujours comparable. Sinon la relation est dite
d’ordre partiel.
Sur Q,la relation inf´erieur ou ´egal est une relation d’ordre total. Etantdonn´ee une partie finie A=
{x1,...,xn}de Qon peut ranger tous les ´el´ements Apar ordre croissant, et on d´efinit le maximum
de Acomme ´etantle plus grand de tous les ´el´ements deAet le minimum comme ´etantle plus grand
des ´el´ements de A.On les notera respectivementmax Aet min A.On d´efinit ensuite la valeur absolue
comme suit:
D´efinition 1.2.6Soit x∈Q.On appelle valeur absolue de xet on note |x|le nombre rationnel
|x|=max{x, −x}.
Exemple 1.2.7 |−1/2|=1/2, |2|=2.
Th´eor`eme 1.2.8 Qest archim´ed´een :quel que soit a, b∈Q,avec a>0, il existe n∈Ntel que
b<an.
Preuve :Si b≤0, n=0convient. Sinon, on ´ecrit a=p/q et b=r/s,p, q,r,sdes entiers strictement
positifs. Pour n=qr+1on anps =sp(qr+1) >rqet donc n·p/q >r/s.
D´efinition 1.2.9Soit Xun ensemble, ≺une relation d’ordre sur Xet Yune partie de X.
On dit que x´el´ementde Xest un majorantde Ysi pour tout y∈Yon ay≺x.On dit alors que Y
est une partie major´ee (par x)de X.
On dit que x´el´ementde Xest un minorantde Ysi pour tout y∈Yon ax≺y.On dit alors que Y
est une partie minor´ee (par x)de X.
Une partie `a la fois major´ee et minor´ee de Xest dite born´ee.
Exemple 1.2.10 Par exemple, pour la relation d’ordre inf´erieur ou ´egale sur Q,la partie A={x∈
Q,0<x≤1}est une major´ee par 1et minor´ee par 0. De plus, tout nombre rationnel n´egatif est un
minorantde Aet tout nombre rationnel plus grand que 1est un majorantde A.on remarquera que 0,
le minorantde An’appartientpas `a Amais le majorant1oui.
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D´efinition 1.2.11 Soit Yune partie de Xensemble ordonn´epar la relation ≺.L’´el´ementyde Yest
dit plus grand´el´ementde Ysi pour tout y′de Yon ay′≺y.
L’´el´ementyde Yest dit plus petit ´el´ementde Ysi pour tout y′de Yon ay≺y′.
Exemple 1.2.12 Pour la relation d’ordre inf´erieur ou ´egal, Nposs`ede un plus petit ´el´ement:0mais
pas de plus grand ´el´ement. Qet Zne poss`edentpas de plus grand ´el´ement. A={x∈Q,0<x≤1}
poss`ede un plus grand ´el´ementmais pas deplus petit ´el´em´ent. En effet, 0n’est pas un plus petit
´el´ementde Acar 0/∈A.Si α∈Aest un plus petit ´el´ementde A,alors α>0et donc 1≥α>α/2>0
donc α/2appartient`a Amais α/2<α!
Proposition 1.2.13 Le plus petit ´el´ementet le plus grand ´el´ement, s’ils existent, sontuniques.
Preuve :Soit Xun ensemble, ≺une relation d’ordre, Yune partie de Xet yet y′deux plus grands
´el´ements de Y.On vamontrer qu’en fait y=y′.Comme yest un plus grand ´el´ementde Y,on apour
tout x∈Yx≺y.En particuliery′≺y.De mˆeme, y≺y′.Ainsi y≺y′et y′≺yd’o`uy=y′.
D´efinition 1.2.14 Soit Xun ensemble ordonn´epar ≺et Yune partiede X.On appelle borne
sup´erieure de Yle plus petit des majorants de Y.Autrementdit, x∈Xest une borne sup´erieure de
Ysi pour tout y∈Yon ay≺xet si pour tout majorantx′de Yon ax≺x′.
On appelle borne inf´erieure de Yle plus grand des minorants de Y.Autrementdit, x∈Xest une
borne inf´erieure de Ysi pour tout y∈Yon ax≺yet si pour tout minorantx′de Yon ax′≺x.
