Feuille 5 - IMJ-PRG

LM360 Math´ematiques 2008
TD de topologie et calcul diff´erentiel– Feuille 5:
Compacit´e, Connexit´e
Groupe de TD 5
Compacit´e
Exercice 1. Soit Eun espace topologique discret (muni de la distance d(x, y)=1
si x6=y). Quelles sont ses parties compactes ? Quelles sont ses parties ferm´ees et
born´ees ?
Exercice 2. Soit Kune partie compacte incluse dans le demi-plan {(x, y)/ y > 0}
de R2. Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout (x, y)∈Kon ait y>r
a) en utilisant la propri´et´e de Bolzano-Weierstrass,
b) en consid´erant les parties {(x, y)∈K/ y > t},
La propri´et´e est-elle encore vraie si l’on suppose seulement Kferm´e ?
Exercice 3. Soit Eun espace topologique s´epar´e et (an)nune suite de Econ-
vergeant vers a. Montrer que {an/ n ∈N}∪{a}est compact dans E.
Exercice 4. Soit Kun espace m´etrique compact.
a) Montrer qu’une suite (an)n∈Ndans Kconverge si et seulement si elle admet (au
plus) une valeur d’adh´erence.
b) Soient (an)n∈N, (bn)n∈Ndeux suites dans [0,1]. On supose que la suite (anbn)n∈N
converge vers 1. Montrer que (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent.
Exercice 5. Soit Eun espace topologique s´epar´e.
a) Soit Cune partie compacte de Eet xun point du compl´ementaire de C.
Montrer qu’il existe deux ouverts Oet O0disjoints de Etels que C⊂Oet
x∈O0.
b) Soit Cet C0deux parties compactes disjointes de E, montrer qu’il existe Oet
O0ouverts disjoints de Etels que C⊂Oet C0⊂O0.
Exercice 6. Soit (E, d) un espace m´etrique, Aet Bdeux parties de E. On d´efinit
d(A, B) = inf{d(x, y)/ x ∈Aet y∈B}.
Montrer que si Aet Bsont disjoints et compacts alors d(A, B)6= 0. Montrer que
cette propri´et´e est encore vraie si l’on suppose seulement que Aest compact et B
ferm´e, et devient fausse si l’on suppose que Aet Bsont ferm´es.
Exercice 7. Soit (K, d) un espace m´etrique compact et f:K→K.
a) On suppose que, pour tout x, y ∈K,d(f(x), f(y)) = d(x, y). Montrer que fest
surjective. 1
1Indication: si x∈K, montrer un utilisant la suite (fn(x)) que xest adh´erent `a f(K).
1

b) On suppose que fest une dilatation (i.e. pour tout x, y ∈K,d(f(x), f(y)) ≥
d(x, y)) continue. Montrer que fest une isom´etrie2surjective.
Exercice 8 (Une compactification de R2).Soit S2
+={(x, y, z)/ x2+y2+z2=
1 et z>0}l’h´emisph`ere sup´erieur de la boule unit´e de R3. On note i:R2→S2
+
l’application qui associe au point de coordonn´ees (x, y) le point de S2
+sur la droite
reliant (1, x, y) `a l’origine de R3.
a) V´erifier qu’il s’agit d’une compactification de R2, c’est `a dire que i(R2) est dense
dans S2
+et que iest un hom´eomorphisme de R2sur i(R2) (muni de la topologie
induite par S2
+).
b) A quelle condition une suite i(xn, yn) converge-t-elle vers le point (cos θ, sin θ, 0)
de S2
+?
Espaces connexes
Exercice 9. Soit Aune partie connexe d’un espace topologique X. Montrer que
toute partie Bde Xtelle que A⊂B⊂Aest connexe.
Exercice 10. Soient Aet Bdeux parties connexes d’un espace topologique. Mon-
trer que si A∩Bn’est pas vide, alors A∪Best connexe. La conclusion reste-t-elle
vraie si l’on suppose seulement que A∩B6=∅?
Exercice 11. Soit Bune partie connexe d’un espace topologique X. Soit Aune
partie de Xtelle que Brencontre `a la fois Aet le compl´ementaire de A. Montrer
que l’intersection de Bavec la fronti`ere de Aest non vide.
En particulier, toute partie ni vide ni pleine d’un espace topologique connexe
est de fronti`ere non vide.
Exercice 12. Soient Yun espace topologique discret et Xun espace topologique
connexe. Montrer que toute application continue f:X→Yest constante.
Exercice 13. a) Montrer qu’un espace topologique Xest connexe si et seulement
si toute fonction continue f:X→ {0,1}est constante.
b) Utiliser a) pour d´emontrer qu’une r´eunion quelconque de connexes ayant un
point commun est connexe.
c) L’espace GL(n, R) des matrices inversibles (muni de la topologie induite) dans
l’espace des matrices M(n, R)∼
=Rn2est-il connexe ?
Exercice 14. a) On consid`ere que Qet son compl´ementaire sont munis de la
topologie induite par leur inclusion dans R. Quelles sont les parties connexes
de Qet de son compl´ementaire ?
b) Existe-t-il une fonction continue f:R→Rtelle que f(Q)⊂Qcet f(Qc)⊂Q?
Exercice 15. Consid´erons les peignes de R2:
P1=R× {1}∪[
x∈Q{x} × [0,1] et
P2=R× {−1}∪[
x∈Q{x+√2} × [−1,0].
V´erifier que P1et P2sont des parties connexes de R2. En d´eduire `a l’aide de l’exercice
10 que P1∪P2est connexe. Montrer par contre que P1∪P2n’est pas connexe par
arc.
2Indication: on pourra consid´erer les suites (fn(x)) et (fn(y)) pour montrer que d(f(x), f(y)) ≤
d(x, y)
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