FICHE METHODE sur les FONCTIONS AFFINES I) A quoi sert une

FICHE METHODE sur les FONCTIONS AFFINES
a) Exemples :
. Il a actuellement 30 euros d ’économies et en ajoute 5 par semaine !
Comment varient ses économies en fonction du nombre x de semaines ? f(x) = 5x + 30
. Il fait 20°C et la température diminue de 1,5°C par jour !
Combien fera t-il dans x jours ? : f(x) = 20 – 1,5x = -1,5x + 20
. Il s’est entraîné 20 minutes aujourd ’hui et s’entraîne 2 minutes de plus par jours !
Combien de temps s’entraînera t-il dans x jours ? : f(x) = 20 + 2x = 2x + 20
. Il a placé 200 euros à 5% d ’intérêts simples annuels !
Combien aura t-il sur son compte dans x années ? : f(x) = 200 + 10x = 10x + 200
b) Remarques :
Le monde dans lequel nous vivons est en perpétuelle évolution, il n’est pas « figé ». Les fonctions
en général, permettent de rendre compte de l’évolution de certains phénomènes qui évoluent, elles
permettent de « décrire le changement ». Mais tous les changements ne sont pas « de même
nature », et à une certaine nature de changement correspond un certain type de fonction, en fait,
il existe des changements, des évolutions que l’on peut regrouper ensemble parce qu’ils ont de
« même caractéristiques », les fonctions affines permettent de décrire un certain type d’évolution
, et d’autres types de fonctions que les fonctions affines serviront à décrire d’autres sortes
d’évolutions. Il est utile de connaître ce qui caractérise les fonctions affines et les évolutions qui
leurs sont associées, pour pouvoir résoudre des problèmes, car nombreux sont les problèmes liés
aux fonctions affines.
Définition 1: ( fonction affine )
f est une fonction affine de la variable x si et seulement si f peut s’écrire f(x) = ax + b
pour tout x ∈ IR où a ∈ IR et b ∈ IR sont deux nombres fixés
« b » est appelé l’ordonnée à l’origine et « a » le coefficient directeur de la fonction affine.
Si b = 0 on dit aussi que f est une fonction « affine linéaire » ( ou « linéaire » )
Exemples :
 Soit f la fonction telle que : f(x) = 5x + 30 pour x ∈ IR.
f est une fonction affine de la variable x d’ordonnée à l’origine b = 30
de coefficient directeur a = 5
 Soit f la fonction telle que : f(t) = -1,5t + 20 pour t ∈ IR.
f est une fonction affine de la variable t d’ordonnée à l’origine b = 20
de coefficient directeur a = -1,5
I) A quoi sert une fonction
affine ?
II) Qu’est ce qu’une fonction affine
?

 Soit f la fonction telle que : f(x) = 2
3 x pour x ∈ IR.
f est une fonction affine linéaire de la variable x d’ordonnée à l’origine b = 0
de coefficient directeur a = 2
3
 Si un train se déplace en ligne droite, se trouve à l’abscisse 500 km et avance à la
vitesse de 100 km.h
-1
alors dans t heures il se trouvera à l’abscisse f(t) kilomètres
avec f(t) = 500 – 100t = -100t + 500. f et une fonction affine !
Les fonctions affines ont certaines propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes
naturels quelles permettent de décrire, voici les principales propriétés.
Propriété 1 : GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE .
1) Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x ∈ IR.
La courbe représentative de la fonction affine f est une droite d’équation y = ax +b.
2) Réciproquement : Si la courbe d’une fonction est une droite alors la fonction est affine.
3) Une fonction est linéaire si et seulement si sa courbe est une droite passant par l’origine.
4) Une fonction est constante si et seulement si sa courbe est une droite parallèle à l’axe (ox) .
(admis)
Exemples :
 Soit la fonction affine : f(x) = -2x + 12 pour x ∈
∈∈
∈ IR dont on a le tableau de valeurs suivant :
x 0 5 10
-2x + 12 12 2 -8
On place dans un repère les points de coordonnées ( 0; 12) ; (5 ; 2) et ( 10 ; -8 ) et on obtient
le graphique ci dessous. ( on joint les 3 points par une droite ) .
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
0
5
10
(5; 2)
(10;-8)
(0;12)
VALEURS de f(x) = -2x + 12
VALEURS de x
III) Propriétés des fonctions affines
2 valeu
rs suffisent en théorie, mais 3 valeurs permettent
de voir si les points sont effectivement alignés.
« La courbe est une droite »

 pour f(x) = 2x on a b = 0 , la fonction est affine linéaire.
x
0 1 2
2x 0 2 4
Remarque :
La droite passe par
l’origine du repère
car l’ordonnée à
l’origine est nulle
b = 0.
 pour f(x) = 2 on a a = 0, la fonction est une fonction constante.
x 0
1 2
f(x) 2 2 2
La droite est parallèle
à l’axe ( Ox) car le
coefficient directeur
est nul : a = 0
Propriété 2 : PROPORTIONNALITE DES ACCROISSEMENTS
Une fonction est affine si et seulement si f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
= constante = a quels que soient les
nombres réels x
1
et x
2
.
Autrement dit : l’accroissement f(x
2
) – f(x
1
) de la fonction entre x
1
et x
2
est proportionnel à
l’accroissement de la variable x
2
– x
1
entre x
1
et x
2
. Le coefficient de proportionnalité est : a
Preuve :
Supposons une fonction f affine, on a alors f(x) = ax + b par suite, si x
2
et x
1
sont deux nombres
on a bien f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
= ax
2
+ b – (ax
1
+ b)
x
2
– x
1
= ax
2
+ b – ax
1
–b
x
2
– x
1
= a(x
2
– x
1
)
x
2
– x
1
= a = constante.
Réciproquement : si f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
= a = constante pour tout x
2
et x
1
, on a en particulier
pour x
2
= x et x
1
= 0 : f(x) – f(0)
x – 0 = a et par suite f(x) – f(0) = ax d’ou f(x) = ax + f(0)
et en posant f(0) = b on a bien f(x) = ax + b. C.Q.F.D.
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
1
2
3
4
x
y
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
1
2
3
4
« b = 0 donc la
fonction est linéaire et
la droite passe par
l’origine O du repère »
«
a = 0 donc la fonction est constante
et la droite est parallèle à l’axe (Ox)
du repère »

