L`anneau des polynômes K[X] - MPSI

L’anneau des polynˆomes K[X]
Chapitre 9
En d´ebut d’ann´ee, nous avons travaill´e sur les fonctions usuelles parmi lesquelles on pou-
vait distinguer les fonctions polynˆomes. Nous en rappelons ici quelques propri´et´es impor-
tantes et essentielles en analyse, notamment en ce qui concerne les formules de Taylor.
Dans un deuxi`eme temps, nous verrons alors comment les propri´et´es arithm´etiques vues
pr´ec´edemment peuvent ˆetre adapt´ees `a l’anneau des polynˆomes.
1 Fonctions polynˆomes et approximation polynomiale 2
1.1 Premi`eres d´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 R`egle de d´erivation et op´erations alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Approximation locale par un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 L’anneau des polynˆomes K[X]4
2.1 D´efinition formelle d’un polynˆome `a une ind´etermin´ee . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Division euclidienne dans K[X] .......................... 4
2.3 Diviseurs communs de deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Polynˆomes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Racines d’un polynˆome 7
3.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Racines multiples et caract´erisation `a l’aide des polynˆomes d´eriv´es . . . . . . 7
3.3 Factorisation en produit de polynˆomes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Application : d´ecomposition en ´el´ements simples dans K(X)9
4.1 M´ethode pratique de d´ecomposition dans C(X)................. 9
4.2 M´ethode pratique de d´ecomposition dans R(X)................. 10
Typage dynamique et manipulation des donn´ees structur´ees
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Connaitre la d´efinition d’une fonction polynˆome et savoir les manipuler : op´erations alg´ebriques, d´erivation... ·D´eterminer le degr´e d’un polynˆome ·Connaitre
les formules de Taylor ·Comprendre ce que repr´esente formellement un polynˆome ·Connaitre les propri´et´es de l’anneau des polynˆomes ·Utiliser le th´eor`eme de la
division euclidienne dans K[X]·D´eterminer le pgcd de deux polynˆomes ·R´esoudre des probl`emes arithm´etiques dans K[X]·Comprendre ce que repr´esente une fonction
polynˆome ·D´eterminer et caract´eriser les racines multiples d’un polynˆome ·Factoriser un polynˆome en produit de polynˆomes irr´eductibles dans K[X]·Identifier un
polynˆome `a partir de l’ensemble de ses racines (...)

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Chapitre 9
L’anneau des polynˆomes K[X]
1 Fonctions polynˆomes et approximation polynomiale
Dans tout ce chapitre, Krepr´esente le corps Rou C.
1.1 Premi`eres d´efinitions et propri´et´es
D´efinition On appelle fonction polynˆome toute fonction pd´efinie sur R`a valeurs Ktelle que :
∀x∈R, p(x) =
n
X
k=0
akxk,o`u pour tout k∈J0, nK, ak∈K
En particulier,
•si tous les coefficients sont nuls, on dit que pd´esigne le polynˆome nul;
•sinon, en notant encore anle coefficient non nul d’indice le plus ´elev´e, on dit que la fonction pest de degr´e net a pour
coefficient dominant an.
Remarque Dans le cas particulier o`u an= 1, on dit que le polynˆome est unitaire et on conviendra que le polynˆome nul a pour
degr´e −∞ de sorte que :
deg(p)∈N∪ {−∞}
Deux fonctions polynˆomes sont ´egales si et seulement si elles ont le mˆeme degr´e et les coefficients associ´es sont ´egaux.
Propri´et´e 1 (unicit´e de l’´ecriture polynomiale).
IA chaque fois, on raisonne par double implication. On proc`edera par l’absurde pour la premi`ere assertion ; la seconde assertion
d´ecoulera imm´ediatement de la pr´ec´edente mˆeme s’il faudra discuter les cas.
