L`anneau des polynômes K[X] - MPSI

Chapitre 9
L’anneau des polynômes K[X]
En début d’année, nous avons travaillé sur les fonctions usuelles parmi lesquelles on pouvait distinguer les fonctions polynômes. Nous en rappelons ici quelques propriétés importantes et essentielles en analyse, notamment en ce qui concerne les formules de Taylor.
Dans un deuxième temps, nous verrons alors comment les propriétés arithmétiques vues
précédemment peuvent être adaptées à l’anneau des polynômes.
1 Fonctions polynômes et approximation polynomiale
1.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Règle de dérivation et opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Approximation locale par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3
2 L’anneau des polynômes K[X]
2.1 Définition formelle d’un polynôme à une
2.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . .
2.3 Diviseurs communs de deux polynômes .
2.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . .
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4
4
4
5
6
3 Racines d’un polynôme
3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Racines multiples et caractérisation à l’aide des polynômes dérivés . . . . . .
3.3 Factorisation en produit de polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
4 Application : décomposition en éléments simples dans K(X)
4.1 Méthode pratique de décomposition dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Méthode pratique de décomposition dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
10
indéterminée
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Typage dynamique et manipulation des données structurées
Liste non exhaustive des capacités attendues
Connaitre la définition d’une fonction polynôme et savoir les manipuler : opérations algébriques, dérivation... · Déterminer le degré d’un polynôme · Connaitre
les formules de Taylor · Comprendre ce que représente formellement un polynôme · Connaitre les propriétés de l’anneau des polynômes · Utiliser le théorème de la
division euclidienne dans K[X] · Déterminer le pgcd de deux polynômes · Résoudre des problèmes arithmétiques dans K[X] · Comprendre ce que représente une fonction
polynôme · Déterminer et caractériser les racines multiples d’un polynôme · Factoriser un polynôme en produit de polynômes irréductibles dans K[X] · Identifier un
polynôme à partir de l’ensemble de ses racines
(...)
Chapitre 9
L’anneau des polynômes K[X]
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
1
Fonctions polynômes et approximation polynomiale
Dans tout ce chapitre, K représente le corps R ou C.
1.1
Premières définitions et propriétés
Définition On appelle fonction polynôme toute fonction p définie sur R à valeurs K telle que :
∀ x ∈ R, p(x) =
n
X
ak xk , où pour tout k ∈ J0, nK, ak ∈ K
k=0
En particulier,
• si tous les coefficients sont nuls, on dit que p désigne le polynôme nul;
• sinon, en notant encore an le coefficient non nul d’indice le plus élevé, on dit que la fonction p est de degré n et a pour
coefficient dominant an .
Remarque Dans le cas particulier où an = 1, on dit que le polynôme est unitaire et on conviendra que le polynôme nul a pour
degré −∞ de sorte que :
deg(p) ∈ N ∪ {−∞}
Propriété 1 (unicité de l’écriture polynomiale).
Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les coefficients associés sont égaux.
I A chaque fois, on raisonne par double implication. On procèdera par l’absurde pour la première assertion ; la seconde assertion
découlera immédiatement de la précédente même s’il faudra discuter les cas.
Pn
Pm
k
k
Définition Soient p(x) =
k=0 ak x et q(x) =
k=0 bk x deux fonctions polynômes à coefficients dans K. Les règles de calcul
dans K nous permettent alors de définir :
• la somme des fonctions polynômes p et q par :
∀ x ∈ R, p(x) + q(x) =
n
X
ak xk +
k=0
m
X
max(n,m)
bk xk =
k=0
X
(
(ak + bk )xk , avec
k=0
ak = 0 si k ≥ n
bk = 0 si k ≥ m
• le produit des fonctions polynômes p et q par :
∀ x ∈ R, p(x) × q(x) =
n
X
ak xk ×
k=0
m
X
b k xk =
k=0
où les coefficients (ck ) vérifient pour tout k ∈ J0, n + mK, ck =
n+m
X
(
ck xk , avec
k=0
X
ak = 0 si k ≥ n
bk = 0 si k ≥ m
ai bj = a0 bk +a1 bk−1 +. . .+ak b0 =
(i,j)∈J1,nK×J1,mK, i+j=k
k
X
ai bk−i
i=0
Corollaire 2 (degré de la somme et du produit).