Exemple et Application : ( pour trouver la formule de la fonction f connaissant 2 valeurs )
On cherche la fonction affine f telle que f(2) = 10 et f(4) =16.
f est de la forme f(x) = ax + b et on a : a = f(4) – f(2)
4 – 2 = 16 – 10 4 – 2 = 6 2 = 3.
Donc f(x) = 3x + b. de plus f(2) = 10 donc 3×2 + b = 10 donc b = 10 – 6 = 4
finalement f(x) = 3x + 4.
Propriété 3 : SENS DE VARIATION D’ UNE FONCTION AFFINE .
Il est fréquemment utile (comme pour les fonctions en général) d’étudier le sens de variation
d’une fonction affine, la propriété suivante permet de reconnaître le sens de variation.
Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x ∈ IR.
On distingue les 3 cas suivants selon la valeur du coefficient directeur « a »
•Cas où a > 0 :
f est croissante stricte sur IR équivaut à le coefficient directeur « a » est positif strict
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ + ∞
∞∞
∞
Variations de f
•Cas où a < 0 :
f est décroissante stricte sur IR équivaut à le coefficient directeur « a » est négatif strict
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ + ∞
∞∞
∞
Variations de f
•Cas où a = 0 :
f est constante sur IR équivaut à le coefficient directeur « a » est nul
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ + ∞
∞∞
∞
Variations de f
Preuve :
On sait que : a = f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
quels que soient les deux nombres x
1
et x
2
.
Supposons a > 0 : alors f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
> 0 et si x
2
> x
1
alors f(x
2
) > f(x
1
) donc
2 nombres et leurs images sont dans le même ordre donc f croît strictement.
Supposons a < 0 : alors f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
< 0 et si x
2
> x
1
alors f(x
2
) < f(x
1
) donc
2 nombres et leurs images sont en ordre inverse donc f décroît strictement.
Supposons a = 0 : alors f(x
2
) – f(x
1
)
x
2
– x
1
= 0 et si x
2
> x
1
alors f(x
2
) = f(x
1
) donc
les images des deux nombres sont égales et f est constante.
( On démontre réciproquement et en considérant de même la règle du signe d’un quotient que si
f est croissante stricte alors a > 0, … )
a > 0, droite qui
«
monte
»
a < 0, droite qui
«
descend
»
a = 0, droite
«
horizontale
»

Exemples :  Soit f telle que f(x) = 3x – 15 pour x ∈ IR
a = 3 donc a > 0 donc f est strictement croissante.
 Soit f telle que f(x) = -15x + 3 pour x ∈ IR
a = -15 donc a < 0 donc f est strictement décroissante.
 Soit f telle que f(x) = -3 pour x ∈ IR
a = 0 donc f est constante.
Propriété 4 : SIGNE D’ UNE FONCTION AFFINE .
Il utile (comme pour les fonctions en général) d’étudier le SIGNE d’une fonction affine, la
propriété suivante permet d’étudier le signe.
Soit f une fonction affine avec f(x) = ax + b pour x ∈ IR et a ≠ 0.
f(x) = 0 donne ax + b = 0 donc x = - b
a donc la fonction s’annule pour x = - b a .
On distingue les 2 cas suivants selon la valeur du coefficient directeur « a »
•Cas où a > 0 : la fonction croît et la droite coupe l’axe (ox) au point x = - b
a
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ - b
a + ∞
∞∞
∞
Variations de f
0
Signe de f
– 0 +
f est positive strict pour x > - b
a ; f est négative strict pour x < - b a ; f est nulle pour x = - b a
•Cas où a < 0 :
f est décroissante stricte sur IR et la droite coupe l’axe (ox) au point x = - b
a
Valeurs de x -∞
∞∞
∞ - b
a + ∞
∞∞
∞
Variations de f
0
Signe de f
+ 0 –
f est positive strict pour x < - b
a et f est négative strict pour x > - b a ; f est nulle pour x = - b a
Preuve :
•Supposons : a > 0 , les inéquations suivantes sont équivalentes :
f(x) >0 ⇔ ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x > -b
a donc f est positive strict pour x > -b a
f(x) <0 ⇔ ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x < -b
a donc f est négative strict pour x < -b a
•Supposons : a < 0 , les inéquations suivantes sont équivalentes : ( on va diviser par a < 0 ! )
f(x) >0 ⇔ ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x < -b
a donc f est positive strict pour x < -b
a
f(x) <0 ⇔ ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x > -b
a donc f est négative strict pour x > -b a
- b
a
- b
a
+
–
+
–