DS4(v1) - Maths - 1S2 - 13/03/2015 durée : 1 h - calculatrice autorisée La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note EXERCICE 1 La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : (5 points) u n = n 2 − 9n − 20 1. Calculez u 0 , u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . Que remarquez-vous ? 2. Étudiez le sens de variation de la suite (u n ) et montrer qu’elle est croissante pour n > 4 : a) en utilisant le signe de u n+1 − u n b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = x 2 − 9x − 20. EXERCICE 2 Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n : a) u n = 4n−1 3 b) u n = (5 points) 3n + 2 n +1 (5 points) un Soit (u n ) la suite définie sur N par u 0 = 1 et par : u n+1 = . 1 + un On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (v n ), définie pour tout entier naturel n, 1 par : v n = un 1. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial. EXERCICE 3 2. En déduire une expression de v n , puis de u n , en fonction de n. 3. En déduire le sens de variation de (u n ) . EXERCICE 4 (5 points) Une roue de loterie est partagée en deux secteurs verts, cinq secteurs blancs et n secteurs rouges ( n entier non nul). Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère : — si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e ; — si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ; — si le secteur est rouge, il perd sa mise. Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur. 1. Déterminer la loi de probabilité. 2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (X n ) ≤ −2. Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent. Page 1 sur 4 DS4(v2) - Maths - 1S2 - 13/03/2015 durée : 1 h - calculatrice autorisée La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note EXERCICE 1 La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : (5 points) u n = n 2 − 9n − 20 1. Calculez u 0 , u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . Que remarquez-vous ? 2. Étudiez le sens de variation de la suite (u n ) et montrer qu’elle est croissante pour n > 4 : a) en utilisant le signe de u n+1 − u n b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0; −∞[ par f (x) = x 2 − 9x − 20. EXERCICE 2 Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n : a) u n = 3n−1 4 b) u n = (5 points) 3n + 5 n +2 (5 points) un Soit (u n ) la suite définie sur N par u 0 = 1 et par : u n+1 = . 1 + un On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (v n ), définie pour tout entier naturel n, 1 par : v n = un 1. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial. EXERCICE 3 2. En déduire une expression de v n , puis de u n , en fonction de n. 3. En déduire le sens de variation de (u n ) . EXERCICE 4 (5 points) Une roue de loterie est partagée en trois secteurs verts, quatre secteurs blancs et n secteurs rouges ( n entier non nul). Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère : — si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e ; — si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ; — si le secteur est rouge, il perd sa mise. Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur. 1. Déterminer la loi de probabilité. 2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (X n ) ≤ −2. Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent. Page 2 sur 4 DS4(v1) :correction EXERCICE 1 1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u 0 = −20, u 1 = −28, u 2 = −34, u 3 = −38 et u 4 = −40. La suite (u n ) semble décroissante. 2. a) Étudions le signe de :u n+1 − u n = (n + 1)2 − 9(n + 1) − 20 − n 2 + 9n + 20 = 2n + 1 − 9n − 9 + 9n = 2n − 8. Or : 2n − 8 > 0 ⇔ 2n > 8 ⇔ n > 4 . Donc, la suite (u n ) est croissante pour : n > 4. b) Soit : x ∈ [0; +∞[ .La fonction f définie par f (x) = x 2 − 9x − 20 , comme fonction polynôme est dérivable sur R, donc sur R+ . · · · · 9 9 0 f (x) = 2x − 9. Donc, f est décroissante sur 0; ( 2x − 9 < 0) et croissante sur ; +∞ . 