Soient p, q deux fonctions polynômes à coefficients dans K. Alors, on a immédiatement :
(i) deg(p) 6= deg(q) ⇒ deg(p + q) = max(deg(p), deg(q))
(ii) deg(p) = deg(q) ⇒ deg(p + q) ≤ max(deg(p), deg(q))
(iii) deg(pq) = deg(p) + deg(q)
Ces propriétés sur le degré sont très pratiques, car elles nous permettront entre autres d’obtenir des informations sur un polynôme cherché.
C’est bien entendu le cas quand on raisonne par analyse-synthèse.
Exemple 1 Déterminer les fonctions polynômes p vérifiant l’égalité p(x2 ) = (x2 + 1)p(x).
1.2
Règle de dérivation et opérations algébriques
Propriété 3 (règle de dérivation).
Pn
ak xk une fonction polynôme à coefficients dans K. Alors, p est de classe C ∞ sur R avec :
P
Pn
k!
k−i =
k−i ,
• pour tout i ∈ J0, nK, p(i) (x) = n
k=i ak k(k − 1) . . . (k − i + 1)x
k=i ak (k−i)! x
Soit p(x) =
k=0
• pour tout i > n, p(i) (x) = 0.
I On applique simplement les règles de dérivation sur les fonctions usuelles : linéarité et dérivabilité des fonctions puissances.
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Remarque Par convention, on a encore p(0) = p et avec les notations de la définition, on pourra observer que la i-ième dérivée p(i)
est encore une fonction polynôme de degré n − i de sorte que : p(n+1) = 0.
Propriété 4 (opérations algébriques).
Soient n ∈ N∗ , p, q deux fonctions polynômes à coefficients dans K. Alors, on a :
(i) pour tous λ, µ ∈ K, (λp + µq)0 = λp0 + µq 0 et plus généralement,
(λp + µq)(n) = λp(n) + µq (n)
(ii) (pq)0 = p0 q + pq 0 et plus généralement,
(pq)(n) =
n
X
(k) (n−k)
(n
q
(formule de Leibniz)
k )p
k=0
I Les premières propriétés découlent simplement des règles de dérivation sur les fonctions usuelles. On pourra alors étendre ces
résultats par simple récurrence sur n ∈ N∗ .
1.3
Approximation locale par un polynôme
Théorème 5 (formule de Taylor avec reste intégral).
Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs réelles. On suppose que f est de classe C n+1 sur I et a ∈ I. Alors,
pour tout x ∈ I :
Z x
(x − a)
(x − a)2
(x − a)n
(x − t)n (n+1)
f (x) = f (a) + f 0 (a)
+ f 00 (a)
+ . . . + f (n) (a)
+
f
(t) dt
1!
2!
n!
n!
a
La fonction polynôme définie par Tn,a (x) =
Pn
k=0
la fonction f en a.
f (k) (a)
(x − a)k
désigne en fait le polynôme de Taylor de degré n associé à
k!
I On procède simplement par récurrence sur n ∈ N dans laquelle on mettra en place une intégration par parties bien choisie...
Corollaire 6 (inégalité de Taylor-Lagrange).
Soient n ∈ N et f : I → R. On suppose que f est de classe C n+1 sur I et a ∈ I. Si de plus pour tout x ∈ I, |f (n+1) (x)| ≤ Mn+1 ,
alors on a l’inégalité :
n
X
(x − a)k
|x − a|n+1
|f (x) −
f (k) (a)
|≤
Mn+1
k!
(n + 1)!
k=0
I Il suffit de majorer le reste intégral, mais on veillera à discuter la place de x par rapport à a.
Corollaire 7 (formule de Taylor-Young).
Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs réelles. On suppose que f est de classe C n sur I et a ∈ I. Alors,
pour tout x ∈ I :
n
X
(x − a)k
f (x) =
f (k) (a)
+ (x − a)n (x), avec (x) −→ 0
x→a
k!
k=0
I On applique la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n − 1 avant d’utiliser la continuité de f (n) .
