DS5

DS4(v1) - Maths - 1S2 - 13/03/2015
durée : 1 h - calculatrice autorisée
La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note
EXERCICE 1 (5 points)
La suite (un)est définie pour tout entier naturel npar :
un=n2−9n−20
1. Calculez u0,u1,u2,u3et u4. Que remarquez-vous ?
2. Étudiez le sens de variation de la suite (un)et montrer qu’elle est croissante pour n>4 :
a) en utilisant le signe de un+1−un
b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0;+∞[par f(x)=x2−9x−20.
EXERCICE 2 (5 points)
Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n:
a) un=4n−1
3b) un=3n+2
n+1
EXERCICE 3 (5 points)
Soit (un)la suite définie sur Npar u0=1 et par : un+1=un
1+un
.
On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (vn), définie pour tout entier naturel n,
par : vn=1
un
1. Montrer que (vn)est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial.
2. En déduire une expression de vn, puis de un, en fonction de n.
3. En déduire le sens de variation de (un).
EXERCICE 4 (5 points)
Une roue de loterie est partagée en deux secteurs verts, cinq secteurs blancs et nsecteurs rouges ( nentier non
nul).
Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe.
Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère :
— si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e;
— si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ;
— si le secteur est rouge, il perd sa mise.
Soit Xnla variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité.
2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E(Xn)≤ −2.
Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent.
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DS4(v2) - Maths - 1S2 - 13/03/2015
durée : 1 h - calculatrice autorisée
La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note
EXERCICE 1 (5 points)
La suite (un)est définie pour tout entier naturel npar :
un=n2−9n−20
1. Calculez u0,u1,u2,u3et u4. Que remarquez-vous ?
2. Étudiez le sens de variation de la suite (un)et montrer qu’elle est croissante pour n>4 :
a) en utilisant le signe de un+1−un
b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0;−∞[par f(x)=x2−9x−20.
EXERCICE 2 (5 points)
Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n:
a) un=3n−1
4b) un=3n+5
n+2
EXERCICE 3 (5 points)
Soit (un)la suite définie sur Npar u0=1 et par : un+1=un
1+un
.
On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (vn), définie pour tout entier naturel n,
par : vn=1
un
1. Montrer que (vn)est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial.
2. En déduire une expression de vn, puis de un, en fonction de n.
3. En déduire le sens de variation de (un).
EXERCICE 4 (5 points)
Une roue de loterie est partagée en trois secteurs verts, quatre secteurs blancs et nsecteurs rouges ( nentier
non nul).
Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe.
Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère :
— si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e;
— si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ;
— si le secteur est rouge, il perd sa mise.
Soit Xnla variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité.
2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E(Xn)≤ −2.
Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent.
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DS4(v1) :correction
EXERCICE 1
1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u0= −20, u1= −28, u2= −34, u3= −38 et u4= −40.
La suite (un)semble décroissante.
2. a) Étudions le signe de :un+1−un=(n+1)2−9(n+1)−20 −n2+9n+20 =2n+1−9n−9+9n=2n−8.
Or : 2n−8>0⇔2n>8⇔n>4 . Donc, la suite (un)est croissante pour : n>4.
b) Soit : x∈[0;+∞[.La fonction fdéfinie par f(x)=x2−9x−20 , comme fonction polynôme est dérivable
sur R, donc sur R+.
f0(x)=2x−9. Donc, fest décroissante sur ·0; 9
2·( 2x−9<0) et croissante sur ·9 2;+∞·.
On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n≥5, soit n>4.
EXERCICE 2
a) un=4n−1
3: calculons un+1−un=4n 3−4n−1 3=4n−1 3(4−1)=4n−1 3×3=4n−1>0.
Donc, la suite (un)est croissante sur N.
b) un=3n+2
n+1: soit x∈R+. Étudions les variations de la fonction f(x)=3x+2 x+1. Cette fonction , comme fonc-
tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition.
f0(x)=3(x+1) −(3x+2)
(x+1)2=1 (x+1)2>0. Donc fest croissante sur R+.
On en déduit que (un)est croissante sur N.
EXERCICE 3
1. Exprimons vn+1en fonction de vn:
vn+1=1
un+1
=1+un
un
=1
un
(1+un)=vnµ1+1
vn¶=vn+1.
D’après : une suite (un)est arithmétique sur Nlorsqu’il existe un réel rtel que : un+1=un+r.
