Chapitre 2 : Fonctions usuelles II

MPSI 1Chapitre 2 : Fonctions usuelles 2012
II - 2)b) Fonction arcsinus
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle h−π
2,π 2i(`a valeurs dans [−1,1]).
D’apr`es le th´eor`eme de la bijection, elle est bijective de h−π
2,π 2idans [−1,1], et elle admet une bijection r´eciproque,
not´ee arcsin.
D´efinition 1 :
La fonction arcsinus, not´ee arcsin, est la bijection r´eciproque de la fonction sinus restreinte `a h−π
2,π 2i.
Proposition 1 :
1. arcsin est une bijection continue, strictement croissante de [−1,1] dans h−π
2,π 2i.
2. arcsin est d´erivable sur ] −1,1[ et ∀x∈]−1,1[,arcsin0(x) = 1
√1−x2.
d´emo :2) La fonction sin admet pour d´eriv´ee cos qui s’annule en π
2= arcsin 1 et −π 2= arcsin(−1).
Donc sin est d´erivable sur ]−π
2,π 2[ et sa d´eriv´ee ne s’annule pas sur cet intervalle. J’applique donc le th´eor`eme de la bijection
pour conclure que arcsin est d´erivable sur ] −1,1[. De plus, pour tout x∈]−1,1[, arcsin0(x) = 1
cos ◦arcsin(x).
Il reste `a exprimer cos ◦arcsin(x) = cos(arcsin(x)) = p1−x2en utilisant cos2θ= 1−sin2θet le fait que arcsin(x)∈]−π
2,π 2[
donc son cosinus est positif. Je peux donc conclure que arcsin0(x) = 1
√1−x2pour tout x∈]−1,1[.
Remarques :
1. ∀x∈[−1,1],cos(arcsin x) = √1−x2.
2. Soit x∈[−1,1]. arcsin xest l’unique r´eel de [−π
2,π 2] qui a xpour sinus.
Pour tous x∈[−1,1] et y∈h−π
2,π 2i,arcsin x=y⇐⇒ x= sin y.
3. arcsin n’est pas d´erivable en −1 et en 1 (car la fonction cosinus s’annule en −π
2= arcsin(−1) et en
π
2= arcsin(1)). La courbe de la fonction arcsin a des tangentes verticales aux points d’abscisses −1 et
1.
Retenez ∀x∈[−1,1],sin(arcsin x) = x .
∀x∈h−π
2,π 2i,arcsin(sin x) = x .
Proposition 2 : La fonction arcsinus est une fonction impaire.
d´emo :C’est la bijection r´eciproque d’une fonction impaire.
Questions 1 :
- Montrer que, pour tout x∈[−1,1], arcsin x+ arccos x=π
2.
- Pour x∈[−1,1], exprimer arccos(−x) en fonction de arccos x.
- Calculer arcsin(sin π
3), arcsin(sin 2π 3), arcsin(sin 26π 3), arcsin(sin 4π).
- Repr´esenter graphiquement la fonction f:x7→ arcsin(sin x).
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes

MPSI 1Chapitre 2 : Fonctions usuelles 2012
II - 2)c) Fonction arctangente
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle i−π
2,π 2h(`a valeurs dans R).
On a lim
x→− π
2
+tan x=−∞ et lim
x→π
2
−
tan x= +∞.
D’apr`es le th´eor`eme de la bijection, elle est bijective de i−π
2,π 2hdans R, et elle admet une bijection r´eciproque,
not´ee arctan.
D´efinition 2 :
La fonction arctangente, not´ee arctan, est la bijection r´eciproque de la fonction tangente restreinte `a
i−π
2,π 2h.
Proposition 3 :
1. arctan est une bijection continue, strictement croissante de Rdans i−π
2,π 2h.
2. arctan est d´erivable sur Ret ∀x∈R,arctan0(x) = 1
1 + x2.
d´emo :R´edigez une d´emonstration du point 2).
On retiendra aussi :
Pour tout x∈R, arctan xest l’unique r´eel de i−π
2,π 2htel que xsoit sa tangente.
lim
x→−∞ arctan x=−π
2et lim
x→+∞arctan x=π
2.
Et ∀x∈R,tan(arctan x) = x .
∀x∈i−π
2,π 2h,arctan(tan x) = x .
Questions 2 :
-´ Etudier et simplifier la fonction fd´efinie sur R∗par f(x) = arctan x+ arctan 1
x.
- Pour x∈R, exprimer simplement cos(arctan x) et sin(arctan x).
- Repr´esenter graphiquement la fonction f:x7→ arctan(tan x).
- En ´etudiant pour afix´e la fonction fa:x7→ arctan a+x
1−ax , montrer que, pour tout (a, b)∈R2tels que
ab 6= 1, on a :
arctan a+ arctan b= arctan a+b
1−ab +λπ avec 
λ= 0 si ab < 1
λ= 1 si ab > 1 et a > 0
λ=−1 si ab > 1 et a < 0
.
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes