Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2 Exercice 1. On

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 2
Exercice 1. On jette trois dés non pipés.
1. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un 1.
2. Que vaut la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre.
3. Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire.
4. Montrer que les deux évènements considérés aux questions 2 et 3 sont indépendants.
Exercice 2. On considère les deux situations suivantes :
1. Mon voisin a deux enfants dont au moins une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon. ?
2. Un autre voisin a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité que l’ainé soit un garçon ?
Exercice 3. On jette deux dés non pipés, l’un est blanc l’autre est noir. Soit Al’évènement “le chiffre du dé noir est pair”, B
l’évènement “le chiffre du dé blanc est impair” et Cl’évènement “les deux chiffres ont la même parité”.
Montrer que Aet C,Aet B,Bet Csont indépendants mais que les trois évènements A,B,Cne le sont pas.
Exercice 4 (Problème des rencontres).On considère nboules numérotées de 1 à nque l’on met dans nboîtes numérotées
elles aussi de 1 à n.
1. Donner un modèle probabiliste associé au problème.
2. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence entre le numéro de la boîte et le numéro de la boule ?
Quelle est sa limite lorsque n→∞?
3. Quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait aucune coïncidence ?
Exercice 5 (Le paradoxe du chevalier de Méré).Le chevalier de Méré est un personnage marquant de la cour de Louis XIV
qui avait “très bon esprit, mais n’étais pas très bon géomètre” (cf lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654). Ce personnage
était toujours à la recherche de règles cachées lui permettant d’avoir un aventage sur ses adversaires. Voici deux de ses règles.
1. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un 6 en lançant un dé 4 fois de suite.
2. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un double six en lançant deux dés 24 fois de suite.
Qu’en pensez vous ? Quelle faute de raisonnement a pu faire le chevalier, quel est le paradoxe ?
Exercice 6 (Le problème des trois portes).Vous êtes à un jeu télévisé et le présentateur vous montre trois portes A, B et C.
Derrière une de ces portes il y a un cadeau. Derrière les autres portes il n’y a rien. Vous choisissez la porte A, le présentateur
ouvre la porte B derrière laquelle il n’y a rien. Le présentateur vous propose alors de changer votre porte. Que faîtes vous ?
On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec.
Exercice 7. On considère un de nos étudiants du cours de probabilité. Quand on téléphone chez lui, entre 18h et 19h, on a
neuf chances sur dix de tomber sur son répondeur. Lorsqu’il est présent chez lui, il utilise son répondeur deux fois sur trois,
précisément lorsqu’il travaille ses cours et ne souhaite pas être dérangé. Quand il est absent, il utilise toujours son répondeur.
On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec.
1. Calculer la probabilité pour qu’il soit là chez lui entre 18h et 19h.
2. On tombe sur le répondeur, calculer la probabilité pour qu’il soit présent en train de travailler.
Exercice 8. Montrer que si l’on tape de manière aléatoire une infinité de fois sur une machine à écrire avec probabilité 1,
votre roman préféré sera tapé une infinité de fois.
Exercice 9 (Modèles statistiques. Boules et urnes).On considère le problème de la répartition de rboules dans nurnes et
l’on suppose les répartitions équiprobables. Cependant on obtient diverses situations suivant que l’on considère les boules et
les urnes discernables ou indiscernables. Tous les modèles ci-dessous sont utilisés en mécanique statistique.
1. Boules et urnes sont indiscernables (modèles de Maxwell-Boltzmann).
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
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(b) Calculer la probabilité de l’évènement Ai: “la i-ème urne est vide”.
(c) Calculer la probabilité de l’évènement B“chaque boule contient au plus une boule”.
(d) Calculer la probabilité de l’évènement Cik : “la i-ème urne contient exactement kboules”.
(e) Calculer la probabilité de l’évènement A“parmi murnes fixées à l’avance, aucune n’est vide”
(f) On considère des entiers (k1, ..., kn)avec k1+... +kn=r.
Calculer la probabilité d’avoir k1boules dans l’urne 1, ... , knboules dans l’urne n.
2. Boules indiscernables et urnes discernables (modèle de Bose-Einstein)
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
(b) Calculer la probabilité de l’évènement Ak: “une urne fixée contient exactement kboules”.
3. Boules indiscernables, urnes discernables et impossibilité d’avoir deux ou plus de deux boules dans une même urne
(modèle Fermi-Dirac)
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
(b) Calculer la probabilité de l’évènement A1: “une urne fixée contient exactement 1 boule”.
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