Remarque De cette dernière formule, on peut en déduire que :
|f (x) − Tn,a (x)| = (x − a)n (x) −→ 0
x→a
et ainsi, les polynômes de Taylor nous donnent une approximation de la fonction f au voisinage de a. On pourra donc retenir que
toute fonction suffisamment régulière peut ainsi être approchée localement par une fonction polynôme, ce qui nous permettra in fine
de mieux cerner le comportement d’une fonction donnée.
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Chapitre 9
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L’anneau des polynômes K[X]
2.1
Définition formelle d’un polynôme à une indéterminée
Définition Plus généralement, on appelle polynôme à coefficients dans un corps K toute suite de coefficients nuls à partir d’un
certain rang :
(a0 , a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, 0 . . .)
Ainsi, en notant X k = (0, . . . , 0, 1, 0 . . .), tout polynôme P peut aussi s’écrire de façon formelle :
P (X) =
+∞
X
ak X k , avec ak = 0 pour k > n
k=0
On parle dans ce cas du polynôme P d’indéterminée X et on désignera par K[X] l’ensemble des polynômes d’indéterminée X à
coefficients dans K.
Remarque Pour tout polynôme donné, on peut évidemment définir une unique fonction polynôme associée. La différence entre
polynôme et fonction polynôme est plutôt subtile et on identifiera ici les deux notions.
Bien entendu, cette seconde définition, c’est à dire les polynômes vus comme une suite de coefficients presque nulle, est plus générale
et elle nous autorisera à manipuler les polynômes dans d’autres circonstances : polynômes d’une variable complexe, polynômes de
matrices, d’endomorphismes...
Propriété 8 (structure algébrique).
En notant encore + et × la somme et le produit de deux polynômes, alors (K[X], +, ×) est un anneau commutatif .
I On revient à la définition d’un anneau et on vérifie chacune des propriétés associées pour les lois données.
Propriété 9 (intégrité de l’anneau des polynômes).
(K[X], +, ×) est un anneau intègre, c’est à dire :
∀ P, Q ∈ K[X], P Q = 0 ⇔ P = 0 ou Q = 0
I Partant d’un produit nul, on passe au degré avant de conclure.
Propriété 10 (éléments inversibles).
Les éléments inversibles de (K[X], +, ×) sont les polynômes constants non nuls, c’est à dire :
U (K[X]) = K∗
I Il suffit d’utiliser encore une fois les propriétés sur le degré.
2.2
Division euclidienne dans K[X]
Définition Soient A, B ∈ K[X]. On dit que A divise B dans K[X], que l’on note A|B, s’il existe Q ∈ K[X] tel que B = AQ.
Dans ce cas, on dit que A est un diviseur de B ou que B est un multiple de A.
Remarque Soient A, B ∈ K[X]. On notera encore DB les diviseurs de B et AK[X] les multiples de A. En particulier K étant
un corps :
• 0K[X] = {0} et D0 = K[X],
• pour tout A ∈ K[X], K∗ ⊂ DA .
Exemple 2 Soit n ∈ N∗ , montrer que X − 1 | X n − 1.
Propriété 11 (caractérisation des polynômes associés).
Soient A, B ∈ K[X]. Alors:
A|B et B|A ⇔ ∃λ ∈ K∗ , A = λB ⇔ AK[X] = BK[X]
Si l’une de ces assertions est vérifiée, on dit alors que A et B sont des polynômes associés.
I On procède par double implication, et on pourra faire intervenir le degré des polynômes.
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Théorème 12 (de la division euclidienne).
Soit B ∈ K[X] tels que B 6= 0. Alors, pour tout A ∈ K[X], il existe un unique couple (Q, R) ∈ (K[X])2 tel que :
(
A = BQ + R
deg(R) < deg(B)
Dans tous les cas, Q et R seront appelés le quotient et le reste dans la division euclidienne de A par B.
I On commence par l’unicité d’un tel couple. On prouve son existence par récurrence sur n = deg(A) sans oublier le cas trivial où
deg(B) > deg(A).