Proposition 1.2.15 La borne sup´erieure et la borne inf´erieure, lorsqu’ils existent, sontuniques.
Notation :On notera sup Ala borne sup´erieure de Aet inf Ala borne inf´erieure lorsqu’elles existent.
Exemple 1.2.16 Soit A={x∈Q,0<x≤1}.Alors sup A=1et inf A=0.
Proposition 1.2.17 Soit Aune partie d’un ensemble Xordonn´epar la relation ≺.Alors sup Aap-
partient`a Asi et seulementsi Aaun plus grand ´el´ement.
Remarque :On ale r´esultat analogue avec la borne inf´erieure. Preuve :Supposons que α=sup A
appartient`a A.Alors nous avons :αappartient`a Aet pour tout a∈A,a≺α:αest le plus grand
´el´ementde A.
R´eciproquement, si Aposs`ede un plus grand ´el´ementα.Alors αest un majorantde Aet si α′est un
autre majorantde A,comme αappartient`a Aet que α′est un majorantde A,α≺α′.Ainsi αest le
plus petit des majorants :αest la borne sup´erieure de A.
Th´eor`eme 1.2.18 Soit Xune partie de Qqui admet une borne sup´erieure x.Alors il existe une suite
(xn)n∈Nd’´el´ements de Xqui tendentvers x.
Preuve :Soit n∈N.Comme xest le plus petit des majorants,x−1/n n’est pas un majorantde x.
Cela signifie qu’il existe xn∈Xtel que x−1/n <xn<x.Ainsi xntend vers xlorsque xtend vers
l’infini.
Exemple 1.2.19 Soit A={x∈Q,0<x≤1}.Alors 1
ntend vers inf A.
Soit B={x∈Q,x2<2}.Bien que Bsoit major´ee par exemple par 2, Bn’a pas de borne sup´erieure
dans Q.Il existe donc dans Qdes “manques”par rapport `a notre espace “r´eel”. Ces manquesviennent
notammentdu fait que certainesparties de Qn’ontpas de borne sup´erieure. Les nombres r´eels comblent
ce manque.
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Th´eor`eme 1.2.20 Il existe un corps totalementordonn´eappel´ecorps des nombres r´eels et not´eR
qui contientQdans lequeltoute partie major´ee non vide admet une borne sup´erieure. Les nombres
qui appartiennent`a Rmais qui n’appartiennentpas `a Qsontappel´es nombres irrationnels.
La borne sup´erieure de Bdans Rest √2.
Intuitivement, on obtientRde la mani`ere suivante :on prend Q,les nombres rationnels et lui “rajoute“
les limitesdes suites de nombres rationnels. Par exemple,√2est la limite de la suite u0=1,u1=
1,4,u2=1,41 et ainsi de suite.
1.3 Propri´et´es de R
Rh´erite de beaucoup des propri´et´es de Q:
Proposition 1.3.1 Les op´erations d’addition et de multiplication sontcompatibles avec la relation
d’ordre :
Soienta, b, c, d∈Rtels que a≤bet c≤d.Alors a+c≤b+d.
Soienta, b, c∈Rtels que a≤bet 0≤c.Alors ac ≤bc.
Soienta, b, c∈Rtels que a≤bet c≤0. Alors bc ≤ac.
Th´eor`eme 1.3.2 Rest archim´ed´een :quels que soienta, b∈R,a>0et b≥0, il existe n∈Ntel que
b<an.
Preuve :Soit A={an, n∈N}.Supposons qu’il n’existe pas ntel que b<an.Alors pourtout n∈N,
an ≤bdonc Aest born´ee par b.La construction de Rimplique alors que α=sup Aexiste. On aalors
pour tout n∈N:(n+1)a≤αd’o`uil vientpour tout n∈N:na <α−a.Ainsi α−aest un majorant
de Aet α−a<α=sup A:c’est absurde, la borne sup est le plus petit des majorants !Donc il existe
ntel que b<an.
Proposition 1.3.3 Soit x∈R.Il existe un unique entier n∈Ztel que n≤x<n+1.
Preuve :Unicit´e:si net n′v´erifie n≤x<n+1et n′≤x<n′+1alors n′<n+1et n<n′+1.
