1 Théorie des probabilités

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GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil
Chapitre 3
Théorie des probabilités
par
Pierre F. Lemieux, ing., professeur
Département de génie civil
Université de Sherbrooke
Tél. : (819) 821-8000 (poste 2938)
Télécopieur : (819) 821-7974
Courriel : [email protected]
Révision : 25 juin 2003
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 3 (PFL)
1
Table des matières
1. Espace échantillonnal et événement
[diapo 3]
2. Notions sur les ensembles
[diapo 5]
3. Notions de probabilité
[diapo 10]
4. Axiomes de probabilité
[diapo 18]
5. Théorèmes de probabilité
[diapo 19]
6. Probabilités conditionnelles
[diapo 21]
7. Événements indépendants
[diapo 23]
8. Règle multiplicative générale
[diapo 24]
9. Théorème de Bayes
[diapo 25]
10. Exemples d’application
[diapo 27]
11. Fréquence de récurrence et risque
[diapo 38]
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 3 (PFL)
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1
1. Espace échantillonnal et événement
[LRS, p. 1-15] [B, p. 121]
Expérience (experiment) : processus qui fait intervenir le hasard et qui est
(épreuve)
susceptible d’aboutir à un ou plusieurs résultats.
Résultat (outcome) : observation d’intérêt, i.e. un choix entre 2 alternatives,
le résultat d’une mesure ou une réponse après une
campagne de mesures.
Espace échantillonnal (sample space) : un ensemble S qui comprend tous
les résultats possibles lors d’une
expérience.
Exemple :
Expérience : lancer un dé ou une pièce de monnaie.
Résultat : constater si c’est pile (P) ou face (F) lors du lancement de la pièce de
monnaie.
Espace échantillonnal : pour le dé, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et pour la pièce de
monnaie, S = {P, F}. Pour une paire de pièces de
monnaie, S = {(F, F), (F,P), (P, F), (P,P)}.
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Événement : sous-ensemble A de l’espace échantillonnal. Il peut contenir un ou
plusieurs résultats élémentaires de l’expérience. Cette définition
inclut S en entier et S vide.
Exemple :
Dans l’exemple des 2 pièces de monnaie tirées en même temps, A = {(P, P)}
est l’événement qui représente «pile» pour la 1ère pièce et «pile» pour la 2e.
Événements mutuellement exclusifs : événements qui n’ont aucun élément en
commun.
Exemple :
Événement A = {4} apparaît sur la face supérieure d’un dé
Événement B = {6} apparaît sur la face supérieure d’un dé
Événements A et B sont mutuellement exclusifs.
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2. Notions sur les ensembles [B, p. 128]
Ensemble : collection d’objets ou d’éléments.
Sous-ensemble : une partie d’un ensemble.
x∈S
⇒
x est un élément de S
x∉S
⇒
x n’est pas un élément de S
B⊂ A ⇒
ensemble B est inclus dans l’ensemble A
B⊄ A ⇒
ensemble B n’est pas inclus dans l’ensemble A
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[B, p. 128]
Union :
A∪ B ⇒
Intersection :
A∩ B ⇒
x ∈ A et x ∈ B
A⊂ S
x ∈ A' ⇒
x ∉ A et x ∈ S
Complément :
Note :
x ∈ A ou x ∈ B
( A ∪ B)' = A'∩ B '
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Illustration avec les diagrammes de Venn :
A
A∪ B
A∩ B
B
A'
A
S
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Théorèmes sur les ensembles :
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[B, p. 128]
Commutation de ∪ et ∩ : A ∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
Association de ∪ et ∩ :
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
1ère et 2ième loi de distribution :
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
1èr et 2ième loi de De Morgan :
( A ∪ B)' = A' ∩ B '
( A ∩ B)' = A' ∪ B '
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Quelques théorèmes supplémentaires :
Différence : A − B = A ∩ B '
Ensemble vide : A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅ = A
Espace échantillonnal : A ∪ S = S et A ∩ S = A
Ensemble A : A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ')
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3. Notions de probabilité :
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[LRS, p. 135-144] [B, p. 124-125]
Définition classique : La probabilité d’un événement E est le rapport entre le
nombre de résultats favorables (nE) à cet événement
et le nombre total de résultats possibles (N), contenus
dans l’espace échantillonnal, tous également vraisemblables :
P(E) =
nE
N
(Probabilité a priori)
Définition fréquentiste : Une épreuve est répétée N fois. À chaque essai, on
note le résultat. Soit nE le nombre d’apparitions de
l’événement E. Alors
nE
= P ( E ) (Probabilité a posteriori)
N →∞ N
lim
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Analyse combinatoire :
[B, p. 142-147]
(a) Principe de multiplication : Si un événement A1 peut se produire de n1 fois différentes
et si, suivant cet événement, un second événement A2
peut se produire de n2 façons différentes et ainsi de suite
jusqu’au k-ième événement Ak qui peut se produire de nk
façons différentes, alors le nombre de façons dont les
événements peuvent se produire dans l’ordre mentionné
est :
n1 n2
nk
Exemple :
Soit N = 20 personnes. Combien d’échantillons contenant 5 personnes peut-on
tirer si l’échantillonnage s’effectue sans remise (chaque personne choisie n’est
pas retournée dans la population avant le choix d’une autre personne ?
