Révisions de MPSI : Les polynômes

R´evisions de MPSI : Les polynˆomes
Assurez-vous que les questions suivantes sont valables lorsque Kest un
sous-corps de C.
1◦) Construction de l’ensemble K[X] et d´efinition du degr´e d’un polynˆome.
2◦) D´efinition de la somme de deux polynˆomes.
Montrer que deg(P+Q)≤sup(deg(P), deg(Q)), avec ´egalit´e lorsque deg(P)6=deg(Q).
3◦) Montrer que (K[X],+) est un groupe commutatif.
4◦) D´efinition du produit de deux polynˆomes.
Montrer que deg(P Q) = deg(P) + deg(Q).
5◦) Montrer que (K[X],+,×) est un anneau commutatif.
6◦) D´eterminer les ´el´ements inversibles de l’anneau K[X] et montrer que K[X] est un
anneau int`egre.
7◦) Pour le polynˆome P= (a0, a1, . . . , an, . . .)∈K[X], justifier la notation
P=X
n∈N
anXn.
8◦) Si P∈K[X], d´efinir l’application polynˆomiale ˜ P:K−→ K. Montrer que
P7−→ ˜ Pest un morphisme d’anneaux de K[X] dans F(K,K).
9◦) (Hors programme) Si P∈K[X] et si x∈A, pr´esenter le calcul de ˜ P(x) par
l’algorithme d’H¨orner.
10◦) Montrer l’existence et l’unicit´e de la division euclidienne de A∈K[X] par
B∈K[X]\ {0}.
11◦) Que vaut le reste de la division euclidienne de A(X)∈K[X] par X−a, o`u
a∈K? En d´eduire que (X−a)|A⇐⇒ ˜ A(a) = 0.
12◦) D´efinition du PPCM et du PGCD de deux polynˆomes Aet B.
13◦) Pr´esenter en le justifiant l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD de deux
polynˆomes de K[X].
14◦) Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Bezout.
15◦) Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Gauss.
16◦) Montrer que si Aest premier avec Bet avec C, alors Aest premier avec BC.
17◦) Montrer que si A|Cet B|C, avec Aet Bpremiers entre eux, alors AB|C.
1

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18◦) Soit a1, . . . , akkscalaires de Kdeux `a deux distincts. Montrer que
(X−a1)× · · · × (X−ak)|Psi et seulement si a1, . . . , aksont des racines de P.
19◦) Montrer que P7→ ˜ Pest injective, ce qui permet d’identifier les polynˆomes formels
et les applications polynomiales de Kdans K.
20◦) Si P, Q ∈K[X], d´efinir P◦Q.
Enoncer des propri´et´es relativement `a (P+Q)◦R, (P Q)◦R, (P◦Q)◦R,deg(P◦Q).
21◦) Montrer que P GCD(A, B)×P P CM(A, B) et AB sont proportionnels.
22◦) Soit (A, B, C)∈K[X]3avec A6= 0 et B6= 0. R´esoudre l’´equation de Bezout
AU +BV =C, en l’inconnue (U, V ).
23◦) Montrer que tout polynˆome A(X) non constant admet un diviseur irr´eductible.
24◦) Si Pet Qsont deux polynˆomes, avec Pirr´eductible, montrer que Pet Qsont
premiers entre eux, ou bien P|Q.
25◦) Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition d’un polynˆome en produit
de polynˆomes irr´eductibles.
26◦) Sans d´emonstration, donner les polynˆomes irr´eductibles de C[X] et ceux de R[X].
27◦) D´efinition de la d´eriv´ee d’un polynˆome. Enoncer et d´emontrer la formule de
Leibniz.
28◦) Enoncer et d´emontrer la formule de Taylor.
29◦) Donner deux d´efinitions de la multiplicit´e d’une racine ad’un polynˆome P, l’une
faisant intervenir la divisibilit´e par (X−a)ket l’autre les d´eriv´ees successives de Pen
a. Montrer que ces deux d´efinitions sont ´equivalentes.
30◦) Sans d´emonstration, ´enoncer pr´ecis´ement les relations entre coefficients et racines
d’un polynˆome scind´e.
c
Eric Merle 2MP F´enelon

