DM : Revêtements des groupes topologiques

Groupe fondamental et revêtements
pour le lundi 23 février 2015
DM : Revêtements des groupes topologiques
Soit G un groupe topologique 1 connexe et localement connexe par arcs. On note e son
e → G un revêtement connexe et ẽ ∈ p−1 (e). L’objet du problème
élément neutre. Soit p : G
e avec pour élément neutre ẽ et
est de définir une structure de groupe topologique sur G
telle que p soit un morphisme de groupes.
1. Montrer que p est galoisien.
2. On définit deux applications (continues) m et i par
e×G
e →
G
G
m:
i:
(a, b) 7→ p(a)p(b)
:
e →
G
G
a 7→ p(a)−1
e×G
e→G
e telles
(i) Montrer qu’il existe un unique application continue m̃ : G
que p ◦ m̃ = m et m̃(ẽ, ẽ) = ẽ.
e → G
e telle que
(ii) Montrer qu’il existe une unique application continue ĩ : G
p ◦ ĩ = i et ĩ(ẽ) = ẽ.
3. Montrer les relations :
m̃(m̃(a, b), c)) = m̃(a, m̃(b, c)) et m̃(ĩ(a), a) = e d’élément neutre ẽ, "d’ap4. En déduire que m̃ définit une structure de groupes sur G
plication inverse" ĩ et telle que p soit un morphisme de groupes.
5. Soit ẽ0 un autre élément de p−1 (e). La construction précédente fournit une autre
e d’élément neutre ẽ0 notée m̃0 . Montrer qu’il existe un
structure de groupe sur G
unique automorphisme g du revêtement p tel que g(ẽ) = ẽ0 et que c’est un isomore m̃) → (G,
e m̃0 ).
phisme de groupes (G,
6.
(i) Déterminer toutes les structures de groupe topologique sur R (muni de la
topologie usuelle) telles que l’application :
R → S1
p:
t 7→ ei2πt
soit un morphisme continu de groupes.
(ii) Montrer qu’il existe un groupe topologique compact, connexe par arcs et
simplement connexe, noté Spin(3), et un revêtement
p : Spin(3) → SO(3, R)
qui est un morphisme continu de groupes. À quoi est isomorphe le noyau de p ? A
quel espace bien connu Spin(3) est-il homéomorphe ?
1. C’est-à-dire que G est muni d’une topologie pour laquelle les applications (g, h) 7→ gh et g 7→ g −1
sont continues.
ENS Lyon
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L3