Arithmétique dans Z

⋇ Arithmétique dans ℤ ⋇
PGCD & PPCM
PGCD de 2 entiers relatifs
L’ensemble des diviseurs communs à 2 entiers relatifs non nuls a et b a un plus grand élément ∆ qu’on appelle le plus grand
diviseur commun à a et b. On note ∆ = PGCD(a,b) ou ∆ = a ∧ b
* Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire au + bv
* L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers relatifs non tous deux nuls est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD
* Pour montrer qu’un diviseur d de a et b est le PGCD de a et b il faut montrer que tous les diviseurs de a et b divisent d
Propriété du PGCD
(∀ (a, b, c) ∈ (ℤ*)3) ca ∧ cb=|c|(a ∧ b)
Algorithme d’Euclide
* Si (a, b) ∈ ℤ x ℕ* et si r est le reste de la division de a par b alors : a ∧ b = b ∧ r
on effectue successivement les divisions
Ce qui conduit aux résultats
b = bq + r et 0≤r<b
a ∧b= b ∧r
b = rq1 + r1 et 0≤r1<r
b ∧ r = r ∧ r1
r = rq1 + r2 et 0≤r2<r
r ∧ r1 = r 1 ∧ r2
…
…
rn-2 = rn-1qn + rn et rn = 0 et rn-1≠0
rn-2 ∧ rn-1 = r n-1 ∧ r n = rn-1
* Le PGCD des entiers naturels non nuls a et b est le dernier reste non nul obtenu par la méthode des divisions successives.
Retrouver une combinaison linéaire après l’algorithme d’Euclide
Exemple : PGCD(18480,9828)
18480 = 9828*1 + 8652
84 = 25*(18480-9828) – 22*9878 = 25*18480 – 47*9828
9828 = 8652*1 + 1176
84 = 3*8652 – 22*(9878 – 8652) = 25*8652 – 22*9878
8652 = 1176*7 + 420
84 = 3*(8652 - 7*1176) – 1176 = 3*8652 – 22*1176
1176 = 420*2 + 336
84 = 420 – (1176 – 2*420) = 3*420 – 1176
420 = 336*1 + 84
84 = 420 – 336
336 = 84*4 + 0
PGCD(18480,9828) = 84
On part de la dernière égalité et on remonte en remplaçant le reste de chaque division par sa combinaison linéaire.
Diviseur commun à n entiers relatifs
Si les entiers a0,a1,…an ne sont pas tous nuls, l’entier strictement positif ∆ qui engendre le sous-groupe a1ℤ + a2ℤ +…+ anℤ est
par définition le PGCD de a0,a1,…an. On le note PGCD(a0, a1, … an) ou on écrit ∆ = a0 ∧ a1 ∧ … ∧ an
PPCM de 2 entiers relatifs
Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls, l’ensemble des multiples communs à a et b est un sous-groupe de (ℤ,+). L’entier
naturel μ qui l’engendre est le plus petit multiple commun strictement positif. On l’appelle PPCM de a et de b. On note μ =
PPCM(a,b) ou μ = a ∨ b
* Pour montrer qu’un multiple m de a et b est le PPCM de a et b il faut montrer que m divise tous les multiples de a et b
Théorème
Quels que soient 2 entiers relatifs non nuls a et b on a l’égalité (a ∨ b) x (a ∧ b) = |ab|
* (a ∨ b) = |ab| ssi (a ∧ b) = 1
* le PGCD divise le PPCM
Multiples communs à n entiers relatifs
L’ensemble des multiples communs à a1, a2, …, an est l’ensemble des multiples de leur PPCM
* ∨ et ∧ sont des lois de composition interne dans ℤ* commutatives et associatives
18/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 1
Nombres premiers
Nombres premiers entre eux
Soient deux entiers relatifs a et b. On dit qu’ils sont premiers entre eux ssi a et b ont pour seuls diviseurs communs 1 et -1
c’est-à-dire si a ∧ b = 1
Théorème de Bachet-Bezout
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux ssi il existe (u,v) ∈ℤ² tel que au + bv = 1 (égalité de Bezout)
Nombres premiers entre eux dans leur ensemble
Soient n entiers relatifs a1,a2,…an. Les énoncés suivants sont équivalents :
* a1, a2, … an ont pour seuls diviseurs communs -1 et 1
* a1, a2, … an ont pour PGCD 1
* Il existe des entiers relatifs u1,u2,…un tels que a1u1+a2u2+…+anun = 1 (égalité de Bezout)
On dit alors que a1, a2, … an sont premiers entre eux dans leur ensemble
Nombres premiers dans ℕ
Un entier naturel est premier ssi il a exactement deux diviseurs dans ℕ (1 et lui-même)
* 1 n’est pas premier (si 1 était premier la décomposition en nombre premier ne serait pas unique)
Lemme d’Euclide
Si un nombre premier divise le produit de deux entiers alors il divise l’un des deux entiers.
Théorème (ou lemme) de Gauss
Quels que soient les entiers relatifs a, b, d, si d divise ab et s’il est premier avec a alors d divise b.
