⋇ Arithmétique dans ℤ ⋇ PGCD & PPCM PGCD de 2 entiers relatifs L’ensemble des diviseurs communs à 2 entiers relatifs non nuls a et b a un plus grand élément ∆ qu’on appelle le plus grand diviseur commun à a et b. On note ∆ = PGCD(a,b) ou ∆ = a ∧ b * Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire au + bv * L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers relatifs non tous deux nuls est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD * Pour montrer qu’un diviseur d de a et b est le PGCD de a et b il faut montrer que tous les diviseurs de a et b divisent d Propriété du PGCD (∀ (a, b, c) ∈ (ℤ*)3) ca ∧ cb=|c|(a ∧ b) Algorithme d’Euclide * Si (a, b) ∈ ℤ x ℕ* et si r est le reste de la division de a par b alors : a ∧ b = b ∧ r on effectue successivement les divisions Ce qui conduit aux résultats b = bq + r et 0≤r<b a ∧b= b ∧r b = rq1 + r1 et 0≤r1<r b ∧ r = r ∧ r1 r = rq1 + r2 et 0≤r2<r r ∧ r1 = r 1 ∧ r2 … … rn-2 = rn-1qn + rn et rn = 0 et rn-1≠0 rn-2 ∧ rn-1 = r n-1 ∧ r n = rn-1 * Le PGCD des entiers naturels non nuls a et b est le dernier reste non nul obtenu par la méthode des divisions successives. Retrouver une combinaison linéaire après l’algorithme d’Euclide Exemple : PGCD(18480,9828) 18480 = 9828*1 + 8652 84 = 25*(18480-9828) – 22*9878 = 25*18480 – 47*9828 9828 = 8652*1 + 1176 84 = 3*8652 – 22*(9878 – 8652) = 25*8652 – 22*9878 8652 = 1176*7 + 420 84 = 3*(8652 - 7*1176) – 1176 = 3*8652 – 22*1176 1176 = 420*2 + 336 84 = 420 – (1176 – 2*420) = 3*420 – 1176 420 = 336*1 + 84 84 = 420 – 336 336 = 84*4 + 0 PGCD(18480,9828) = 84 On part de la dernière égalité et on remonte en remplaçant le reste de chaque division par sa combinaison linéaire. Diviseur commun à n entiers relatifs Si les entiers a0,a1,…an ne sont pas tous nuls, l’entier strictement positif ∆ qui engendre le sous-groupe a1ℤ + a2ℤ +…+ anℤ est par définition le PGCD de a0,a1,…an. On le note PGCD(a0, a1, … an) ou on écrit ∆ = a0 ∧ a1 ∧ … ∧ an PPCM de 2 entiers relatifs Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls, l’ensemble des multiples communs à a et b est un sous-groupe de (ℤ,+). L’entier naturel μ qui l’engendre est le plus petit multiple commun strictement positif. On l’appelle PPCM de a et de b. On note μ = PPCM(a,b) ou μ = a ∨ b * Pour montrer qu’un multiple m de a et b est le PPCM de a et b il faut montrer que m divise tous les multiples de a et b Théorème Quels que soient 2 entiers relatifs non nuls a et b on a l’égalité (a ∨ b) x (a ∧ b) = |ab| * (a ∨ b) = |ab| ssi (a ∧ b) = 1 * le PGCD divise le PPCM Multiples communs à n entiers relatifs L’ensemble des multiples communs à a1, a2, …, an est l’ensemble des multiples de leur PPCM * ∨ et ∧ sont des lois de composition interne dans ℤ* commutatives et associatives 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 1 Nombres premiers Nombres premiers entre eux Soient deux entiers relatifs a et b. On dit qu’ils sont premiers entre eux ssi a et b ont pour seuls diviseurs communs 1 et -1 c’est-à-dire si a ∧ b = 1 Théorème de Bachet-Bezout Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux ssi il existe (u,v) ∈ℤ² tel que au + bv = 1 (égalité de Bezout) Nombres premiers entre eux dans leur ensemble Soient n entiers relatifs a1,a2,…an. Les énoncés suivants sont équivalents : * a1, a2, … an ont pour seuls diviseurs communs -1 et 1 * a1, a2, … an ont pour PGCD 1 * Il existe des entiers relatifs u1,u2,…un tels que a1u1+a2u2+…+anun = 1 (égalité de Bezout) On dit alors que a1, a2, … an sont premiers entre eux dans leur ensemble Nombres premiers dans ℕ Un entier naturel est premier ssi il a exactement deux diviseurs dans ℕ (1 et lui-même) * 1 n’est pas premier (si 1 était premier la décomposition en nombre premier ne serait pas unique) Lemme d’Euclide Si un nombre premier divise le produit de deux entiers alors il divise l’un des deux entiers. Théorème (ou lemme) de Gauss Quels que soient les entiers relatifs a, b, d, si d divise ab et s’il est premier avec a alors d divise b. (généralisation du Lemme d’Euclide) Propriété des nombres premiers entre eux Soit (a,b,c) ∈ ℤ3 si a|c et b|c et a ∧ b = 1 alors ab | c Propriétés des nombres premiers Tout entier composé n a au moins un diviseur premier p tel que p²≤n Si p est premier alors il est premier avec tout entier qu’il ne divise pas Si deux nombres premiers sont distincts alors ils sont premiers entre eux (réciproque fausse) Si un nombre premier p divise un produit de facteurs premiers p 1p2 alors il est égal à l’un d’eux Décomposition d’un entier naturel en un produit de facteurs premiers Tout entier supérieur à 1 peut s’écrire de manière unique n = p1α1 p2α2 … pkαk p1,p2 … pk sont des entiers premiers naturels tous distincts ; les exposants α1,α2, …αk sont des entiers naturels non nuls La décomposition est unique à l’ordre près * Un entier relatif p est premier ssi il a exactement 4 diviseurs (1 -1 lui-même et son opposé) Tout entier relatif différent de 0, 1 et -1 peut être décomposé en produit de facteur premier mais la décomposition n’est pas unique 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 2 Idéaux de ℤ L’anneau ℤ est intègre et ses éléments inversibles sont +1 et -1. Toutes les propriétés arithmétiques de ℤ peuvent s’énoncer à travers celles des idéaux. Théorème – Sous–groupes ℤ Tout sous-groupe H de ℤ est monogène de la forme nℤ pour un unique n ∈ ℕ appelé générateur positif de H. Un entier m engendre alors H ssi on a m = ±n * 0ℤ = {0} et 1ℤ = ℤ Entiers associés Deux entiers m et n sont dit associés ssi ils sont égaux ou opposés. C'est-à-dire ssi m divise n et n divise m ou ssi les idéaux principaux nℤ et mℤ sont égaux Théorème Tout idéal de ℤ peut s’écrire de façon unique sous la forme aℤ avec a ∈ ℕ. L’entier a s’appelle le générateur positif ou nul de I. Théorème Le PGCD de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ + bℤ Le PPCM de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ ∩ bℤ 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 3 Groupe et anneau quotient ℤ/nℤ Définition – Relation de congruence modulo n Soit (x,y) ∈ ℤ2. On dit que x est congru à y modulo n et l’on écrit x ≡ y mod n, lorsque x – y appartient à nℤ, c'est-à-dire est un multiple de n * La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur ℤ * Tout entier x ∈ ℤ est congru modulo n à un unique élément de ⟦0, n-1⟧ qui est le reste de la division de x par n * La relation de congruence est compatible avec l’addition et le produit Définition – Ensemble quotient ℤ/nℤ On appelle ensemble quotient ℤ/nℤ l’ensemble des classes d’équivalence de ℤ pour la relation de congruence modulo n. On note usuellement x̅ la classe d’équivalence de l’entier x. x̅ = {x + nk|k ∈ ℤ} * L’ensemble ℤ/nℤ égal à {0̅, 1̅, … , ̅̅̅̅̅̅̅ n − 1} a n éléments * (ℤ/nℤ, +) est un groupe (le groupe quotient). Il est cyclique de cardinal n. Le morphisme de ℤ → ℤ/nℤ qui associe à tout entier sa classe d’équivalence est surjectif de noyau le sous-groupe nℤ * (ℤ/nℤ, +, .) est un anneau (l’anneau quotient). Si n est premier l’anneau est intègre et c’est donc un corps Proposition Tout élément x̅ de ℤ/nℤ est d’ordre fini et son ordre est n x∧n Un élément x̅ engendre ℤ/nℤ ssi x est premier avec n * Ces propositions sont vraies pour tout groupe cyclique G à n éléments Proposition La classe r̅ d’un entier r ∈ ℤ est inversible dans ℤ/nℤ ssi r et n sont premiers entre eux Proposition Soit n ∈ ℕ*. Les assertions suivantes sont équivalentes 1. l’entier n est premier 2. ℤ/nℤ est un corps 3. ℤ/nℤ est un anneau intègre Théorème des restes chinois Les entiers p et q sont premiers entre eux ssi ℤ/pℤ 𝗑 ℤ/qℤ est isomorphe à ℤ/pqℤ Corollaire Si n et m sont premiers entre eux alors pour tout (a, b) ∈ ℤ² k ≡ a mod n Il existe une solution k ∈ ℤ au système de congruences { k ≡ a mod m l ∈ ℤ vérifie ce système ssi l ≡ k mod nm Définition – Fonction indicatrice d’Euler On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction φ qui associe à tout entier n le nombre des entiers premiers avec n situés entre 1 et n. * C’est aussi le nombre d’éléments générateurs du groupe ℤ/nℤ et le nombre d’éléments inversibles de l’anneau ℤ/nℤ * Pour tout nombre premier on a φ(pk) = pk - pk-1 * Pour n et m premiers entre eux on a φ(mn) = φ(m)φ(n) * Pour n entier, de décomposition en facteurs premiers φ(n) = p1 k1 … pr kr on a φ(n) = n (1 − * Pour tout n ∈ ℕ\{0, 1} si a est inversible dans ℤ/nℤ alors a φ(n) 1 p1 ) … (1 − 1 pr ) = 1̅ (identité d’Euler) Petit théorème de Fermat Si p est premier alors ap ≡ a mod p 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 4 Théorème de Wilson Un entier p ∈ ℕ\{0, 1} est premier ssi (p − 1) ! + 1 ≡ 0 mod p 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 5 18/04/2017 Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 6