Connexité - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011
TD n◦5. Connexité
Exercice 1. Les parties suivantes de R2sont-elles connexes ?
{(x, y)∈R2,x
2+y2≤1},R2\{0},{(x, y)∈R2,x 2+y2=1},
{(x, y)∈R2|x$=0et y$=0},{(x, y)∈R2|x=1ou x=−1ou y=1ou y=−1}
Exercice 2. Montrer qu’un espace métrique Xest connexe si et seulement si toute fonction continue X→{0,1},
où {0,1}est muni de la distance discrète (cf. TD 2 exercice 5), est constante.
Exercice 3. Montrer qu’une partie de Rest connexe si et seulement si elle est convexe (et donc que les parties
connexes de Rsont les intervalles).
Exercice 4. Soient Xet Ydeux espaces métriques. Un homéomorphisme X→Yest une bijection continue
d’inverse continue (s’il existe un tel homéomorphismes, on dit que Xet Ysont homéomorphes). Montrer que
R,R2,[0,1[,[0,1] et S:= {z∈C,|z|=1}sont deux à deux non homéomorphes.
Classer les lettres de l’alphabet (en majuscule) par classe d’homéomorphisme.
Exercice 5. Soit S1={z∈C||z|=1}. Soit f:S1→R. Montrer qu’il existe z∈Stel que f(z)=f(−z)(on
pourra étudier le signe de la fonction z'→ f(z)−f(−z)).
Exercice 6. Soit Iun intervalle de Ret f:I→Rune application continue. Montrer que fest injective si et
seulement si elle est strictement monotone.
Exercice 7. Quelles sont les composantes connexes de Q? Quelles sont les composantes connexes de {0,1}N?
Exercice 8. Soit f:R→Rune fonction dérivable. Montrer que f!satisfait le principe des valeurs intermé-
diaires : l’image par f!d’un intervalle est un intervalle.
Exercice 9. Soit Xet Ydeux espaces métriques non vides.
a) Montrer que X×Yest connexe si et seulement si Xet Ysont connexes.
b) Montrer que les composantes connexes de X×Ysont de la forme A×Boù Aet Bsont des composantes
connexes de Xet de Y.
Exercice 10. Soit Xun espace métrique et A⊂Xune partie dense de X. Montrer que si Aest connexe, X
est connexe.
Exercice 11. Soit X:= {(x, sin( 1
x))}x∈]0,∞[∪{(0,y)}y∈[−1,1] ⊂R2.
a) Montrer que Xest connexe (on pourra utiliser l’exercice précédent).
b) Soit f=(f1,f
2) : [0,1] →Xune application telle que f1soit continue, f1(0) = 0 et f1(1) >0. Soit
x0= sup f−1
1(0). Montrer que pour tout !>0f2([x0,x
0+!]) = [−1,1]. En déduire que fn’est pas
continue et que Xn’est pas connexe par arcs.
Exercice 12. Montrer que GLn(R)est un ouvert non connexe de Mn(R)(on pourra considérer l’application
det : Mn(R)→R). Montrer que GLn(C)est un ouvert connexe de Mn(C)(on pourra commencer par montrer
que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures sans zéro sur la diagonale est connexe, puis utiliser la
triangularisation).
Exercice 13. Montrer que Sn(R) := {A∈GLn(R)|det(A) = 1}est un fermé connexe de Mn(R).
Exercice 14. Soit Xun espace métrique compact. Soit (Fn)n∈Nune suite décroissante de fermés connexes.
Montrer que !n∈NFnest connexe.
Exercice 15. On dit qu’un espace métrique Xest localement connexe si pour tout x∈Xet pour tout !>0,
il existe un ouvert connexe Ude ˚ B(x, !)contenant x.
a) Montrer que Rnest localement connexe.
b) Montrer que si Xest localement connexe, les composantes connexes de Xsont ouvertes dans X.
c) Construire un fermé de Rqui n’est pas localement connexe.
d) Construire un fermé de R2qui est connexe mais n’est pas localement connexe.
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Pour aller plus loin. . .
Exercice 16. Soient An={(1
n, y, 0),0≤y≤2n+1},Bn={(0, y, 0),2n−1≤y≤2n+1}et Cn=
{(x, 2n, x(1
n−x),0≤x≤1 n}et X="n∈N(An∪Bn∪Cn)⊂R3. Montrer que Xest connexe mais n’est pas
connexe par arc.
Exercice 17. Soit Xun espace métrique compact et connexe. Montrer que l’ensemble des fermés non vides de
X, muni comme dans l’exercice 13 de la feuille 4 de la distance
δ(F1,F
2) = max( sup
x∈F2
d(x, F1),sup
x∈F1
d(x, F2)),
est connexe.
Exercice 18. Si (X, d)est un espace métrique, on munit l’espace ΩX:= {f∈C([0,1],X)|f(0) = f(1)}de la
distance uniforme
d(f1,f
2) = sup
x∈[0,1]
|f1(x)−f2(x)|.
a) Montrer que si f:X→Yest une application continue, l’application Ωf:ΩX→ΩYqui à gassocie f◦g
est continue (on pourra commencer par montrer que si Kest un compact de X, pour tout !>0, il existe
η>0tel que pour tout x∈Ket x!in X,d(x, x!)≤η=⇒d(f(x),f(x!)) ≤!).
b) Montrer que ΩRnest connexe.
c) On considère X0=C\0. Montrer que X0est localement connexe.
d) Si n∈Z, on définit fn∈ΩX0par fn(x)=e2iπnx. Montrer que pour toute composante connexe de X0,
il existe un unique n∈Ztel que fn∈X0(on pourra montrer que l’application {f∈C([0,1],C)|f(0) =
0,f(1) ∈Z}→ΩX0qui à fassocie e2iπfest un homéomorphisme).
e) En déduire que Cet C\{0}ne sont pas homéomorphes.
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