MPSI 1 Chapitre 2 : Fonctions usuelles 2012 II - 2)b) Fonction arcsinus h π πi (à valeurs dans [−1, 1]). La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle − , 2 2 h π πi D’après le théorème de la bijection, elle est bijective de − , dans [−1, 1], et elle admet une bijection réciproque, 2 2 notée arcsin. Définition 1 : h π πi La fonction arcsinus, notée arcsin, est la bijection réciproque de la fonction sinus restreinte à − , . 2 2 Proposition 1 : h π πi 1. arcsin est une bijection continue, strictement croissante de [−1, 1] dans − , . 2 2 2. arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) = √ 1 . 1 − x2 démo : 2) La fonction sin admet pour dérivée cos qui s’annule en π2 = arcsin 1 et − π2 = arcsin(−1). Donc sin est dérivable sur ] − π2 , π2 [ et sa dérivée ne s’annule pas sur cet intervalle. J’applique donc le théorème de la bijection 1 pour conclure que arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. De plus, pour tout x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) = . cos ◦ arcsin(x) p Il reste à exprimer cos ◦ arcsin(x) = cos(arcsin(x)) = 1 − x2 en utilisant cos2 θ = 1−sin2 θ et le fait que arcsin(x) ∈]− π2 , π2 [ 1 pour tout x ∈] − 1, 1[. donc son cosinus est positif. Je peux donc conclure que arcsin0 (x) = √ 1 − x2 Remarques : 1. ∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin x) = √ 1 − x2 . 2. Soit x ∈ [−1, 1]. arcsin x est hl’uniquei réel de [− π2 , π2 ] qui a x pour sinus. π π , arcsin x = y ⇐⇒ x = sin y. Pour tous x ∈ [−1, 1] et y ∈ − , 2 2 3. arcsin n’est pas dérivable en −1 et en 1 (car la fonction cosinus s’annule en − π2 = arcsin(−1) et en π 2 = arcsin(1)). La courbe de la fonction arcsin a des tangentes verticales aux points d’abscisses −1 et 1. Retenez ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x . h π πi ∀x ∈ − , , arcsin(sin x) = x . 2 2 Proposition 2 : La fonction arcsinus est une fonction impaire. démo : C’est la bijection réciproque d’une fonction impaire. Questions 1 : - Montrer que, pour tout x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x = π 2. - Pour x ∈ [−1, 1], exprimer arccos(−x) en fonction de arccos x. 26π - Calculer arcsin(sin π3 ), arcsin(sin 2π 3 ), arcsin(sin 3 ), arcsin(sin 4π). - Représenter graphiquement la fonction f : x 7→ arcsin(sin x). Magali Hillairet Lycée Clemenceau, Nantes Chapitre 2 : Fonctions usuelles MPSI 1 2012 II - 2)c) Fonction arctangente i π πh (à valeurs dans R). La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle − , 2 2 On a limπ tan x = −∞ et lim tan x = +∞. − x→− 2 + x→ π 2 i π πh D’après le théorème de la bijection, elle est bijective de − , dans R, et elle admet une bijection réciproque, 2 2 notée arctan. Définition 2 : arctangente, notée arctan, est la bijection réciproque de la fonction tangente restreinte à iLa πfonction πh − , . 2 2 Proposition 3 : i π πh 1. arctan est une bijection continue, strictement croissante de R dans − , . 2 2 2. arctan est dérivable sur R et ∀x ∈ R, arctan0 (x) = 1 . 1 + x2 démo : Rédigez une démonstration du point 2). On retiendra aussi : i π πh Pour tout x ∈ R, arctan x est l’unique réel de − , tel que x soit sa tangente. 2 2 lim arctan x = − x→−∞ Et π 2 et lim arctan x = x→+∞ π . 2 ∀x ∈ R, tan(arctan x) = x . i π πh ∀x ∈ − , , arctan(tan x) = x . 2 2 Questions 2 : - Étudier et simplifier la fonction f définie sur R∗ par f (x) = arctan x + arctan x1 . - Pour x ∈ R, exprimer simplement cos(arctan x) et sin(arctan x). - Représenter graphiquement la fonction f : x 7→ arctan(tan x). - En étudiant pour a fixé la fonction fa : x 7→ arctan ab 6= 1, on a : arctan a + arctan b = arctan Magali Hillairet a+b + λπ 1 − ab a+x , montrer que, pour tout (a, b) ∈ R2 tels que 1 − ax avec λ = 0 si ab < 1 λ = 1 si ab > 1 et a > 0 . λ = −1 si ab > 1 et a < 0 Lycée Clemenceau, Nantes