Exemple 3 Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de :
1. X 3 + 2X 2 + X + 1 par X 2 + 1
2. X 4 + 2X 2 + X + 1 par X 2 + X + 1
3. X 5 + 3X 4 + 1 par X 3 + X + 1
Définition On appelle idéal de K[X] tout sous-groupe additif I de K[X] vérifiant en plus :
∀ A ∈ K[X], ∀ B ∈ I, A × B ∈ I
On dit alors que I est absorbant.
Théorème 13 (caractérisation des idéaux).
Soit I un ensemble tel que I ⊂ K[X]. Alors, I est un idéal de K[X] ⇔ ∃ P ∈ K[X], I = P K[X].
I On procède comme dans Z par double implication, et on fera appel pour le sens direct au théorème de la division euclidienne.
2.3
Diviseurs communs de deux polynômes
Définition Soient A, B ∈ K[X]. On appelle alors diviseurs communs à A et B les polynômes appartenant à l’ensemble DA ∩ DB ,
qu’on notera DA,B .
Propriété 14 (conséquences immédiates).
Soient A, B ∈ K[X]. Alors :
(i) DA,0 = DA
(ii) DA,B est non vide puisque K∗ ⊂ DA,B
(iii) la division euclidienne de A par B donne A = BQ + R, avec deg(R) < deg(B), de sorte que: DA,B = DB,R
Définition Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls. On appelle alors PGCD de A et B, noté pgcd(A, B), le polynôme unitaire de plus
haut degré qui divise A et B.
Théorème 15 (interprétation ensembliste du PGCD).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls.
Alors, il existe un unique polynôme unitaire D ∈ K[X] tel que : AK[X] + BK[X] = DK[X]. Et dans ce cas, D = pgcd(A, B).
I On procède par existence et unicité : seule l’existence est astucieuse puisqu’il suffit de montrer que AK[X] + BK[X] est un idéal
de K[X].
Corollaire 16 (coefficients de Bézout).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls, et dont on note D = pgcd(A, B). Alors, il existe (U, V ) ∈ (K[X])2 tel que : AU + BV = D.
Une telle égalité est appelée égalité de Bézout et le couple (U, V ) désigne des coefficients de Bézout.
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Propriété 17 (détermination du PGCD par l’algorithme d’Euclide).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls. On définit la suite des restes (Rn ) par récurrence:
(
R0 = A, R1 = B
∀ n ∈ N, Rn+2 est le reste dans la division euclidienne de Rn par Rn+1
Alors, il existe un rang p à partir duquel la suite est nulle; et dans ce cas, le PGCD de A et B est le dernier reste non nul rendu
unitaire:
Rp−1 = pgcd(A, B)
I On procède en deux temps: on montre d’abord que (deg(Rn )) définit une suite strictement décroissante de N ∪ {−∞}, puis on
démontre l’égalité en utilisant la propriété 10.
Exemple 4 Déterminer le PGCD des polynômes: X 5 + 2X 3 − X 2 + X − 1 et X 3 − X 2 + X − 1 .
2.4
Polynômes premiers entre eux
Définition On dit que les polynômes A et B sont premiers entre eux si pgcd(A, B) = 1, c’est à dire que 1 est le seul polynôme
unitaire qui divise A et B.
Théorème 18 (théorème de Bézout).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls. Alors :
A et B sont des polynômes premiers entre eux ⇔ ∃ (U, V ) ∈ (K[X])2 , AU + BV = 1
Exemple 5 Soient a, b ∈ K tels que a 6= b. Montrer que X − a et X − b sont premiers entre eux.
Remarques
1. Ici encore, on peut étendre cette définition :
les polynômes P1 , . . . , Pn sont premiers entre eux dans leur ensemble si P1 ∧ . . . ∧ Pn = 1. Par contre, on distinguera la
notion d’entiers premiers entre eux deux à deux tels que pour tous i, j, Pi ∧ Pj = 1 et on retiendra pour l’année prochaine
:
(Pi ) premiers entre eux deux à deux ⇒ (Pi ) premiers entre eux dans leur ensemble
2. Cette caractérisation des polynômes premiers entre eux est fondamentale, car elle va nous permettre de démontrer de nombreux
résultats très pratiques :
Propriété 19 (théorème de Gauss).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls et C ∈ K[X].