Nous avons donc des entiers tels que n′<n+1<n′+2donc n=n′.
Existence :Si x=0, il n’y arien `a faire:n=0convient.
Si xest un entier, il suffit de prendre n=x.Sinon, lorsque x>0, on applique le th´eor`eme pr´ec´edent
`a xet 1: il existe m∈N,mnon nul tel que x<1·m.Ainsi, l’ensemble A={n∈N,x<n}est non
vide. Soit des entiers n0sontplus petit ´el´ements. Alors x<n0car n0appartient`a Aet n0−1≤x
car sinon x<n0−1et n0ne serait pas le plus petit ´el´ement. On aaussin0−16=xcar xn’est pas
entier donc n0−1<x<n0.L’entiern=n0−1convient.
Si x<0, on raisonne comme ci-dessus avec −xet obtientn′∈Ntel que n′<−x<n′+1. On en
d´eduit que −n′−1<x<n′et donc n=−n′−1convient.
D´efinition 1.3.4 On appelle partie enti`ere dexet on note E(x)l’entier telque E(x)≤x<E(x)+1.
On appelle partie fractionnaire et note Fr(x)le r´eel de [0,1[ tel que x=E(x)+Fr(x).
Exemple 1.3.5 E(1,3) =1, Fr(1,3) =0,3, E(−1,1) =−2, Fr(−1,1) =0,9
D´efinition 1.3.6 On d´efinit l’intervalle [a, b]de Rpar :
[a, b]={x∈R,a≤x≤b}.
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Par extension :
[a, b[={x∈R,a≤x≤bet x6=b},
]a, b]={x∈R,a≤x≤bet x6=a},
]a, b[={x∈R,a≤x≤bet x6=bet x6=a},
]−∞,b]={x∈R,x≤b},
]−∞,b[={x∈R,x≤bet x6=b},
[a, +∞[={x∈R,a≤x},
]a, +∞[={x∈R,a≤xet x6=a}.
D´efinition 1.3.7 Soit Xune partie de Ret xun ´el´ementde R.On dira que Xest un voisinage de x
s’il existe un intervalle ]a, b[inclus dans Xtel que xappartienne `a ]a, b[.
Proposition 1.3.8Tout intervallede longueur non nulle contientau moins un nombre rationnel.
Preuve :Soit ]a, b[un intervalle de longueur non nulle, c’est `a dire a<b.Consid´erons le r´eel b−a>0
et le r´eel 1. Comme Rest archim´ed´een, il existe q∈Ntel que 1<q(a−b)doncl’intervalle ]qa, qb[est
de longueur strictementplus grande que 1. Il existe donc un entier pdans l’intervalle ]qa, qb[. Ainsi,
p/q est un rationnel de l’intervalle ]a, b[.
Corollaire 1.3.9 Quel que soit x∈R,quel que soit Vvoisinage de x, il existe un rationnel dans V.
Preuve :Soit x∈R,Vun voisinage de xet ]a, b[un intervalle inclus dans Vqui contientx.Alors
d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, il existe un rationnel p/q dans ]a, b[donc dans X.
Corollaire 1.3.10 Soit x∈R.Alors il existe une suite (xn)n∈Nde nombresrationnels qui tend vers
x.
Preuve :Soit n∈N,n6=0. Alors il existe un rationnel xndans l’intervalle ]x−1/n, x+1/n[. La suite
(xn)n∈Ntend vers xpuisque la distance entre xet xnest au plus 1/n.
N’importe lequel de ces corollaires ainsi que la derni`ere proposition se traduit en disantque Qest
dense dans R.
D´efinition 1.3.11 Soit x∈R.On appelle valeur absolue de xet on note |x|le nombre |x|=
sup{−x, x}.
Proposition 1.3.12 1. ∀x∈R,|x|=0si etseulementsi x=0.
2. ∀x, y∈R,|x+y|≤|x|+|y|(in´egalit´etriangulaire).
3. ∀x∈R,|−x|=|x|.
4. ∀x, y∈R,|xy|≤|x|·|y|.
5. ∀x, y∈R,||x|−|y|| ≤|x−y|≤|x|+|y|.
6. ∀x, y∈Rtel que y>0, |x|<ysi et seulementsi −y<x<y.
Preuve :
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