1 Théorie des probabilités

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 3 (PFL) 1
GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil
Chapitre 3
Théorie des probabilités
par
Pierre F. Lemieux, ing., professeur
Département de génie civil
Université de Sherbrooke
Tél. : [phone] (poste 2938)
Télécopieur : [phone]
Courriel : Pierre.F.Lem[email protected]
Révision : 25 juin 2003
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génie civil - Chap. 3 (PFL) 2
Table des matières
1. Espace échantillonnal et événement [diapo 3]
2. Notions sur les ensembles [diapo 5]
3. Notions de probabilité [diapo 10]
4. Axiomes de probabilité [diapo 18]
5. Théorèmes de probabilité [diapo 19]
6. Probabilités conditionnelles [diapo 21]
7. Événements indépendants [diapo 23]
8. Règle multiplicative générale [diapo 24]
9. Théorème de Bayes [diapo 25]
10. Exemples d’application [diapo 27]
11. Fréquence de récurrence et risque [diapo 38]

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1. Espace échantillonnal et événement [LRS, p. 1-15] [B, p. 121]
Expérience (experiment) : processus qui fait intervenir le hasard et qui est
(épreuve) susceptible d’aboutir à un ou plusieurs résultats.
Résultat (outcome) : observation d’intérêt, i.e. un choix entre 2 alternatives,
le résultat d’une mesure ou une réponse après une
campagne de mesures.
Espace échantillonnal (sample space) : un ensemble S qui comprend tous
les résultats possibles lors d’une
expérience.
Exemple :
Expérience : lancer un dé ou une pièce de monnaie.
Résultat : constater si c’est pile (P) ou face (F) lors du lancement de la pièce de
monnaie.
Espace échantillonnal : pour le dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et pour la pièce de
monnaie, S = {P, F}. Pour une paire de pièces de
monnaie, S = {(F, F), (F,P), (P, F), (P,P)}.
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Événement : sous-ensemble A de l’espace échantillonnal. Il peut contenir un ou
plusieurs résultats élémentaires de l’expérience. Cette définition
inclut S en entier et S vide.
Exemple :
Dans l’exemple des 2 pièces de monnaie tirées en même temps, A = {(P, P)}
est l’événement qui représente «pile» pour la 1ère pièce et «pile» pour la 2e.
Événements mutuellement exclusifs : événements qui n’ont aucun élément en
commun.
Exemple :
Événement A = {4} apparaît sur la face supérieure d’un dé
Événement B = {6} apparaît sur la face supérieure d’un dé
Événements A et B sont mutuellement exclusifs.

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2. Notions sur les ensembles [B, p. 128]
Ensemble : collection d’objets ou d’éléments.
Sous-ensemble : une partie d’un ensemble.
xS
xS
BA
BA
∈⇒
∉⇒
⊂⇒
⊄⇒
x est un élément de S
x n’est pas un élément de S
ensemble B est inclus dans l’ensemble A
ensemble B n’est pas inclus dans l’ensemble A
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Union : ou
A
BxAxB⇒∈ ∈∪
Intersection : et
A
BxAxB⇒∈ ∈∩
Complément :
'et
AS
x
AxAxS
⊂
∈
⇒∉ ∈
(
)
'''AB A B=∪∩
Note :
[B, p. 128]

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Illustration avec les diagrammes de Venn :
A
B∩
S
A
'A
A
B
AB∪
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Théorèmes sur les ensembles : [B, p. 128]
Commutation de et : ABBA
ABBA
=
=
∪∩ ∪∪
∩∩
(
)
(
)
()()
Association de et : ABC ABC
ABC ABC
=
=
∪∪ ∪∪
∩∩ ∩
∩
∩
∪
(
)
(
)
(
)
()()()
ABC AB AC
ABC AB AC
=
=
∩∪ ∩∪∩
∪∩ ∪∩∪
1ère et 2ième loi de distribution :
(
)
()
'''
'''
A
BAB
A
BAB
=
=
∪∩
∩∪
1èr et 2ième loi de De Morgan :

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()( )
Différence : '
Ensemble vide : =
Espace échantillonnal : et
Ensemble A : '
AB AB
AAA
ASS AS A
AAB AB
−
=
∅∅ ∅=
=
=
=
∩
∩∪
∪∩
∩∪∩
Quelques théorèmes supplémentaires :
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3. Notions de probabilité : [LRS, p. 135-144] [B, p. 124-125]
Définition classique : La probabilité d’un événement E est le rapport entre le
nombre de résultats favorables (nE) à cet événement
et le nombre total de résultats possibles (N), contenus
dans l’espace échantillonnal, tous également vraisem-
blables :
()
E
n
PE N =(Probabilité a priori)
Définition fréquentiste : Une épreuve est répétée N fois. À chaque essai, on
note le résultat. Soit nEle nombre d’apparitions de
l’événement E. Alors
lim ( )
E
N
nPE
N
→∞ =(Probabilité a posteriori)