(
A|BC
pgcd(A, B) = 1
⇒ A|C
Propriété 20 (autre conséquence).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls et C ∈ K[X].


A|C
B|C


pgcd(A, B) = 1
⇒ AB|C
Propriété 21 (caractérisation du pgcd).
Soient A, B ∈ K[X] non tous nuls et D ∈ K[X] − {0}. Alors :

0

A = DA
D = pgcd(A, B) ⇔ ∃ (A0 , B 0 ) ∈ (K[X])2 , B = DB 0


pgcd(A0 , B 0 ) = 1
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Chapitre 9
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Remarques
1. Bien entendu, on peut aussi définir le PPCM de deux polynômes A et B, comme le polynôme unitaire de plus bas degré
multiple de A et B ou encore comme le générateur unitaire de l’idéal AK[X] ∩ BK[X]. Et dans tous les cas, on a :
ppcm(A, B).pgcd(A, B) =
AB
, où an et bm désignent les coefficients dominants de A et B
an bm
2. On pourra notamment utiliser le pgcd de deux polynômes pour simplifier des fractions rationnelles. Si pgcd(A, B) = D, alors
il existe A0 , B 0 ∈ K[X] premiers entre eux de sorte que :
A
A0
= 0
B
B
On dit encore que
3
A0
B0
désigne la forme irréductible de la fraction rationnelle.
Racines d’un polynôme
3.1
Définition et premières propriétés
Définition Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. On dit que a désigne une racine de P si elle vérifie P (a) = 0.
Propriété 22 (caractérisation d’une racine).
Soient P ∈ K[X] avec a ∈ K. Alors :
P (a) = 0 ⇔ (X − a)|P dans K[X]
I Il suffit d’écrire la division euclidienne de P par X − a et de traduire la divisibilité annoncée en terme de fonctions polynômes
associées.
Propriété 23 (caractérisation de racines distinctes).
Soient P ∈ K[X] avec a1 , a2 , . . . , an des scalaires distincts. Alors :
P (a1 ) = P (a2 ) = . . . = P (an ) = 0 ⇔ (X − a1 )(X − a2 ) . . . (X − an )|P dans K[X]
I Il s’agit simplement d’une des conséquences du théorème de Bézout.
Propriété 24 (nombre de racines).
(i) Soit n ∈ N. Tout polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes.
(ii) On en déduit alors que le seul polynôme admettant plus de racines que son degré est le polynôme nul.
I Ce résultat découle simplement de la propriété précédente à partir de laquelle on raisonnera sur les degrés.
Déterminer les racines d’un polynôme revient donc à déterminer les zéros de la fonction polynôme associée, mais le nombre de ces zéros
dépendra directement du corps de base K sur lequel on travaille :
Exemple 6 On note P (X) = X 5 − 1 et Q(X) = X 4 − 2 cos(2θ)X 2 + 1 (θ 6= πZ). Pour chacun de ces polynômes, déterminer les racines
complexes, puis en déduire l’existence éventuelle de racines réelles.
Remarque Quand le polynôme donné est à coefficients réels, on pourra en outre retenir que :
P (a) = 0 ⇒ P (a) = 0 ⇒ P (a) = 0
Ainsi, si a est une racine complexe de P , alors a est aussi une racine de P .
3.2
Racines multiples et caractérisation à l’aide des polynômes dérivés
Définition Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. On rappelle que a désigne une racine de P si P (a) = 0 ⇔ (X − a)|P dans K[X].
Plus généralement, on dira que a est racine de P d’ordre de multiplicité r ≥ 1 si :
(
(X − a)r |P
(X − a)r+1 6 |P
Une telle racine sera aussi appelée racine multiple d’ordre r.
7
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Théorème 25 (formule de Taylor exacte).
Soit a ∈ K. Alors, pour tout P ∈ K[X] de degré n, P (X) =
Pn
k=0
coefficients de P et en notant a0 , . . . , an ses coefficients, on a :
P (k) (a)
(X − a)k . En particulier, pour a = 0, on peut identifier les
k!
