Université Pierre & Marie Curie L3 de Mathématiques
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel) Automne 2011
TD n5. Connexité
Exercice 1. Les parties suivantes de R2sont-elles connexes ?
{(x, y)R2,x
2+y21},R2\{0},{(x, y)R2,x
2+y2=1},
{(x, y)R2|x$=0et y$=0},{(x, y)R2|x=1ou x=1ou y=1ou y=1}
Exercice 2. Montrer qu’un espace métrique Xest connexe si et seulement si toute fonction continue X{0,1},
{0,1}est muni de la distance discrète (cf. TD 2 exercice 5), est constante.
Exercice 3. Montrer qu’une partie de Rest connexe si et seulement si elle est convexe (et donc que les parties
connexes de Rsont les intervalles).
Exercice 4. Soient Xet Ydeux espaces métriques. Un homéomorphisme XYest une bijection continue
d’inverse continue (s’il existe un tel homéomorphismes, on dit que Xet Ysont homéomorphes). Montrer que
R,R2,[0,1[,[0,1] et S:= {zC,|z|=1}sont deux à deux non homéomorphes.
Classer les lettres de l’alphabet (en majuscule) par classe d’homéomorphisme.
Exercice 5. Soit S1={zC||z|=1}. Soit f:S1R. Montrer qu’il existe zStel que f(z)=f(z)(on
pourra étudier le signe de la fonction z'→ f(z)f(z)).
Exercice 6. Soit Iun intervalle de Ret f:IRune application continue. Montrer que fest injective si et
seulement si elle est strictement monotone.
Exercice 7. Quelles sont les composantes connexes de Q? Quelles sont les composantes connexes de {0,1}N?
Exercice 8. Soit f:RRune fonction dérivable. Montrer que f!satisfait le principe des valeurs intermé-
diaires : l’image par f!d’un intervalle est un intervalle.
Exercice 9. Soit Xet Ydeux espaces métriques non vides.
a) Montrer que X×Yest connexe si et seulement si Xet Ysont connexes.
b) Montrer que les composantes connexes de X×Ysont de la forme A×BAet Bsont des composantes
connexes de Xet de Y.
Exercice 10. Soit Xun espace métrique et AXune partie dense de X. Montrer que si Aest connexe, X
est connexe.
Exercice 11. Soit X:= {(x, sin( 1
x))}x]0,[{(0,y)}y[1,1] R2.
a) Montrer que Xest connexe (on pourra utiliser l’exercice précédent).
b) Soit f=(f1,f
2) : [0,1] Xune application telle que f1soit continue, f1(0) = 0 et f1(1) >0. Soit
x0= sup f1
1(0). Montrer que pour tout !>0f2([x0,x
0+!]) = [1,1]. En déduire que fn’est pas
continue et que Xn’est pas connexe par arcs.
Exercice 12. Montrer que GLn(R)est un ouvert non connexe de Mn(R)(on pourra considérer l’application
det : Mn(R)R). Montrer que GLn(C)est un ouvert connexe de Mn(C)(on pourra commencer par montrer
que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures sans zéro sur la diagonale est connexe, puis utiliser la
triangularisation).
Exercice 13. Montrer que Sn(R) := {AGLn(R)|det(A) = 1}est un fermé connexe de Mn(R).
Exercice 14. Soit Xun espace métrique compact. Soit (Fn)nNune suite décroissante de fermés connexes.
Montrer que !nNFnest connexe.
Exercice 15. On dit qu’un espace métrique Xest localement connexe si pour tout xXet pour tout !>0,
il existe un ouvert connexe Ude ˚
B(x, !)contenant x.
a) Montrer que Rnest localement connexe.
b) Montrer que si Xest localement connexe, les composantes connexes de Xsont ouvertes dans X.
c) Construire un fermé de Rqui n’est pas localement connexe.
d) Construire un fermé de R2qui est connexe mais n’est pas localement connexe.
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Pour aller plus loin. . .
Exercice 16. Soient An={(1
n, y, 0),0y2n+1},Bn={(0, y, 0),2n1y2n+1}et Cn=
{(x, 2n, x(1
nx),0x1
n}et X="nN(AnBnCn)R3. Montrer que Xest connexe mais n’est pas
connexe par arc.
Exercice 17. Soit Xun espace métrique compact et connexe. Montrer que l’ensemble des fermés non vides de
X, muni comme dans l’exercice 13 de la feuille 4 de la distance
δ(F1,F
2) = max( sup
xF2
d(x, F1),sup
xF1
d(x, F2)),
est connexe.
Exercice 18. Si (X, d)est un espace métrique, on munit l’espace X:= {fC([0,1],X)|f(0) = f(1)}de la
distance uniforme
d(f1,f
2) = sup
x[0,1]
|f1(x)f2(x)|.
a) Montrer que si f:XYest une application continue, l’application f:XYqui à gassocie fg
est continue (on pourra commencer par montrer que si Kest un compact de X, pour tout !>0, il existe
η>0tel que pour tout xKet x!in X,d(x, x!)η=d(f(x),f(x!)) !).
b) Montrer que Rnest connexe.
c) On considère X0=C\0. Montrer que X0est localement connexe.
d) Si nZ, on définit fnX0par fn(x)=e2iπnx. Montrer que pour toute composante connexe de X0,
il existe un unique nZtel que fnX0(on pourra montrer que l’application {fC([0,1],C)|f(0) =
0,f(1) Z}X0qui à fassocie e2iπfest un homéomorphisme).
e) En déduire que Cet C\{0}ne sont pas homéomorphes.
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