TD3. Probabilités conditionnelles

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
Licence MISM, 6
e
2006-07
Mesure, intégration, probabilités
semestre
TD3. Probabilités conditionnelles
Exercice 1
On lance deux dés non pipés.
(a) On note A l'évènement le premier dé fait 3 et B l'évènement la somme des dés vaut 8 .
Calculer pA (B).
(b) On note I l'évènement la somme des chires obtenus est impaire , U l'évènement au
moins l'un des chires est 1 . Les évènements I et U sont-ils indépendants ?
Exercice 2
On considère une famille de deux enfants.
(a) Calculer la probabilité que les deux enfants soient des lles, sachant que le premier enfant en
est une.
(b) Calculer la probabilité que les deux enfants soient des lles, sachant que l'un des enfants en
est une.
Exercice 3
Soit Ω l'ensemble des compositions possibles en lles et garçons des familles ayant un nombre
quelconque d'enfants. On note A l'évènement : la famille n'a pas de lle , Hn l'ensemble des
familles à n enfants et pn la probabilité qu'une famille donnée appartienne à Hn . On suppose que
les diérentes répartitions entre garçons et lles sont équiprobables dans Hn .
(a) Calculer la probabilité qu'une famille de Hn n'ait aucune lle.
(b) En déduire P (A).
Exercice 4
Deux urnes U1 et U2 contiennent des proportions respectives p1 et p2 de boules blanches. On
choisit une urne au hasard (on note π la probabilité que ce soit U1 ) puis on tire une boule dans
cette urne avec équiprobabilité. La boule obtenue étant blanche, quelle est la probabilité que l'urne
choisie soit U1 ?
Exercice 5
Une population comporte 15% de personnes atteintes d'une certaine aection. Un dépistage est
lancé, dont on sait qu'il donne 95% de réponses positives pour les personnes atteintes et 10% de
réponses positives pour les personnes non atteintes. Quelle est la probabilité qu'une personne prise
au hasard soit atteinte sachant que son test est positif ? ne soit pas atteinte sachant que son test
est négatif ?
Exercice 6
On reprend les notations et résultats de l'exercice 9 du TD2. On note Ω = [0, 1[ \D et p la mesure
de Borel sur [0, 1[. Pour tout m ∈ N, on pose
Am = {x ∈ Ω , am (x) = 1} ,
où am (x) est le m-ième c÷cient (∈ {0, 1}) du développement dyadique de x. On rappelle que D
est dénombrable, d'où l'on tire que p(D) = 0.
(a) Soit x ∈ Ω, montrer que
x ∈ Am ⇐⇒ x =
N
2m−1
+
1
y
+ m
m
2
2
avec N ∈ {0, . . . , 2m−1 − 1}, y ∈ Ω .
En déduire que Am est réunion de 2m−1 intervalles (à un ensemble dénombrable près)
disjoints, puis que p(Am ) = 1/2.
(b) Etablir de façon analogue que, si n < m, An ∩ Am est réunion de 2m−2 intervalles disjoints
de longueur 1/2m , en déduire p(An ∩ Am ) = p(An )p(Am ).
(c) Montrer plus généralement que les évènements An , n ∈ N∗ , sont indépendants.
Exercice 7
On répète une expérience à deux résultats possibles R1 et R2 , le premier de probabilité 0 < p < 1,
le second de probabilité q = 1 − p, une innité de fois (par ex. le lancer d'une pièce de monnaie,
p = P (Pile) = 1/2 = P (Face) = q ). Les résultats des diérentes répétitions sont indépendants les
uns des autres. Pour n ∈ N, on note An l'évènement : les essais numéros n, n + 1 et n + 2 ont
produit la séquence R1 R2 R1 .
(a) Quel est l'univers Ω qui décrit les résultats de cette répétition innie d'expériences ?
(b) Vérier que les évènements de la suite (A3n+1 )n∈N sont indépendants. Cela est-il vrai pour la
suite (An )n∈N ?
(c) Vérier que lim supn∈N (A3n+1 ) correspond aux expériences qui contiennent la séquence R1 R2 R1
une innité de fois.
P
(d) Calculer p(An ), en déduire que n∈N p(A3n+1 ) diverge. Conclusion ?