D´efinition Soient p(x) = Pn
k=0 akxket q(x) = Pm k=0 bkxkdeux fonctions polynˆomes `a coefficients dans K. Les r`egles de calcul
dans Knous permettent alors de d´efinir :
•la somme des fonctions polynˆomes pet qpar :
∀x∈R, p(x) + q(x) =
n
X
k=0
akxk+
m
X
k=0
bkxk=
max(n,m)
X
k=0
(ak+bk)xk,avec (ak= 0 si k≥n
bk= 0 si k≥m
•le produit des fonctions polynˆomes pet qpar :
∀x∈R, p(x)×q(x) =
n
X
k=0
akxk×
m
X
k=0
bkxk=
n+m
X
k=0
ckxk,avec (ak= 0 si k≥n
bk= 0 si k≥m
o`u les coefficients (ck) v´erifient pour tout k∈J0, n +mK,ck=X
(i,j)∈J1,nK×J1,mK, i+j=k
aibj=a0bk+a1bk−1+...+akb0=
k
X
i=0
aibk−i
Soient p, q deux fonctions polynˆomes `a coefficients dans K. Alors, on a imm´ediatement :
(i) deg(p)6=deg(q)⇒deg(p+q) = max(deg(p), deg(q))
(ii) deg(p) = deg(q)⇒deg(p+q)≤max(deg(p), deg(q))
(iii) deg(pq) = deg(p) + deg(q)
Corollaire 2 (degr´e de la somme et du produit).
Ces propri´et´es sur le degr´e sont tr`es pratiques, car elles nous permettront entre autres d’obtenir des informations sur un polynˆome cherch´e.
C’est bien entendu le cas quand on raisonne par analyse-synth`ese.
Exemple 1 D´eterminer les fonctions polynˆomes pv´erifiant l’´egalit´e p(x2)=(x2+ 1)p(x).
1.2 R`egle de d´erivation et op´erations alg´ebriques
Soit p(x) = Pn
k=0 akxkune fonction polynˆome `a coefficients dans K. Alors, pest de classe C∞sur Ravec :
•pour tout i∈J0, nK,p(i)(x) = Pn
k=iakk(k−1) ...(k−i+ 1)xk−i=Pn k=iakk!
(k−i)! xk−i,
•pour tout i>n,p(i)(x) = 0.
Propri´et´e 3 (r`egle de d´erivation).
IOn applique simplement les r`egles de d´erivation sur les fonctions usuelles : lin´earit´e et d´erivabilit´e des fonctions puissances.
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Chapitre 9
L’anneau des polynˆomes K[X]
Remarque Par convention, on a encore p(0) =pet avec les notations de la d´efinition, on pourra observer que la i-i`eme d´eriv´ee p(i)
est encore une fonction polynˆome de degr´e n−ide sorte que : p(n+1) = 0.
Soient n∈N∗,p, q deux fonctions polynˆomes `a coefficients dans K. Alors, on a :
(i) pour tous λ, µ ∈K, (λp +µq)0=λp0+µq0et plus g´en´eralement,
(λp +µq)(n)=λp(n)+µq(n)
(ii) (pq)0=p0q+pq0et plus g´en´eralement,
(pq)(n)=
n
X
k=0
(n
k)p(k)q(n−k)(formule de Leibniz)
Propri´et´e 4 (op´erations alg´ebriques).
ILes premi`eres propri´et´es d´ecoulent simplement des r`egles de d´erivation sur les fonctions usuelles. On pourra alors ´etendre ces
r´esultats par simple r´ecurrence sur n∈N∗.
1.3 Approximation locale par un polynˆome
Soient n∈Net fune fonction d´efinie sur un intervalle I`a valeurs r´eelles. On suppose que fest de classe Cn+1 sur Iet a∈I. Alors,
pour tout x∈I:
f(x) = f(a) + f0(a)(x−a)
1! +f00(a)(x−a)2 2! +...+f(n)(a)(x−a)n n!+Zx
a
(x−t)n
n!f(n+1)(t)dt
La fonction polynˆome d´efinie par Tn,a(x) = Pn
k=0 f(k)(a)(x−a)k
k!d´esigne en fait le polynˆome de Taylor de degr´e nassoci´e `a
la fonction fen a.