∀ k ∈ J0, nK, ak =
P (k) (0)
k!
I On peut procéder de différentes façons plus ou moins immédiates : à l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral ou simplement
par récurrence sur n ∈ N.
Corollaire 26 (caractérisation d’une racine multiple).
(
Soient P ∈ K[X], a ∈ K. Alors, a est racine multiple d’ordre r ≥ 1 ⇔
P (a) = P 0 (a) = . . . = P (r−1) (a) = 0
P (r) (a) 6= 0
.
I On procède par double implication: dans un sens, on fera appel à la formule de Leibniz et dans l’autre à la formule de Taylor.
Exemple 7 Montrer que 1 est racine double de Pn (X) = nX n+1 − (n + 1)X n + 1.
Remarques
1. On retrouve ici le vocabulaire déjà rencontré pour les polynômes du second degré : quand ∆ = 0, on parle de racine double
car P (z0 ) = P 0 (z0 ) = 0.
2. Quand le polynôme donné est à coefficients réels, on montre encore que si a est une racine complexe d’ordre r, alors a est aussi
une racine multiple d’ordre r.
3.3
Factorisation en produit de polynômes irréductibles
Définition Soit P un polynôme de degré ≥ 1. On dit que P est irréductible dans K[X] si ses seuls diviseurs sont 1, P ou les
polynômes qui leur sont associés, c’est à dire :
∀ A, B ∈ K[X], P = AB ⇒ deg(A) = 0 ou deg(B) = 0
Exemple 8 Montrer que :
1. les polynômes de K[X] de degré 1 sont irréductibles
2. les polynômes de R[X] de degré 2 à discriminant < 0 sont irréductibles
Théorème 27 (factorisation des polynômes à coefficients complexes).
On admet que tout polynôme non constant de C[X] possède au moins une racine, et ainsi il peut toujours s’écrire sous une forme
scindée :
P (X) = an (X − r1 )α1 . . . (X − rk )αk
c’est à dire que les seuls polynômes irréductibles intervenant dans la factorisation de P sont de degré 1.
Remarque Ce dernier résultat est fondamental et il est aussi connu sous le nom de théorème de D’Alembert-Gauss.
Propriété 28 (caractérisation des polynômes irréductibles).
(i) Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
(ii) Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant < 0.
I Pour chacune de ces assertions, la réciproque a déjà été établie... reste à prouver la condition nécessaire.
Corollaire 29 (factorisation des polynômes à coefficients réels).
Tout polynôme non constant de R[X] peut s’écrire comme un produit de polynômes irréductibles unitaires et distincts :
P (X) = an .(X − r1 )α1 . . . (X − rk )αk (X 2 + sk+1 X + tk+1 )αk+1 . . . (X 2 + sp X + tp )αp
avec αi ∈ N∗ , r1 , . . . , rk des racines multiples réelles et an le coefficient dominant de P .
8
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Exemple 9 Factoriser X 4 + 1 dans C[X], puis dans R[X] .
4
Application : décomposition en éléments simples dans K(X)
Définition On appelle corps des fractions rationnelles le corps des fractions de K[X] défini par :
K(X) = {
dont les éléments vérifient :
A
, (A, B) ∈ K[X] × K[X]∗ }
B
A
C
=
⇔ AD = BC, et pour lesquels on définit les opérations internes + et × par :
B
D
A
C
AD + BC
A
C
AC
+
=
et
×
=
B
D
BD
B
D
BD
P
Définition Soit F ∈ K(X) qu’on suppose non nulle et dont on note Q
la forme irréductible. On appelle pôles de F les racines de Q
dans K[X]. De plus, l’ordre de multiplicité d’un pôle est donné par son ordre de multiplicité en tant que racine de Q.
Théorème 30 (de décomposition en éléments simples).
