Exercice 1. 1. Montrer que le complémentaire d`un ensemble fini de

ENS de Lyon TD 3 25/09/2011
Topologie
Exercice 1.
1. Montrer que le complémentaire d’un ensemble fini de points du plan complexe
est connexe. Que peut-on dire du complémentaire d’un ensemble dénombrable de
points ?
2. Soit hun homéomorphisme de Xsur Y. Montrer que héchange les composantes
connexes de Xet Y.
Exercice 2. Montrer que Ret Rnne sont pas homéomorphes si n≥2.
Exercice 3.
1. Quelles sont les composantes connexes de Q?
2. Quelles sont les composantes connexes de {0,1}N, doù
d((xn)n∈N,(yn)n∈N) = X
n∈N
2−n|xn−yn|.
Exercice 4. Connexe ;connexe par arcs
On se place dans le plan R2. Montrer que l’adhérence de Γ = nx, sin 1
x, x ∈]0,1]oest
connexe, mais n’est pas connexe par arcs.
Exercice 5. Soit Xun espace métrique.
1. Soit (Aα)α∈Iune famille de parties connexes de Xtelles que Tα∈IAα6=∅. Montrer
que Sα∈IAα6=∅est connexe.
2. Soient Aet Bdeux parties connexes de X. Montrer que si A∩Bn’est pas vide,
alors A∪Best connexe.
Exercice 6. Soit (X, d)un espace métrique connexe et non borné. Montrer que toute
sphère de Xest non-vide.
Exercice 7.
1. Montrer que le groupe GLn(C)est connexe. Indication : si Aet Bsont deux matrices
de GLn(C), considérer le polynôme P(z) = det(zA + (1 −z)B).
2. Montrer que GLn(R)n’est pas connexe. Décrire ses composantes connexes.
3. Si M /∈GLn(R), montrer que GLn(R)∪ {M}est connexe par arcs.
Exercice 8. Soit Uun ouvert d’un espace vectoriel normé E. Montrer que Uest connexe
si et seulement s’il est connexe par arcs.
Exercice 9. Théorème de passage des douanes
Soit (X, d)un espace métrique et A⊂X. Soit γ: [0,1] →Xun chemin continu tel que
γ(0) ∈Aet γ(1) /∈A. Alors il existe t∈[0,1] tel que γ(t)∈∂A.
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Exercice 10. Soit Eun R-espace vectoriel normé de dimension finie et Fun sous-espace
vectoriel de E.
1. Si Fest de codimension au moins 2, montrer que E\Fest connexe.
2. Si Fest de codimension 1, montrer que E\Fa deux composantes connexes.
Exercice 11. Soient (E, d)et (F, d0)deux espaces métriques connexes.
1. Montrer que E×Fest connexe.
2. Soient A⊂Eet B⊂Ftels que A6=Eet B6=F. Montrer que (E×F)\(A×B)
est connexe.
Exercice 12. Pas de théorème de Cantor-Bernstein topologique
Soit X=∪∞
n=0(]3n, 3n+ 1[∪{3n+ 2})et Y= (X− {2})∪ {1}. D’une part, montrer
que Xet Yne sont pas homéomorphes. D’autre part, trouver deux bijections continues
f:X→Yet g:Y→X. Conclure.
Exercice 13. Peigne
On considère les parties suivantes de R2
P+= (R× {1})∪
[
x∈Q{x} × [0,1]
et P−= (R× {−1})∪ [
x∈Q{x+√2} × [−1,0]
.
Montrer que P+∪P−est connexe mais pas connexe par arcs.
Récréation. Classer les lettres de l’alphabet (en majuscule) par classe d’homéomor-
phisme.
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