(généralisation du Lemme d’Euclide)
Propriété des nombres premiers entre eux
Soit (a,b,c) ∈ ℤ3 si a|c et b|c et a ∧ b = 1 alors ab | c
Propriétés des nombres premiers
Tout entier composé n a au moins un diviseur premier p tel que p²≤n
Si p est premier alors il est premier avec tout entier qu’il ne divise pas
Si deux nombres premiers sont distincts alors ils sont premiers entre eux (réciproque fausse)
Si un nombre premier p divise un produit de facteurs premiers p 1p2 alors il est égal à l’un d’eux
Décomposition d’un entier naturel en un produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 peut s’écrire de manière unique n = p1α1 p2α2 … pkαk
p1,p2 … pk sont des entiers premiers naturels tous distincts ; les exposants α1,α2, …αk sont des entiers naturels non nuls
La décomposition est unique à l’ordre près
* Un entier relatif p est premier ssi il a exactement 4 diviseurs (1 -1 lui-même et son opposé)
Tout entier relatif différent de 0, 1 et -1 peut être décomposé en produit de facteur premier mais la décomposition n’est pas
unique
18/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 2
Idéaux de ℤ
L’anneau ℤ est intègre et ses éléments inversibles sont +1 et -1.
Toutes les propriétés arithmétiques de ℤ peuvent s’énoncer à travers celles des idéaux.
Théorème – Sous–groupes ℤ
Tout sous-groupe H de ℤ est monogène de la forme nℤ pour un unique n ∈ ℕ appelé générateur positif de H. Un entier m
engendre alors H ssi on a m = ±n
* 0ℤ = {0} et 1ℤ = ℤ
Entiers associés
Deux entiers m et n sont dit associés ssi ils sont égaux ou opposés. C'est-à-dire ssi m divise n et n divise m ou ssi les idéaux
principaux nℤ et mℤ sont égaux
Théorème
Tout idéal de ℤ peut s’écrire de façon unique sous la forme aℤ avec a ∈ ℕ. L’entier a s’appelle le générateur positif ou nul de
I.
Théorème
Le PGCD de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ + bℤ
Le PPCM de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ ∩ bℤ
18/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 3
Groupe et anneau quotient ℤ/nℤ
Définition – Relation de congruence modulo n
Soit (x,y) ∈ ℤ2. On dit que x est congru à y modulo n et l’on écrit x ≡ y mod n, lorsque x – y appartient à nℤ, c'est-à-dire est un
multiple de n
* La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur ℤ
* Tout entier x ∈ ℤ est congru modulo n à un unique élément de ⟦0, n-1⟧ qui est le reste de la division de x par n
* La relation de congruence est compatible avec l’addition et le produit
Définition – Ensemble quotient ℤ/nℤ
On appelle ensemble quotient ℤ/nℤ l’ensemble des classes d’équivalence de ℤ pour la relation de congruence modulo n.
On note usuellement x̅ la classe d’équivalence de l’entier x. x̅ = {x + nk|k ∈ ℤ}
* L’ensemble ℤ/nℤ égal à {0̅, 1̅, … , ̅̅̅̅̅̅̅
n − 1} a n éléments
* (ℤ/nℤ, +) est un groupe (le groupe quotient). Il est cyclique de cardinal n. Le morphisme de ℤ → ℤ/nℤ qui associe à tout
entier sa classe d’équivalence est surjectif de noyau le sous-groupe nℤ
* (ℤ/nℤ, +, .) est un anneau (l’anneau quotient). Si n est premier l’anneau est intègre et c’est donc un corps
Proposition
Tout élément x̅ de ℤ/nℤ est d’ordre fini et son ordre est
n
x∧n
Un élément x̅ engendre ℤ/nℤ ssi x est premier avec n
* Ces propositions sont vraies pour tout groupe cyclique G à n éléments
Proposition
La classe r̅ d’un entier r ∈ ℤ est inversible dans ℤ/nℤ ssi r et n sont premiers entre eux
Proposition
Soit n ∈ ℕ*. Les assertions suivantes sont équivalentes
1. l’entier n est premier
2. ℤ/nℤ est un corps
3. ℤ/nℤ est un anneau intègre
Théorème des restes chinois
Les entiers p et q sont premiers entre eux ssi ℤ/pℤ 𝗑 ℤ/qℤ est isomorphe à ℤ/pqℤ
Corollaire
Si n et m sont premiers entre eux alors pour tout (a, b) ∈ ℤ²
k ≡ a mod n
Il existe une solution k ∈ ℤ au système de congruences {
k ≡ a mod m
l ∈ ℤ vérifie ce système ssi l ≡ k mod nm
Définition – Fonction indicatrice d’Euler
On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction φ qui associe à tout entier n le nombre des entiers premiers avec n situés
entre 1 et n.
* C’est aussi le nombre d’éléments générateurs du groupe ℤ/nℤ et le nombre d’éléments inversibles de l’anneau ℤ/nℤ
* Pour tout nombre premier on a φ(pk) = pk - pk-1
* Pour n et m premiers entre eux on a φ(mn) = φ(m)φ(n)
* Pour n entier, de décomposition en facteurs premiers φ(n) = p1 k1 … pr kr on a φ(n) = n (1 −
* Pour tout n ∈ ℕ\{0, 1} si a est inversible dans ℤ/nℤ alors a
φ(n)
1
p1
) … (1 −
1
pr
)
= 1̅ (identité d’Euler)
Petit théorème de Fermat
Si p est premier alors ap ≡ a mod p
18/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 4
Théorème de Wilson
Un entier p ∈ ℕ\{0, 1} est premier ssi (p − 1) ! + 1 ≡ 0 mod p
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Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 5
18/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 6