Université de Picardie Jules Verne 2009-2010 UFR des

Université de Picardie Jules Verne 2009-2010
UFR des Sciences L3S6 Topologie
Feuille d’exercices 5. Compacité (un peu) et connexité (beaucoup).
Exercice 1. Le théorème de Tychonov dit que le produit quelconque d’espace compacts est compact pour la topologie
produit. Le but de cet exercice est de prouver ce résultat dans le cas d’un produit dénombrable d’espaces métriques
compacts.
1. Soient (X, dX)et (Y, dY)deux espaces métriques compacts. On considère X×Yque l’on munit de la métrique
d((x, y),(x0, y0)) = dX(x, x0)+dY(y, y0). Dites rapidement en quoi cet métrique engendre bien la topologie produit.
2. Montrer que X×Yest compact (pour cela, on montrera par extraction successive que si ((xn, yn))nest une suite
de X×Y, on peut extraire une sous suite qui converge).
3. En déduire qu’un produit fini d’espace métriques compacts est compact.
4. On considère maintenant le cas infini. Soit donc E=XNque l’on munit de la métrique :
dE((xn)n,(yn)n) = X
n∈N
1
2ndX(xn, yn).
Montrer que dEengendre bien la métrique produit.
5. Montrer que si l’on considère la métrique
δE((xn)n,(yn)n) = sup
n∈N
(dX(xn, yn))
on engendre une topologie qui n’est pas la topologie produit (on supposera pour cela que Xcontient au moins
deux éléments). Que dire de cette topologie par rapport à la topologie produit ?
6. Montrer que (E, dE)est compact. On utilisera pour cela une extraction diagonale.
Exercice 2. Montrer que E⊂Rest connexe si et seulement si c’est un intervalle.
Exercice 3. 1. Trouver le nombre de composantes connexes des parties suivantes de R:
[0,1],[0,1[,[0,+1[,R\[0,1],R\[0,1[,[0,1] ∪[2,3[,[−1,0[∪]0,1].
2. Montrer, à l’aide de la connexité, que [−1,1] et [0,1] ∪[2,3] ne sont pas homéomorphes ainsi que [0,1[ et [0,1].
Exercice 4. Montrer que Ret R2ne sont pas homéomorphes.
Exercice 5. Soit f:R→Nune fonction continue. Montrer que fest constante.
Exercice 6. Soit Xun ensemble muni de la topologie grossière. Qui sont les parties connexes de X? Même question
avec la topologie discrète.
1

Exercice 7. Soient Cet C0deux ensembles connexes de X. On suppose que C∩C06=∅. Montrer que C∪C0est
connexe.
Exercice 8. 1. Soient C, C0deux ensembles connexes dans un espace topologique X. A-t-on que C∩C0est
forcément connexe ?
2. Soit C0⊂C1⊂. . . une suite décroissante de connexes. Montrer que ∩n≤NCnest connexe.
3. Donner un exemple où ∩n∈NCnn’est pas connexe.
4. On suppose en plus que Xest métrique et que chaque Cnest compact. Montrer qu’alors ∩n∈NCnest connexe.
Exercice 9. Soient J= [−1,1] × {0} ∪ {0} × [−1,1] et I= [−1,1] ×0. Montrer que Iet Jne sont pas homéomorphes.
Exercice 10 (Passage des douanes).Soit Cun ensemble connexe dans un espace topologique X. Soit F⊂Xun
ensemble fermé. On suppose que C∩F6=∅et C∩Fc6=∅. Montrer que C∩∂F 6=∅.
Exercice 11. Soit (un)une suite réelle, on note Λl’ensemble de ses valeurs d’adhérence. Montrer que Λest fermé. On
suppose en plus que limn→∞ un−un+1 = 0, montrer que Λest connexe.
Exercice 12. Soit Γ = {(x, sin(1/x), x > 0}. Montrer que Γest connexe par arcs. Montrer que ¯ Γest connexe mais
n’est pas connexe par arcs.
Exercice 13. Soit Cun ensemble convexe d’un espace vectoriel normé E. Montrer que Cest connexe par arcs.
Exercice 14. Soit Eun espace vectoriel normé. On dit qu’une partie Xde Eest étoilée s’il existe un point a∈Xtel
que, pour tout x∈Xle segment [a, x]est inclus dans X.
1. Montrer qu’une partie convexe de Eest étoilée, et trouver un contre-exemple à la réciproque.
2. Montrer qu’une partie étoilée de Eest connexe par arcs, et trouver un contre-exemple à la réciproque.
2