On peut alors écrire : un=u0+nr .
Donc : (vn)est une suite arithmétique de raison r=1 et de terme initial : v0=1
u0
=1.
2. On en déduit : vn=1+n×1=1+n. Puis : un=1
vn =1 1+n.
3. Calculons : un+1−un=1
n+2−1 n+1=
−1
(n+1)(n+2) <0 pour n∈N. Donc, (un)est décroissante sur N.
EXERCICE 4
1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur :
— Secteur vert : pv=2
7+net le gain est de 30e( 40-10)
— Secteur blanc : pv=5
7+net le gain est de 0e( 10-10)
— Secteur rouge : pv=n
7+net le gain est de −10e( 0-10)
Loi de probabilité :
xi30 0 −10
pi
2
7+n
5
7+n
n
7+n
2. Résolvons : E(Xn)≤ −2⇔60
7+n−10n 7+n≤ −2⇔60−10n 7+n+2≤0⇔
−8n+74
7+n≤0
n
7+n
−8n+74
E(Xn)+2
037
4+∞
+
+0−
+0−
D’après le tableau de signes ci-contre :
E(Xn)≤ −2⇔E(Xn)+2≤0⇔n∈·37
4;+∞·.
Donc, à partir de n=10, soit un nombre de cases rouges
minimum de 10, il ne perdra pas d’argent.
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DS4(v2) :correction
EXERCICE 1
1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u0= −20, u1= −28, u2= −34, u3= −38 et u4= −40.
La suite (un)semble décroissante.
2. a) Étudions le signe de :un+1−un=(n+1)2−9(n+1)−20 −n2+9n+20 =2n+1−9n−9+9n=2n−8.
Or : 2n−8>0⇔2n>8⇔n>4 . Donc, la suite (un)est croissante pour : n>4.
b) Soit : x∈[0;+∞[.La fonction fdéfinie par f(x)=x2−9x−20 , comme fonction polynôme est dérivable
sur R, donc sur R+.
f0(x)=2x−9. Donc, fest décroissante sur ·0; 9
2·(x−9<0) et croissante sur ·9 2;+∞·.
On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n≥5, soit n>4.
EXERCICE 2
a) un=3n−1
4: calculons un+1−un=3n 4−3n−1 4=3n−1 4(3−1)=3n−1 4×2=3n−1 2>0.
Donc, la suite (un)est croissante sur N.
b) un=3n+5
n+2: soit x∈R+. Étudions les variations de la fonction f(x)=3x+5 x+2. Cette fonction , comme fonc-
tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition.
f0(x)=3(x+2) −(3x+5)
(x+2)2=1 (x+2)2>0. Donc fest croissante sur R+.
On en déduit que (un)est croissante sur N.
EXERCICE 3
1. Exprimons vn+1en fonction de vn:
vn+1=1
un+1
=1+un
un
=1
un
(1+un)=vnµ1+1
vn¶=vn+1.
D’après : une suite (un)est arithmétique sur Nlorsqu’il existe un réel rtel que : un+1=un+r.
On peut alors écrire : un=u0+nr .
Donc : (vn)est une suite arithmétique de raison r=1 et de terme initial : v0=1
u0
=1.
2. On en déduit : vn=1+n×1=1+n. Puis : un=1
vn =1 1+n.
3. Calculons : un+1−un=1
n+2−1 n+1=
−1
(n+1)(n+2) <0 pour n∈N. Donc, (un)est décroissante sur N.
EXERCICE 4
1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur :
— Secteur vert : pv=3
7+net le gain est de 30e( 40-10)
— Secteur blanc : pv=4
7+net le gain est de 0e( 10-10)
— Secteur rouge : pv=n
7+net le gain est de −10e( 0-10)
Loi de probabilité :
xi30 0 −10
pi
3
7+n
4
7+n
n
7+n
2. Résolvons : E(Xn)≤ −2⇔90
7+n−10n 7+n≤ −2⇔90−10n 7+n+2≤0⇔
−8n+104
7+n≤0
n
7+n
−8n+104
E(Xn)+2
0 13 +∞
+
+0−
+0−
D’après le tableau de signes ci-contre :
E(Xn)≤ −2⇔E(Xn)+2≤0⇔n∈[13;+∞[.
Donc, à partir de n=13, soit un nombre de cases rouges
minimum de 13, il ne perdra pas d’argent.
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