Solution :
n1 = 20
n2 = 19
n3 = 18
n4 = 17
n5 = 16
Nombre d'échantillons = 20 × 19 × 18 × 17 × 16 = 1860480
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(b) Arrangements : On appelle arrangements de n objets pris k à k, les différents
groupes que l’on peut former en plaçant k de ces objets à la
suite les uns des autres, ces groupes différant soit par l’ordre,
soit par la nature des objets qui y figurent.
Ank = n ( n − 1)( n − 2 )
Ank =
( n − k + 1)
n!
k!
Exemple :
Il y a 10 places dans une minivan. De combien de façons différentes
6 personnes peuvent-elles s'y placer ?
Solution :
6
A10
= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151200
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(c) Permutations : Les groupes obtenus en disposant n objets pris n à n, les groupes
ne différant que par l’ordre des objets.
Nombre de permutations :
Pn = Ann = n × ( n − 1) ×
× ( n − n + 1) = n !
Exemple :
Soit un peloton de 6 coureurs de fond. Combien y a-t-il de classements
possibles de ce peloton dans un marathon ?
Solution :
Pn = 6! = 720
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(d) Combinaisons : On appelle combinaisons de n objets distincts pris k à k tous les
groupes que l’on peut obtenir en prenant k de ces objets, les
groupes différant au moins par la nature des objets qui y figurent.
Cnk
Ank n ( n − 1) ( n − k + 1)
n!
=
=
=
Pk
k!
k ! ( n − k )!
Exemple :
Combien de jeux différents de 13 cartes peut-on tirer de 52 cartes ?
Solution :
13
C52
=
52!
≈ 6, 35 × 1011
13! ( 52 − 13 ) !
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Remarques :
(a) Combinaisons :
Cnk = C nn− k
Cnk = C nk−1 + C nk−−11
(Référence au triangle de Pascal)
(b) Permutations circulaires : les groupes où l’ordre cyclique est conservé ne sont
pas différents.
Pcir = Pn−1
Exemples :
123 231 312 sont des permutations cycliques de 1 2 3.
10 personnes qui s’assoient autour d’une table et que tous les convives
se déplacent de 2 chaises vers la gauche.
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Exemples de calcul de probabilité :
Exemple 1 : la Loto 6/49
Quelle est la probabilité de gagner un tirage à la Loto 6/49 avec l’achat
d’un seul choix ?
Solution :
Dans une série de 6 numéros, il n’y a aucune répétition. De plus, l’ordre
n’importe pas. Il s’agit donc de combinaisons. Le nombre total de
combinaisons est donné par
6
C49
=
49!
= 13 983 816
6! ( 49 − 6 ) !
Il y a donc 1 chance sur 13 983 816 que le billet soit gagnant.
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Exemple 2 :
Considérons un ensemble de 30 poutrelles parmi lesquelles 5 sont défectueuses.
4 sont sélectionnées aléatoirement pour un essai sur chacune. Quelle est la
probabilité que 2 poutrelles défectueuses soient incluses parmi les 4 sélectionnées ?
Solution :
Le nombre n de possibilités de choisir 4 poutrelles :
4
n = C30
=
30!
= 27 405
4! 26!
Le nombre de succès s s’obtient par la règle multiplicative :
* 2 poutrelles défectueuses sont choisies parmi les 5;
* simultanément 2 non-défectueuses sont choisies parmi les 25 autres;
2
s = C52C25
=
5!
25!
×
= 3000 ⇒
2! 3! 2! 23!