2 2 On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n ≥ 5, soit n > 4. EXERCICE 2 4n−1 4n 4n−1 4n−1 4n−1 a) u n = : calculons u n+1 − u n = − = × 3 = 4n−1 > 0. (4 − 1) = 3 3 3 3 3 Donc, la suite (u n ) est croissante sur N. 3n + 2 3x + 2 b) u n = : soit x ∈ R+ . Étudions les variations de la fonction f (x) = . Cette fonction , comme foncn +1 x +1 tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition. 3(x + 1) − (3x + 2) 1 f 0 (x) = = > 0. Donc f est croissante sur R+ . 2 (x + 1) (x + 1)2 On en déduit que (u n ) est croissante sur N. EXERCICE 3 1. Exprimons v n+1 en fonction de v n : µ ¶ 1 + un 1 1 1 = = v n+1 = = v n + 1. (1 + u n ) = v n 1 + u n+1 un un vn D’après : une suite (u n ) est arithmétique sur N lorsqu’il existe un réel r tel que : u n+1 = u n + r . On peut alors écrire : u n = u 0 + nr . 1 Donc : (v n ) est une suite arithmétique de raison r = 1 et de terme initial : v 0 = = 1. u0 1 1 . 2. On en déduit : v n = 1 + n × 1 = 1 + n . Puis : u n = = vn 1+n 1 1 −1 3. Calculons : u n+1 − u n = − = < 0 pour n ∈ N. Donc, (u n ) est décroissante sur N. n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2) EXERCICE 4 1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur : 2 Loi de probabilité : — Secteur vert : p v = et le gain est de 30e( 40-10) 7+n 5 xi 30 0 −10 — Secteur blanc : p v = et le gain est de 0e( 10-10) 7+n 2 5 n n pi — Secteur rouge : p v = et le gain est de −10e( 0-10) 7+n 7+n 7+n 7+n 60 10n 60 − 10n −8n + 74 2. Résolvons : E (X n ) ≤ −2 ⇔ − ≤ −2 ⇔ +2 ≤ 0 ⇔ ≤0 7+n 7+n 7+n 7+n n 37 4 + 0 7+n −8n + 74 E (X n )+2 +∞ + 0 − + 0 − Page 3 sur 4 D’après le tableau de signes ci-contre · : · 37 E (X n ) ≤ −2 ⇔ E (X n ) + 2 ≤ 0 ⇔ n ∈ ; +∞ . 4 Donc, à partir de n = 10, soit un nombre de cases rouges minimum de 10, il ne perdra pas d’argent. DS4(v2) :correction EXERCICE 1 1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u 0 = −20, u 1 = −28, u 2 = −34, u 3 = −38 et u 4 = −40. La suite (u n ) semble décroissante. 2. a) Étudions le signe de :u n+1 − u n = (n + 1)2 − 9(n + 1) − 20 − n 2 + 9n + 20 = 2n + 1 − 9n − 9 + 9n = 2n − 8. Or : 2n − 8 > 0 ⇔ 2n > 8 ⇔ n > 4 . Donc, la suite (u n ) est croissante pour : n > 4. b) Soit : x ∈ [0; +∞[ .La fonction f définie par f (x) = x 2 − 9x − 20 , comme fonction polynôme est dérivable sur R, donc sur R+ . · · · · 9 9 0 f (x) = 2x − 9. Donc, f est décroissante sur 0; ( x − 9 < 0) et croissante sur ; +∞ . 2 2 On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n ≥ 5, soit n > 4. EXERCICE 2 3n−1 3n 3n−1 3n−1 3n−1 3n−1 a) u n = : calculons u n+1 − u n = − = ×2 = > 0. (3 − 1) = 4 4 4 4 4 2 Donc, la suite (u n ) est croissante sur N. 3x + 5 3n + 5 : soit x ∈ R+ . Étudions les variations de la fonction f (x) = . Cette fonction , comme foncb) u n = n +2 x +2 tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition. 3(x + 2) − (3x + 5) 1 f 0 (x) = = > 0. Donc f est croissante sur R+ . 2 (x + 2) (x + 2)2 On en déduit que (u n ) est croissante sur N. EXERCICE 3 1. Exprimons v n+1 en fonction de v n : µ ¶ 1 + un 1 1 1 = = = v n + 1. v n+1 = (1 + u n ) = v n 1 + u n+1 un un vn D’après : une suite (u n ) est arithmétique sur N lorsqu’il existe un réel r tel que : u n+1 = u n + r . On peut alors écrire : u n = u 0 + nr . 1 Donc : (v n ) est une suite arithmétique de raison r = 1 et de terme initial : v 0 = = 1. u0 1 1 . = 2. On en déduit : v n = 1 + n × 1 = 1 + n . Puis : u n = vn 1+n 1 1 −1 3. Calculons : u n+1 − u n = − = < 0 pour n ∈ N. Donc, (u n ) est décroissante sur N. n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2) EXERCICE 4 1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur : 3 Loi de probabilité : — Secteur vert : p v = et le gain est de 30e( 40-10) 7+n 4 xi 30 0 −10 — Secteur blanc : p v = et le gain est de 0e( 10-10) 7+n 3 4 n n pi — Secteur rouge : p v = et le gain est de −10e( 0-10) 7+n 7+n 7+n 7+n 90 10n 90 − 10n −8n + 104 2. Résolvons : E (X n ) ≤ −2 ⇔ − ≤ −2 ⇔ +2 ≤ 0 ⇔ ≤0 7+n 7+n 7+n 7+n n 0 7+n −8n + 104 E (X n ) + 2 +∞ 13 + + 0 − + 0 − Page 4 sur 4 D’après le tableau de signes ci-contre : E (X n ) ≤ −2 ⇔ E (X n ) + 2 ≤ 0 ⇔ n ∈ [13; +∞[. Donc, à partir de n = 13, soit un nombre de cases rouges minimum de 13, il ne perdra pas d’argent.