Th´eor`eme 5 (formule de Taylor avec reste int´egral).
IOn proc`ede simplement par r´ecurrence sur n∈Ndans laquelle on mettra en place une int´egration par parties bien choisie...
Soient n∈Net f:I→R. On suppose que fest de classe Cn+1 sur Iet a∈I. Si de plus pour tout x∈I, |f(n+1)(x)| ≤ Mn+1,
alors on a l’in´egalit´e :
|f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!| ≤ |x−a|n+1 (n+ 1)! Mn+1
Corollaire 6 (in´egalit´e de Taylor-Lagrange).
IIl suffit de majorer le reste int´egral, mais on veillera `a discuter la place de xpar rapport `a a.
Soient n∈Net fune fonction d´efinie sur un intervalle I`a valeurs r´eelles. On suppose que fest de classe Cnsur Iet a∈I. Alors,
pour tout x∈I:
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!+ (x−a)n(x), avec (x)−→
x→a0
Corollaire 7 (formule de Taylor-Young).
IOn applique la formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre n−1avant d’utiliser la continuit´e de f(n).
Remarque De cette derni`ere formule, on peut en d´eduire que :
|f(x)−Tn,a(x)|= (x−a)n(x)−→
x→a0
et ainsi, les polynˆomes de Taylor nous donnent une approximation de la fonction fau voisinage de a. On pourra donc retenir que
toute fonction suffisamment r´eguli`ere peut ainsi ˆetre approch´ee localement par une fonction polynˆome, ce qui nous permettra in fine
de mieux cerner le comportement d’une fonction donn´ee.
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2 L’anneau des polynˆomes K[X]
2.1 D´efinition formelle d’un polynˆome `a une ind´etermin´ee
D´efinition Plus g´en´eralement, on appelle polynˆome `a coefficients dans un corps Ktoute suite de coefficients nuls `a partir d’un
certain rang :
(a0, a1, a2,...,an,0,0,0...)
Ainsi, en notant Xk= (0,...,0,1,0...), tout polynˆome Ppeut aussi s’´ecrire de fa¸con formelle :
P(X) =
+∞
X
k=0
akXk,avec ak= 0 pour k > n
On parle dans ce cas du polynˆome Pd’ind´etermin´ee Xet on d´esignera par K[X] l’ensemble des polynˆomes d’ind´etermin´ee X`a
coefficients dans K.
Remarque Pour tout polynˆome donn´e, on peut ´evidemment d´efinir une unique fonction polynˆome associ´ee. La diff´erence entre
polynˆome et fonction polynˆome est plutˆot subtile et on identifiera ici les deux notions.
Bien entendu, cette seconde d´efinition, c’est `a dire les polynˆomes vus comme une suite de coefficients presque nulle, est plus g´en´erale
et elle nous autorisera `a manipuler les polynˆomes dans d’autres circonstances : polynˆomes d’une variable complexe, polynˆomes de
matrices, d’endomorphismes...
En notant encore + et ×la somme et le produit de deux polynˆomes, alors (K[X],+,×) est un anneau commutatif .
Propri´et´e 8 (structure alg´ebrique).
IOn revient `a la d´efinition d’un anneau et on v´erifie chacune des propri´et´es associ´ees pour les lois donn´ees.
(K[X],+,×) est un anneau int`egre, c’est `a dire :
∀P, Q ∈K[X], P Q = 0 ⇔P= 0 ou Q= 0
Propri´et´e 9 (int´egrit´e de l’anneau des polynˆomes).
IPartant d’un produit nul, on passe au degr´e avant de conclure.
Les ´el´ements inversibles de (K[X],+,×) sont les polynˆomes constants non nuls, c’est `a dire :
U(K[X]) = K∗
Propri´et´e 10 (´el´ements inversibles).
IIl suffit d’utiliser encore une fois les propri´et´es sur le degr´e.
2.2 Division euclidienne dans K[X]
D´efinition Soient A, B ∈K[X]. On dit que Adivise Bdans K[X], que l’on note A|B, s’il existe Q∈K[X] tel que B=AQ.