P=
s
3000
=
= 0,109
n 27 405
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4. Axiomes de probabilité
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[B, p. 125]
P(A) : probabilité d’un événement A dans un espace échantillonnal fini S.
Axiome 1 :
0 ≤ P ( A) ≤ 1
Axiome 2 :
P(S) = 1
Axiome 3 :
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
i.e. S est un événement certain)
si A et B sont des événements ME dans S.
mutuellement
exclusifs
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5. Théorèmes de probabilité
(1)
[LRS, p. 139 et sq] [B, p.129]
Si A ⊂ B, alors P ( A ) ≤ P ( B ) et
P ( B − A) = P ( B ) − P ( A)
(2)
P (∅ ) = 0
(3)
P ( A ') = 1 − P ( A)
(probabilité de l’événement impossible)
(4) Si A1, A2, …, Ak sont des événements (mutuellement exclusifs) ME, alors
P ( A1 ∪ A2 ∪
∪ Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) +
+ P ( Ak )
(5) Pour 2 événements A et B quelconques,
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
ou
P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A '∩ B ')
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Théorèmes de probabilité (suite)
(6) Supposons A comprenant n résultats Ei (ME). Alors
A⊂ S
⇒
n
P ( A ) = ∑ P ( Ei )
i =1
(7) Pour 2 événements quelconques A et B,
P ( A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ')
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6. Probabilités conditionnelles
[LRS, p. 141] [B, p. 131]
Évaluer la probabilité d’un événement B non pas par rapport à l’espace
échantillonnal S, mais par rapport à un autre événement A de S, qui s’est
déjà réalisé. La réalisation de B est conditionnée par la réalisation de
l’événement A. Il s’agit d’un événement lié (B lié par A ou B|A). Dès lors,
P ( B A) =
P ( A ∩ B)
,
P ( A)
P ( A) > 0
Illustration explicative :
Étude sur les autos neuves fabriquées aux USA et ailleurs en ce qui concerne
les besoins de réparations dans les 90 premiers jours.
Besoin de réparations dans les 90 premiers jours
Provenance
Oui
Non
Total
USA
7
293
300
Non USA
13
187
200
Totaux
20
480
500
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Espace échantillonnal : S = NTOT = 500
Nombre d’autos USA : NUSA = 300
Nombre d’autos réparées USA : NRUSA = 7
Événement A : NUSA
Événement B : NRUSA
Probabilité d’une auto fabriquée aux USA :
P ( A) =
300
= 0, 6
500
Probabilité d’une auto réparée USA :
P ( B) =
7
= 0, 014
500
Probabilité d’une auto réparée parmi celles fabriquées aux USA :
P ( B ∩ A)
7 / 500 )
(
7
P ( B | A) =
=
= 0, 0233
300 ( 300 / 500 )
A
P A
B∩ A
( )
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7. Événements indépendants
[LRS, p.142] [B, p. 134]
2 événements sont indépendants si l’occurrence d’un événement
n’affecte en aucune façon la probabilité du second événement. Donc
les événements A et B sont indépendants si
P ( A ) = P ( A | B ) et
⇒
P ( B ) = P ( B | A)
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )
Probabilités composées
Exemple :
Quelle est la probabilité de tirer le même dé 2 fois et obtenir un 5 les 2
fois ?
Solution :
Si le dé n’est pas pipé, alors les 2 événements sont indépendants. Dès lors,
Événements indépendants mais pas incompatibles
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B ) =
1 1 1
× =
6 6 36
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8. Règle multiplicative générale
Théorème. Règle multiplicative générale
Si A et B sont 2 événements quelconques dans S, alors
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B | A)
ou
P ( A ∩ B) = P ( B) × P ( A | B)
Théorème. Règle multiplicative spéciale
Si A et B sont 2 événements indépendants quelconques dans S, alors
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )
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9. Théorème de Bayes
[B, p. 136-138]
Théorème de la probabilité totale. Considérons B1, B2, …, Bk k événements
mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs, i.e.
∀i ≠ j ,
Bi ∩ B j = ∅
(mutuellement exclusifs)
∪ Bk = S
B1 ∪ B2 ∪
(collectivement exhaustifs)
k
Alors
P ( A ) = ∑ P ( Bi ) P ( A | Bi )
i =1
B1
…
B2
Bk
A
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Théorème de Bayes. Considérons B1, B2, …, Bk k événements mutuellement
exclusifs et collectivement exhaustifs. Alors
P ( Bi | A ) =
P ( Bi ) P ( A | Bi )
k
∑ P ( Bj ) P ( A | Bj )
∀i
j =1
La probabilité que l’événement Bi soit la cause,
étant donné que l’effet A soit survenu.