αn
P
1
la forme irréductible. Si on note Q = Qα
Soit F ∈ K(X) qu’on suppose non nulle et dont on note Q
1 . . . Qn la décomposition de Q
en produit de polynômes irréductibles, alors on admet que F peut s’écrire de façon unique :
F =E+
α1
α2
αn
X
X
X
A1k
A2k
Ank
+
+ ... +
k
k
Qkn
Q
Q
1
2
k=1
k=1
k=1
avec :
• E appelé la partie entière de F obtenue comme le quotient de la division euclidienne de P par Q,
• Aik ∈ K[X] vérifiant deg(Aik ) < deg(Qi ).
Les fractions
Aik
Qk
i
sont alors appelés les éléments simples associés aux pôles de F .
Remarque Les polynômes irréductibles n’étant pas les mêmes dans C[X] ou R[X], on distinguera les décompositions en éléments
simples dans C(X) ou R(X).
4.1
Méthode pratique de décomposition dans C(X)
Dans C[X], avec les notations du théorème, on a Q(X) = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn et ainsi :
F (X) = E(X) +
α1
X
k=1
α2
αn
X
X
a2k
ank
a1k
+
+ ... +
k
k
(X − a1 )
(X
−
a
)
(X
− an )k
2
k=1
k=1
avec tous les coefficients aik ∈ C, c’est à dire réels ou complexes.
On retrouve ainsi les parties principales relatives à chacun des pôles ai et on pourra procéder de différentes façons pour identifier
les coefficients aik :
1. par identification des coefficients
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction: F (X) =
1
.
X 2 −X−2
2. par des évaluations successives
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction: F (X) =
3X 2
.
(X+1)(X−2)
3. par évaluation après multiplication
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction: F (X) =
9
.
(X+1)2 (X−2)
4. en utilisant un passage à la limite
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction: F (X) =
X
.
(X 2 −1)2
5. en utilisant la propriété suivante, très pratique pour les pôles simples
Propriété 31 (cas particulier d’un pôle simple).
P
Soit F ∈ K(X) qu’on suppose non nulle et dont on note Q
la forme irréductible. Si a désigne un pôle simple de F , alors la partie
relative à a est de la forme :
λ
P (a)
, avec λ = 0
X −a
Q (a)
9
Chapitre 9
L’anneau des polynômes K[X]
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
I Partant de Q(X) = (X − a)Q1 , on montre que λ = P (a)/Q1 (a) = P (a)/Q0 (a).
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction: F (X) =
1
.
X 3 −X
Exemple 10 On considère la fraction rationnelle :
F (X) =
1
X2 + 1
1. En réalisant la décomposition en éléments simples de F dans C(X), exprimer F (n) .
2. Montrer qu’il existe Pn ∈ Rn [X] tel que :
F (n) (X) =
Pn (X)
(X 2 + 1)n+1
3. Déterminer les zéros de Pn .
4.2
Méthode pratique de décomposition dans R(X)
Dans R[X], avec les notations du théorème, on a :
Q(X) = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn (X 2 + c1 X + d1 )β1 . . . (X 2 + cm X + dm )βm
avec X 2 + ci X + di à discriminant < 0. Ainsi :
F (X) = E(X) +
α1
X
k=1
β1
βm
αn
X
X
X
a1k
cmk X + dmk
ank
c1k X + d1k
+
.
.
.
+
+
+
.
.
.
+
(X − a1 )k
(X − an )k
(X 2 + c1 X + d1 )k
(X 2 + cm X + dm )k
k=1
k=1
k=1
avec tous les coefficients aik , cik , dik ∈ R.
Dans cette décomposition, on distinguera alors:
• les éléments simples de première espèce que sont les parties relatives aux pôles ai ,
• les éléments simples de seconde espèce provenant des polynômes irréductibles de degré 2 à discriminant < 0.
Remarques
1. Pour obtenir une telle décomposition, on fera appel aux mêmes méthodes présentées précédemment.
2. Si l’exercice nous fournit une décomposition en élément simples dans C(X), on pourra aussi se ramener dans R(X) en regroupant
les parties conjuguées mais ce travail sera souvent fastidieux.
Exemple 11
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
F (X) =
2. En déduire la somme Sn =
Pn
k=0
n!
X(X + 1) . . . (X + n)
(−1)k (n
k)
.
k+1
10