Révisions de MPSI : Les polynômes Assurez-vous que les questions suivantes sont valables lorsque K est un sous-corps de C. 1◦ ) Construction de l’ensemble K[X] et définition du degré d’un polynôme. 2◦ ) Définition de la somme de deux polynômes. Montrer que deg(P +Q) ≤ sup(deg(P ), deg(Q)), avec égalité lorsque deg(P ) 6= deg(Q). 3◦ ) Montrer que (K[X], +) est un groupe commutatif. 4◦ ) Définition du produit de deux polynômes. Montrer que deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q). 5◦ ) Montrer que (K[X], +, ×) est un anneau commutatif. 6◦ ) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau K[X] et montrer que K[X] est un anneau intègre. 7◦ ) Pour X le polynôme P = (a0 , a1 , . . . , an , . . .) ∈ K[X], justifier la notation an X n . P = n∈N 8◦ ) Si P ∈ K[X], définir l’application polynômiale P̃ : K −→ K. Montrer que P 7−→ P̃ est un morphisme d’anneaux de K[X] dans F(K, K). 9◦ ) (Hors programme) Si P ∈ K[X] et si x ∈ A, présenter le calcul de P̃ (x) par l’algorithme d’Hörner. 10◦ ) Montrer l’existence et l’unicité de la division euclidienne de A ∈ K[X] par B ∈ K[X] \ {0}. 11◦ ) Que vaut le reste de la division euclidienne de A(X) ∈ K[X] par X − a, où a ∈ K ? En déduire que (X − a)|A ⇐⇒ Ã(a) = 0. 12◦ ) Définition du PPCM et du PGCD de deux polynômes A et B. 13◦ ) Présenter en le justifiant l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD de deux polynômes de K[X]. 14◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de Bezout. 15◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de Gauss. 16◦ ) Montrer que si A est premier avec B et avec C, alors A est premier avec BC. 17◦ ) Montrer que si A|C et B|C, avec A et B premiers entre eux, alors AB|C. 1 Révisions de MPSI : Les polynômes 18◦ ) Soit a1 , . . . , ak k scalaires de K deux à deux distincts. Montrer que (X − a1 ) × · · · × (X − ak )|P si et seulement si a1 , . . . , ak sont des racines de P . 19◦ ) Montrer que P 7→ P̃ est injective, ce qui permet d’identifier les polynômes formels et les applications polynomiales de K dans K. 20◦ ) Si P, Q ∈ K[X], définir P ◦ Q. Enoncer des propriétés relativement à (P + Q) ◦ R, (P Q) ◦ R, (P ◦ Q) ◦ R, deg(P ◦ Q). 21◦ ) Montrer que P GCD(A, B) × P P CM (A, B) et AB sont proportionnels. 22◦ ) Soit (A, B, C) ∈ K[X]3 avec A 6= 0 et B 6= 0. Résoudre l’équation de Bezout AU + BV = C, en l’inconnue (U, V ). 23◦ ) Montrer que tout polynôme A(X) non constant admet un diviseur irréductible. 24◦ ) Si P et Q sont deux polynômes, avec P irréductible, montrer que P et Q sont premiers entre eux, ou bien P |Q. 25◦ ) Enoncer et démontrer le théorème de décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles. 26◦ ) Sans démonstration, donner les polynômes irréductibles de C[X] et ceux de R[X]. 27◦ ) Définition de la dérivée d’un polynôme. Enoncer et démontrer la formule de Leibniz. 28◦ ) Enoncer et démontrer la formule de Taylor. 29◦ ) Donner deux définitions de la multiplicité d’une racine a d’un polynôme P , l’une faisant intervenir la divisibilité par (X − a)k et l’autre les dérivées successives de P en a. Montrer que ces deux définitions sont équivalentes. 30◦ ) Sans démonstration, énoncer précisément les relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé. c Eric Merle 2 MP Fénelon Révisions de MPSI : Les polynômes Complément : les polynômes scindés On rappelle que K désigne un sous-corps de C. Théorème de d’Alembert : Tout polynôme de C[X] de degré supérieur ou égal à 1 possède au moins une racine dans C. Démonstration. Admis Corollaire. Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de degré 1. Démonstration. En général, dans K[X], tout polynôme irréductible est de degré supérieur ou égal à 1. De plus dans C[X], si P est un polynôme de degré strictement supérieur à 1, d’après le théorème de d’Alembert, il existe α ∈ C tel que P (α) = 0, donc X − α est un diviseur de P , non constant et non associé à P , donc P n’est pas irréductible. Corollaire. Si P ∈ C[X] \ {0}, la décomposition dans C[X] de P en produit de polynômes irréductibles est de la forme k n Y Y mi P (X) = µ (X − αi ) = µ (X − βj ), i=1 j=1 où µ est le coefficient dominant de P , n est son degré, α1 , . . . , αk est la liste des racines de P (comptées sans multiplicité), mi désigne la multiplicité de αi en tant que racine de P , et où β1 , . . . , βn est la liste des racines de P comptées avec multiplicité. Définition. Soit P ∈ K[X] \ {0}. Notons α1 , . . . , αk la liste des racines de P dans K (comptées sans multiplicité) et pour tout i ∈ {1, . . . , k}, désignons par mi la multiplicité de αi en tant que racine de P . Notons enfin µ le coefficient dominant de P . k Y Alors µ (X − αi )mi divise P . i=1 k Y On dit que P est scindé dans K[X] si et seulement si P = µ (X − αi )mi . i=1 Remarque. Si P est un polynôme constant non nul de K[X], il est scindé dans K[X]. Propriété. Dans C[X], tous les polynômes sont scindés. Remarque. Le polynôme X 2 + 1 n’est pas scindé dans R[X] mais il est scindé dans C[X], donc la propriété “P est scindé dans K[X]” dépend du corps K. Propriété. Soit P ∈ K[X] \ {0}. Les propriétés suivantes sont équivalentes : – i) P est scindé dans K[X]. – ii) P est un produit de polynômes de degré 1 de K[X]. – iii) Les diviseurs irréductibles de P dans K[X] sont tous de degré 1. – iv) Pour tout α ∈ C, [P (α) = 0 =⇒ α ∈ K] (i.e : les racines complexes de P sont toutes dans K). – v) Le nombre de racines de P dans K, comptées avec multiplicités, est égal au degré de P . c Eric Merle 3 MP Fénelon Révisions de MPSI : Les polynômes Démonstration. i) ⇒ ii) : évident. ii) ⇒ iii) : par hypothèse, (1) : P = n Y Pi , où pour tout i, Pi est un polynôme de i=1 degré 1 de K[X], mais tout polynôme de degré 1 de K[X] est irréductible dans K[X], donc (1) est l’unique décomposition de P en produit de polynômes irréductibles de K[X]. Ainsi l’ensemble des diviseurs irréductibles de P est {Pi /i ∈ {1, . . . , n}} ce qui prouve iii). iii) ⇒ iv) : Si P vérifie iii), la décomposition de P en produit de polynômes n Y irréductibles dans K[X] est de la forme P (X) = µ (X − βj ), où pour tout j, βj ∈ K, j=1 donc pour tout α ∈ C, P (α) = 0 ⇐⇒ [∃j ∈ {1, . . . , n}, α = βj ], ce qui prouve iv). iv) ⇒ v) : Supposons que P vérifie iv). Avec les notations du second corollaire du k Y théorème de d’Alembert, P (X) = µ (X − αi )mi , où d’après iv), pour tout i, αi ∈ K. i=1 En passant au degré, on a bien deg(P ) = k X mi , ce qui prouve v). i=1 v) ⇒ i) : Supposons que P vérifie v). Notons α1 , . . . , αk la liste des racines de P dans K (comptées sans multiplicité) et pour tout i ∈ {1, . . . , k}, désignons par mi la multiplicité de αi en tant que racine de P . Notons enfin µ le coefficient dominant de P . k Y Alors µ (X −αi )mi divise P , mais d’après v), ces deux polynômes ont le même degré. i=1 De plus ils ont le même coefficient dominant, donc ils sont égaux, donc P est scindé dans K[X]. c Eric Merle 4 MP Fénelon