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10. Exemples d’application :
Exemple 1
Un système possède 2 composants essentiels A et B (un moteur et un système
de soufflantes). La probabilité de défaillance pour A est de 0,7 et pour B de 0,8.
Quelle est la probabilité que :
(1) le système fonctionne correctement;
(2) les 2 composants fassent défaut;
(3) un des 2 composants fasse défaut ?
Solution :
Événement A : défaillance du composant A ⇒ P(A) = 0,7
Événement B : défaillance du composant B ⇒ P(B) = 0,8
Probabilité que A fonctionne correctement :
P ( A ') = 1 − 0, 7 = 0, 3
Probabilité que B fonctionne correctement :
P ( B ') = 1 − 0, 8 = 0, 2
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Solution (suite) :
(1) Le système fonctionne correctement :
P ( A '∩ B ') = P ( A ') × P ( B ') = 0, 3 × 0, 2 = 0, 06
(2) Les 2 composants font défaut :
P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) = 0, 8 × 0, 7 = 0, 56
(3) Un des 2 composants fait défaut :
P  ( A ∩ B ') ∪ ( A '∩ B )  = P ( A ) × P ( B ') + P ( A ') × P ( B )
= 0, 7 × 0, 2 + 0, 3 × 0, 8 = 0, 38
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Exemple 2
Pour chaque 100 pompes produites par un manufacturier,
NS = 100
pompes
ND = 3
pompes défectueuses
NI = 6
pompes mal assemblées
NDI = 2
pompes défectueuses et mal assemblées
D
DI
3
1
2
I
S
6
4
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Complément de
Pompes correctes :
N ( I ∪ D ) ' = 100 − ( 3 + 6 − 2 ) = 93
Hypothèse : chaque pompe a une chance égale d’être sélectionnée.
P (I) =
6
= 0, 06
100
P ( I | D) =
I∩D
P ( DI ) 2 2 / 100
= =
= 0, 67
P ( D ) 3 3 / 100
Probabilité de pompes mal assemblées qui soient défectueuses
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Exemple 3 :
Considérons un tronçon de 100 km d’autoroute.
Hypothèse : les accidents ont une chance égale de se produire sur ce tronçon
(conditions de route et du trafic uniformes partout) .
A : l’accident se produit dans le tronçon 0 à 30 km.
B : l’accident se produit dans le tronçon 20 à 60 km.
0
20
30
60
100
A
B
A∩B
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Hypothèse : probabilité d’un accident proportionnelle à la longueur d’un tronçon.
Dès lors,
P ( A ) = 30 / 100 = 0, 30
P ( B ) = 40 / 100 = 0, 40
P ( A ∩ B ) = 10 / 100 = 0,10
P ( A | B) =
P ( A ∩ B ) 0,10
=
= 0, 25
P ( B)
0, 40
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Exemple 4
Le sol sous les empattements (footings) d’un édifice peut se tasser sous l’effet de
la contrainte concentrée qu’elles lui transmettent.
Cadre
Mur
Sol
Empattement A
Empattement B
Définition des événements :
A : l’événement que l'empattement A produise un tassement
B : l’événement que l'empattement B produise un tassement
C : l’événement que des fissures apparaissent dans le mur
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Probabilités connues pour l’apparition de fissures après la construction :
A : l’événement que l'empattement A produise un tassement
B : l’événement que l'empattement B produise un tassement
C : l’événement que des fissures apparaissent dans le mur
P ( C | A ∩ B ) = 0, 3
P ( C | A ∩ B ') = 0, 9
(Prob. de fissures si les 2 semelles causent un tassement)
(Prob. si l'empattement A seul occasionne un tassement)
P ( C | A '∩ B ) = 0, 9
(Prob. si l'empattement B seule occasionne un tassement)
P ( C | A '∩ B ') = 0,1
(Prob. de fissures si aucun des empattements n’en occasionnent)
P ( A | B ) = 0, 7
(Prob. d’un tassement de l'empattement A si B en cause un)
P ( B | A ) = 0, 7
P ( B ) = 0,1
(Prob. d’un tassement de l'empattement B si A en cause un)
(Prob. que l'empattement B cause un tassement)
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(a) Déterminer la probabilité qu’il y ait tassement d’un empattement :
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Or
Donc
P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) = 0, 7 × 0,1 = 0, 07
P ( A) =
⇒
P ( A ∩ B ) 0, 07
=
= 0,10
0, 7
P ( B | A)
P ( A ∪ B ) = 0,1 + 0,1 − 0, 07 = 0,13
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(b) Probabilité de tassement différentiel :
Tassement différentiel : lorsque les empattements n’occasionnent pas toutes le
même tassement dans le sol (ici une des empattements
produit un tassement et l'autre pas).
