Feuille 5 - IMJ-PRG

LM360
Mathématiques
2008
TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 5:
Compacité, Connexité
Groupe de TD 5
Compacité
Exercice 1. Soit E un espace topologique discret (muni de la distance d(x, y) = 1
si x 6= y). Quelles sont ses parties compactes ? Quelles sont ses parties fermées et
bornées ?
Exercice 2. Soit K une partie compacte incluse dans le demi-plan {(x, y)/ y > 0}
de R2 . Montrer qu’il existe r > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ K on ait y > r
a) en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass,
b) en considérant les parties {(x, y) ∈ K/ y > t},
La propriété est-elle encore vraie si l’on suppose seulement K fermé ?
Exercice 3. Soit E un espace topologique séparé et (an )n une suite de E convergeant vers a. Montrer que {an / n ∈ N} ∪ {a} est compact dans E.
Exercice 4. Soit K un espace métrique compact.
a) Montrer qu’une suite (an )n∈N dans K converge si et seulement si elle admet (au
plus) une valeur d’adhérence.
b) Soient (an )n∈N , (bn )n∈N deux suites dans [0, 1]. On supose que la suite (an bn )n∈N
converge vers 1. Montrer que (an )n∈N et (bn )n∈N convergent.
Exercice 5. Soit E un espace topologique séparé.
a) Soit C une partie compacte de E et x un point du complémentaire de C.
Montrer qu’il existe deux ouverts O et O0 disjoints de E tels que C ⊂ O et
x ∈ O0 .
b) Soit C et C 0 deux parties compactes disjointes de E, montrer qu’il existe O et
O0 ouverts disjoints de E tels que C ⊂ O et C 0 ⊂ O0 .
Exercice 6. Soit (E, d) un espace métrique, A et B deux parties de E. On définit
d(A, B) = inf{d(x, y)/ x ∈ A et y ∈ B}.
Montrer que si A et B sont disjoints et compacts alors d(A, B) 6= 0. Montrer que
cette propriété est encore vraie si l’on suppose seulement que A est compact et B
fermé, et devient fausse si l’on suppose que A et B sont fermés.
Exercice 7. Soit (K, d) un espace métrique compact et f : K → K.
a) On suppose que, pour tout x, y ∈ K, d(f (x), f (y)) = d(x, y). Montrer que f est
surjective. 1
1
Indication: si x ∈ K, montrer un utilisant la suite (f n (x)) que x est adhérent à f (K).
1
b) On suppose que f est une dilatation (i.e. pour tout x, y ∈ K, d(f (x), f (y)) ≥
d(x, y)) continue. Montrer que f est une isométrie2 surjective.
Exercice 8 (Une compactification de R2 ). Soit S2+ = {(x, y, z)/ x2 + y 2 + z 2 =
1 et z > 0} l’hémisphère supérieur de la boule unité de R3 . On note i : R2 → S2+
l’application qui associe au point de coordonnées (x, y) le point de S2+ sur la droite
reliant (1, x, y) à l’origine de R3 .
a) Vérifier qu’il s’agit d’une compactification de R2 , c’est à dire que i(R2 ) est dense
dans S2+ et que i est un homéomorphisme de R2 sur i(R2 ) (muni de la topologie
induite par S2+ ).
b) A quelle condition une suite i(xn , yn ) converge-t-elle vers le point (cos θ, sin θ, 0)
de S2+ ?
Espaces connexes
Exercice 9. Soit A une partie connexe d’un espace topologique X . Montrer que
toute partie B de X telle que A ⊂ B ⊂ A est connexe.
Exercice 10. Soient A et B deux parties connexes d’un espace topologique. Montrer que si A ∩ B n’est pas vide, alors A ∪ B est connexe. La conclusion reste-t-elle
vraie si l’on suppose seulement que A ∩ B 6= ∅ ?
Exercice 11. Soit B une partie connexe d’un espace topologique X. Soit A une
partie de X telle que B rencontre à la fois A et le complémentaire de A. Montrer
que l’intersection de B avec la frontière de A est non vide.
En particulier, toute partie ni vide ni pleine d’un espace topologique connexe
est de frontière non vide.
Exercice 12. Soient Y un espace topologique discret et X un espace topologique
connexe. Montrer que toute application continue f : X → Y est constante.
Exercice 13. a) Montrer qu’un espace topologique X est connexe si et seulement
si toute fonction continue f : X → {0, 1} est constante.
b) Utiliser a) pour démontrer qu’une réunion quelconque de connexes ayant un
point commun est connexe.
c) L’espace GL(n, R) des matrices inversibles (muni de la topologie induite) dans
2
l’espace des matrices M (n, R) ∼
= Rn est-il connexe ?
Exercice 14. a) On considère que Q et son complémentaire sont munis de la
topologie induite par leur inclusion dans R. Quelles sont les parties connexes
de Q et de son complémentaire ?
b) Existe-t-il une fonction continue f : R → R telle que f (Q) ⊂ Qc et f (Qc ) ⊂ Q ?
Exercice 15. Considérons les peignes de R2 :
[
P1 = R × {1} ∪
{x} × [0, 1]
et
x∈Q
√
[
P2 = R × {−1} ∪
{x + 2} × [−1, 0].
x∈Q
Vérifier que P1 et P2 sont des parties connexes de R2 . En déduire à l’aide de l’exercice
10 que P1 ∪ P2 est connexe. Montrer par contre que P1 ∪ P2 n’est pas connexe par
arc.
2
Indication: on pourra considérer les suites (f n (x)) et (f n (y)) pour montrer que d(f (x), f (y)) ≤
d(x, y)
2