Dans ce cas, on dit que Aest un diviseur de Bou que Best un multiple de A.
Remarque Soient A, B ∈K[X]. On notera encore DBles diviseurs de Bet AK[X] les multiples de A. En particulier K´etant
un corps :
•0K[X] = {0}et D0=K[X],
•pour tout A∈K[X], K∗⊂DA.
Exemple 2 Soit n∈N∗, montrer que X−1|Xn−1.
Soient A, B ∈K[X]. Alors:
A|Bet B|A⇔ ∃λ∈K∗, A =λB ⇔AK[X] = BK[X]
Si l’une de ces assertions est v´erifi´ee, on dit alors que Aet Bsont des polynˆomes associ´es.
Propri´et´e 11 (caract´erisation des polynˆomes associ´es).
IOn proc`ede par double implication, et on pourra faire intervenir le degr´e des polynˆomes.
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Chapitre 9
L’anneau des polynˆomes K[X]
Soit B∈K[X] tels que B6= 0. Alors, pour tout A∈K[X], il existe un unique couple (Q, R)∈(K[X])2tel que :
(A=BQ +R
deg(R)< deg(B)
Dans tous les cas, Qet Rseront appel´es le quotient et le reste dans la division euclidienne de Apar B.
Th´eor`eme 12 (de la division euclidienne).
IOn commence par l’unicit´e d’un tel couple. On prouve son existence par r´ecurrence sur n=deg(A)sans oublier le cas trivial o`u
deg(B)> deg(A).
Exemple 3 D´eterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de :
1. X3+ 2X2+X+ 1 par X2+ 1
2. X4+ 2X2+X+ 1 par X2+X+ 1
3. X5+ 3X4+ 1 par X3+X+ 1
D´efinition On appelle id´eal de K[X] tout sous-groupe additif Ide K[X] v´erifiant en plus :
∀A∈K[X],∀B∈I, A ×B∈I
On dit alors que Iest absorbant.
Soit Iun ensemble tel que I⊂K[X]. Alors, Iest un id´eal de K[X]⇔ ∃ P∈K[X], I=PK[X].
Th´eor`eme 13 (caract´erisation des id´eaux).
IOn proc`ede comme dans Zpar double implication, et on fera appel pour le sens direct au th´eor`eme de la division euclidienne.
2.3 Diviseurs communs de deux polynˆomes
D´efinition Soient A, B ∈K[X]. On appelle alors diviseurs communs `a Aet Bles polynˆomes appartenant `a l’ensemble DA∩DB,
qu’on notera DA,B .
Soient A, B ∈K[X]. Alors :
(i) DA,0=DA
(ii) DA,B est non vide puisque K∗⊂DA,B
(iii) la division euclidienne de Apar Bdonne A=BQ +R, avec deg(R)< deg(B), de sorte que: DA,B =DB,R
Propri´et´e 14 (cons´equences imm´ediates).
D´efinition Soient A, B ∈K[X] non tous nuls. On appelle alors PGCD de Aet B, not´e pgcd(A, B), le polynˆome unitaire de plus
haut degr´e qui divise Aet B.
Soient A, B ∈K[X] non tous nuls.
Alors, il existe un unique polynˆome unitaire D∈K[X] tel que : AK[X] + BK[X] = DK[X]. Et dans ce cas, D=pgcd(A, B).
Th´eor`eme 15 (interpr´etation ensembliste du PGCD).
IOn proc`ede par existence et unicit´e : seule l’existence est astucieuse puisqu’il suffit de montrer que AK[X] + BK[X]est un id´eal
de K[X].
Soient A, B ∈K[X] non tous nuls, et dont on note D=pgcd(A, B). Alors, il existe (U, V )∈(K[X])2tel que : AU +BV =D.
Une telle ´egalit´e est appel´ee ´egalit´e de B´ezout et le couple (U, V ) d´esigne des coefficients de B´ezout.
Corollaire 16 (coefficients de B´ezout).
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