A'∩ B '
A' ∩ B
A∩ B'
Pas de tassement
A∩ B
Tassement des
2 semelles
Tassement différentiel
2 événements mutuellement exclusifs
Or
P  ( A ∩ B ') ∪ ( A '∩ B )  = P ( A ∩ B ') + P ( A '∩ B )
P ( A ∩ B ') = P ( B '| A ) P ( A ) = 1 − P ( B | A ) P ( A )
= (1 − 0, 7 ) 0,1 = 0, 03
Et
P ( A ' ∩ B ) = 0, 03
(par un raisonnement similaire)
GCI 102. Méthodes probabilistes en
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(c) Probabilité de fissures dans le mur :
Par le théorème de probabilité totale,
P ( C ) = P ( C | A ∩ B ) P ( A ∩ B ) + P ( C | A ∩ B ' ) P ( A ∩ B ')
+ P ( C | A ' ∩ B ) P ( A ' ∩ B ) + P ( C | A ' ∩ B ') P ( A ' ∩ B ')
Or
P ( A '∩ B ') = 1 −  P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ') + P ( A ' ∩ B ) 
= 1 − ( 0, 07 + 0, 03 + 0, 03 ) = 0, 87
Donc
P ( C ) = ( 0, 3 × 0, 07 ) + ( 0, 9 × 0, 03 ) + ( 0, 9 × 0, 03 ) + ( 0,1 × 0, 87 ) = 0,162
(d) Probabilité d’aucun tassement si des fissures sont observées :
P ( A'∩ B ' | C ) =
P ( A ' ∩ B ') P ( C | A ' ∩ B ') 0, 87 × 0,1
=
= 0, 537
P (C )
0,162
Théorème de Bayes
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10. Fréquence de récurrence et risque
Le concept d’intervalle ou fréquence de récurrence revient fréquemment
en génie civil. En hydrologie par exemple, on utilise la notion d’averse qui
revient une fois par 100 ans. Il s’agit d’une façon de décrire l’importance
d’un événement avec l’idée que c’est une probabilité de dépassement.
Exemple :
Un ponceau routier peut être conçu pour pouvoir évacuer une crue dont
le débit Qmax correspond à une précipitation dont la fréquence de récurrence
est de T = 100 ans. C’est l’importance d’un ouvrage qui dicte la fréquence
d’occurrence. La période de récurrence est un intervalle moyen de temps.
Définition :
Soit A : événement dans lequel le débit Q est égalé ou dépassé. Dès lors,
T=
1
1
=
P ( A ) 1 − P ( A ')
Période de récurrence
Probabilité que Q soit égalé ou dépassé
(Preuve dans le chapitre de l'analyse fréquentielle)
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 3 (PFL)
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Obtention de certaines probabilités :
(a) Probabilité que l’événement A se produise une année quelconque :
P ( A) =
1
T
(b) Probabilité que A ne se produise pas une année quelconque :
P ( A ') = 1 − P ( A ) = 1 −
1
T
(c) Probabilité que A ne se produise pas pendant n années :
P ( A ') ×
× P ( A ') = P ( A ')
n
1

= 1 − 
 T
n
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génie civil - Chap. 3 (PFL)
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Risque :
C’est la probabilité que A se produise au moins une fois pendant n années.
Le calcul se fait en prenant le complément du fait que A ne se produise pas
pendant n années.
1

R = 1 −  P ( A ') = 1 −  1 − 
 T
n
n
Exemple :
Un débit Q a une fréquence de récurrence de T = 50 ans. Quelle est la probabilité
qu’un débit égal ou supérieur se produise pendant la période de 2 ans que durera
la construction du projet ?
Solution :
2
1 

R = 1 −  1 −  = 0, 0396 ou 3, 96 %
50 

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