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Compl´ement : les polynˆomes scind´es
On rappelle que Kd´esigne un sous-corps de C.
Th´eor`eme de d’Alembert : Tout polynˆome de C[X] de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1
poss`ede au moins une racine dans C.
D´emonstration.
Admis
Corollaire. Les polynˆomes irr´eductibles de C[X] sont exactement les polynˆomes de
degr´e 1.
D´emonstration.
En g´en´eral, dans K[X], tout polynˆome irr´eductible est de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 1.
De plus dans C[X], si Pest un polynˆome de degr´e strictement sup´erieur `a 1, d’apr`es le
th´eor`eme de d’Alembert, il existe α∈Ctel que P(α) = 0, donc X−αest un diviseur
de P, non constant et non associ´e `a P, donc Pn’est pas irr´eductible.
Corollaire. Si P∈C[X]\ {0}, la d´ecomposition dans C[X] de Pen produit de
polynˆomes irr´eductibles est de la forme
P(X) = µ
k
Y
i=1
(X−αi)mi=µ
n
Y
j=1
(X−βj),
o`u µest le coefficient dominant de P,nest son degr´e, α1, . . . , αkest la liste des racines
de P(compt´ees sans multiplicit´e), mid´esigne la multiplicit´e de αien tant que racine
de P, et o`u β1, . . . , βnest la liste des racines de Pcompt´ees avec multiplicit´e.
D´efinition. Soit P∈K[X]\ {0}. Notons α1, . . . , αkla liste des racines de Pdans K
(compt´ees sans multiplicit´e) et pour tout i∈ {1, . . . , k}, d´esignons par mila multiplicit´e
de αien tant que racine de P. Notons enfin µle coefficient dominant de P.
Alors µ
k
Y
i=1
(X−αi)midivise P.
On dit que Pest scind´e dans K[X] si et seulement si P=µ
k
Y
i=1
(X−αi)mi.
Remarque. Si Pest un polynˆome constant non nul de K[X], il est scind´e dans K[X].
Propri´et´e. Dans C[X], tous les polynˆomes sont scind´es.
Remarque. Le polynˆome X2+ 1 n’est pas scind´e dans R[X] mais il est scind´e dans
C[X], donc la propri´et´e “Pest scind´e dans K[X]” d´epend du corps K.
Propri´et´e. Soit P∈K[X]\ {0}. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
– i) Pest scind´e dans K[X].
– ii) Pest un produit de polynˆomes de degr´e 1 de K[X].
– iii) Les diviseurs irr´eductibles de Pdans K[X] sont tous de degr´e 1.
– iv) Pour tout α∈C, [P(α) = 0 =⇒α∈K] (i.e : les racines complexes de Psont
toutes dans K).
– v) Le nombre de racines de Pdans K, compt´ees avec multiplicit´es, est ´egal au degr´e
de P.
c
Eric Merle 3MP F´enelon

R´evisions de MPSI : Les polynˆomes
D´emonstration.
i)⇒ii) : ´evident.
ii)⇒iii) : par hypoth`ese, (1) : P=
n
Y
i=1
Pi, o`u pour tout i,Piest un polynˆome de
degr´e 1 de K[X], mais tout polynˆome de degr´e 1 de K[X] est irr´eductible dans K[X],
donc (1) est l’unique d´ecomposition de Pen produit de polynˆomes irr´eductibles de
K[X]. Ainsi l’ensemble des diviseurs irr´eductibles de Pest {Pi/i ∈ {1, . . . , n}} ce qui
prouve iii).
iii)⇒iv) : Si Pv´erifie iii), la d´ecomposition de Pen produit de polynˆomes
irr´eductibles dans K[X] est de la forme P(X) = µ
n
Y
j=1
(X−βj), o`u pour tout j,βj∈K,
donc pour tout α∈C,P(α) = 0 ⇐⇒ [∃j∈ {1, . . . , n}, α =βj], ce qui prouve iv).
iv)⇒v) : Supposons que Pv´erifie iv). Avec les notations du second corollaire du
th´eor`eme de d’Alembert, P(X) = µ
k
Y
i=1
(X−αi)mi, o`u d’apr`es iv), pour tout i,αi∈K.
En passant au degr´e, on a bien deg(P) =
k
X
i=1
mi, ce qui prouve v).
v)⇒i) : Supposons que Pv´erifie v).
Notons α1, . . . , αkla liste des racines de Pdans K(compt´ees sans multiplicit´e) et pour
tout i∈ {1, . . . , k}, d´esignons par mila multiplicit´e de αien tant que racine de P.
Notons enfin µle coefficient dominant de P.
Alors µ
k
Y
i=1
(X−αi)midivise P, mais d’apr`es v), ces deux polynˆomes ont le mˆeme degr´e.
De plus ils ont le mˆeme coefficient dominant, donc ils sont ´egaux, donc Pest scind´e
dans K[X].
c
Eric Merle 4MP F´enelon