1 Échantillonnage et estimation de paramètres

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 1
GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil
Chapitre 7
Échantillonnage et estimation de paramètres
par
Pierre F. Lemieux, ing., professeur
Département de génie civil
Université de Sherbrooke
Tél. : [phone] (poste 2938)
Télécopieur : [phone]
Courriel : Pierre.F.Lem[email protected]
Révision : 25 juin 2003
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 2
Table des matières
1. Introduction [Diapo 3]
2. Théorème de la limite centrale [Diapo 12]
3. Propriétés de la distribution d’échantillonnage [Diapo 13]
4. Estimation de paramètres [Diapo 18]
5. Estimation de paramètres par [Diapo 22]
intervalle de confiance (n ≥30)
6. Taille d’échantillons requise [Diapo 25]
7. Estimation de paramètres par [Diapo 27]
intervalle de confiance avec variance σ2
inconnue (n < 30)
8. Distribution échantillonnale d’une proportion [Diapo 33]
[LRS, chap. 8] [B, chap. 7]

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 3
1. Introduction [LRS, p. 216] [B, p. 282]
Étude statistique sur tous les éléments d’une population :
onéreux et souvent irréalisable.
Exemple :
Prélever un cylindre de béton pour chaque m3de béton coulé dans un
ouvrage de grande taille afin de le tester pour sa résistance.
Sondage pré-électoral de tous les électeurs.
Échantillonnage : prélever un ensemble représentatif de la population pour estimer
un paramètre statistique de la population.
Échantillon aléatoire :
Soit N le nombre d’éléments dans une population (nombre fini ou infini).
Soit n le nombre d’éléments dans l’échantillon à prélever dans cette population.
Prélever un échantillon aléatoire consiste à choisir de façon purement aléatoire
chacun des éléments qui composera l’échantillon.
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 4
Exemple illustratif : [B, p. 289]
Supposons un sondage effectué dans 5 grandes compagnies pour déterminer
l’âge d’informatisation (à partir du 1er achat d’équipement informatique).
10E
9,5D
9C
8,5B
8A
Âge d’informatisation
(en années)
Entreprises
Dès lors, avec X = âge d’informatisation
x1= 8 , x2= 8,5 , x3= 9 , x4= 9,5 et x5= 10
()
2
2
45 9ans
5
2,5 0,5
5
i
X
i
X
x
N
xN
µ
µ
σ
===
−
===
∑
∑

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 5
Échantillonnage de la population avec remise (tirage indépendant) :
Hypothèse : former tous les échantillons possibles de taille n = 2 avec remise.
Nombre de cas possibles : Nn= 52= 25
Énumération des
25 échantillons
Échantillon Entreprises Résultats de
l'échantillonnage Moyenne des échantillons
1 (A, A) (8, 8) 8.00
2 (A, B) (8, 8.5) 8.25
3 (A, C) (8, 9) 8.50
4 (A, D) (8, 9.5) 8.75
5 (A, E) (8, 10) 9.00
6 (B, A) (8.5, 8) 8.25
7 (B, B) (8.5, 8.5) 8.50
8 (B, C) (8.5, 9) 8.,75
9 (B, D) (8.5, 9.5) 9.00
10 (B, E) (8.5, 10) 9.25
11 (C, A) (9, 8) 8.50
12 (C, B) (9, 8.5) 8.75
13 (C, C) (9, 9) 9.00
14 (C, D) (9, 9.5) 9.25
15 (C, E) (9, 10) 9.50
16 (D, A) (9.5, 8) 8.75
17 (D, B) (9.5, 8.5) 9.00
18 (D, C) (9.5, 9) 9.25
19 (D, D) (9.5, 9.5) 9.50
20 (D, E) (9.5, 10) 9.75
21 (E, A) (10, 8) 9.00
22 (E, B) (10, 8.5) 9.25
23 (E, C) (10, 9) 9.50
24 (E, D) (10, 9.5) 9.75
25 (E, E) (10, 10) 10.00
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 6
Distribution des fréquences et représentation graphique : [B, p. 290]
Distribution d'échantillonnage de la moyenne (n = 2)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
8.00 8.25 8.50 8.75 9.00 9.25 9.50 9.75 10.00
Âge, en années
Fréquence relative
Moyennes Fréquence
n
i
Fréquence
relative f
i
8.00 1 0.04
8.25 2 0.08
8.50 3 0.12
8.75 4 0.16
9.00 5 0.20
9.25 4 0.16
9.50 3 0.12
9.75 2 0.08
10.00 1 0.04

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 7
()
9
19années
ii
i
EX fx
=
==
∑
Moyenne de la distribution de l’échantillonnage :
(
)
X
EX
µ
=
(
)
()
()
2
2
2
2
iX
iX
iiiX
Écart x
Écart x
fÉcart f x
µ
µ
µ
=−
=−
=−
()
92
2
1
0,5
0,25 2
ii
Xifx
σµ
=
=−==
∑2
X
n
σ
Moyennes Écart Écart
2
f
i
Écart
2
8.00
-1.00 1.00 0.040
8.25
-0.75 0.56 0.045
8.50
-0.50 0.25 0.030
8.75
-0.25 0.06 0.010
9.00
0.00 0.00 0.000
9.25
0.25 0.06 0.010
9.50
0.50 0.25 0.030
9.75
0.75 0.56 0.045
10.00
1.00 1.00 0.040
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Échantillonnage avec une taille de n = 3 : [B, p. 290]
Taille de l’échantillon : n = 3
Nombre d’échantillons possible : 53= 125
2
2
9années
0,5
33
X
X
X
µ
σ
σ
=
==
La répartition des moyennes échantillonnales se rapprochent de plus en plus
d’une distribution normale.
2
X
n
σ

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 9
Distribution d'échantillonnage de la moyenne (n = 3)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
8 8.167 8.333 8.5 8.667 8.833 9 9.167 9.333 9.5 9.667 9.833 10
Âge, en années
Fréquence
Moyenne Fréquence Fréq. rel.
8.000 1 0.008
8.167 3 0.024
8.333 6 0.048
8.500 10 0.080
8.667 15 0.120
8.833 18 0.144
9.000 19 0.152
9.167 18 0.144
9.333 15 0.120
9.500 10 0.080
9.667 6 0.048
9.833 3 0.024
10.000 1 0.008
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 7 (PFL) 10
Remarques : [LRS, p. 216]
1. La moyenne des moyennes échantillonnales est celle de la population quelle
que soit la taille de l’échantillon.
2. Les moyennes des échantillons sont moins dispersées que les valeurs
individuelles xipar rapport à la moyenne de la population.
i
x
Soit un échantillon aléatoire de taille n prélevé d’une population infinie ou d’une
population finie échantillonnée avec remise. Si cette population possède une
variable aléatoire X qui suit une loi de probabilité de moyenne E(X) = µet de
variance σ2, alors la moyenne de l’échantillon suit une loi de probabilité ayant
les caractéristiques suivantes :
(
)
(
)
2
2
XX
EX EX
ou
nn
µ
σ
σ
σσ
==
==
Erreur-type de la moyenne
Moyenne des
moyennes des
échantillons
Moyenne de la population