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ALGEBRE LINEAIRE
Adolphe CODJIA
L1, Sciences &Techniques
11 Février 2016

Table des matières
1 MATRICES 2
1.1 L’espace vectoriel des matrices de type (p; q)sur un corps Kcommutatif . 2
1.2 Di¤érents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 OPERATIONS SUR LES MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Egalité de deux matrices de même type . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Somme de deux matrices de même type . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Les opérations élémentaires sur les matrices avec les matrices élémentaires 9
1.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 DÉTERMINANTS 13
2.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Calcul d’un déterminant d’ordre 3 par la méthode de Sarrus . . . . 13
2.2.2 Calcul du déterminant par le développement suivant une ligne ou
unecolonne. .............................. 14
2.2.3 Calcul du déterminant d’une matrice carrée d’ordre nsupérieur ou
égalà3 ................................. 15
2.3 Propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Propriétés de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Comatrice.................................... 20
2.5.1 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode des cofacteurs . . 21
2.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 RÉSOLUTION D’UN SYSTEME LINÉAIRE 23
3.1 Résolution du système (S)........................... 24
3.1.1 Résolution avec la matrice augmentée . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Système quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Systèmes échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.4 Méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Méthode de résolution d’un système de Cramer par les déterminants . . . . 28
3.3 Calcul de l’inverse d’une matrice par la résolution de systèmes . . . . . . . 29
1

TABLE DES MATIÈRES
4 ESPACES VECTORIELS 30
4.1 Dé…nition d’un espace vectoriel sur un corps commutatif . . . . . . . . . . 30
4.2 Dé…nition générale d’un espace vectoriel sur un corps commutatif (K;~;|)31
4.2.1 Exemples ................................ 32
4.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Exemples de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Suite liée de vecteurs. Suite libre de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Espaces vectoriels de dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.1 Espace vectoriel ayant un nombre …ni de générateurs . . . . . . . . 33
4.5.2 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension …nie . . . . . . . 35
4.6.1 Rang d’une suite …nie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Produit de deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. . . 36
5 APPLICATIONS LINÉAIRES 37
5.1 Image et Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Le théorème noyau-image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1 L’espace vectoriel LK(E; F )...................... 40
5.2.2 Composition des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Espace vectoriel quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.1 Construction de l’espace vectoriel quotient de Epar F....... 40
5.3.2 Problème ................................ 41
5.4 Matrice d’une application linéaire f:E!F................. 41
5.4.1 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2 Déterminant d’une suite de vecteurs d’un K-espace vectoriel Ede
dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.3 Déterminant et trace d’un endomorphisme sur un K-espace vectoriel
Ede dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i

INTRODUCTION
Au commencement était La Géométrie des Grecs(et l’Arithmétique),
puis vint René Descartes qui, avec son système de repère et de coordonnées,
a donné un autre aspect de la géométrie en terme d’algèbre voire
d’algèbre linéaire quitte à se passer de l’intuition géométrique immédiate.
L’algèbre est la science des équations, cette science des équations consiste à :
1.la recherche de l’ensemble des solutions d’équations
(avec le constat qu’il y a stabilité de cet ensemble moyennant
certaines lois de compositions internes ou externes, on a pensé au point 2.) ;
2.Structuration de l’ensemble des solutions d’équations, c’est-à-dire munir
cet ensemble de loi de composition interne (et/ou) de loi de composition externe
(moyennant un ou des ensembles structurés) avec des propriétés avérées.
3.Etudier les applications entre des ensembles structurés de même type
avec la propriété de la transparence des structures en présence,
ces applications sont appélées homomorphismes ;
4.Structuration de l’ensemble des homomorphismes.
Le nom de l’algèbre est lié au nom des équations auquelles on a a¤aire.
Exemple : Les équations linéaires constituent les ingrédients de l’algèbre linéaire,
les équations polynômiales constituent les ingrédients de l’algèbre des polynômes.
Le rôle de l’algèbre linéaire est de traiter des équations linéaires, et la structuration
naturelle de l’ensemble des solutions d’équations linéaires a
une structure d’espace vectoriel.
En ce qui concerne ce cours, c’est à la fois une invitation au voyage dans les contrées
de l’algèbre linéaire, et un accompagnement à la gare d’où l’on embarque pour
le voyage en question. Bon voyage !
1

Chapitre 1
MATRICES
1.1 L’espace vectoriel des matrices de type (p; q)sur
un corps Kcommutatif
Soit (K;+;)un corps commutatif.
Dé…nition pet qétant deux entiers, p1; q 1;
une matrice pqou de type (p; q)est, par dé…nition, un tableau :
A=0
B
B
B
@
a11 a12    a1q
a21 a22    a2q
.
.
..
.
.
ap1ap2   apq
1
C
C
C
A=2
6
6
6
4
a11 a12    a1q
a21 a22    a2q
.
.
..
.
.
ap1ap2   apq
3
7
7
7
5
àplignes et qcolonnes d’éléments aij 2K;l’élément aij s’appelle un terme,
ou coe¢ cient de la matrice A;l’indice icorrespond à la ligne, l’indice jà la colonne.
On emploie aussi la notation
A= (aij )1ip
1jq
.
Ceci est la 2eme ligne : a21 a22    a2q; la 2eme colonne est :
a12
a22
.
.
.
ap2
.
Exemple
A=2
6
6
4
1 2 3 4 5 6
27
21 911 3
32 0 8 9 15
4 75 1
37 i 5 + i
3
7
7
5c’est une matrice de type (4;6)
Ici l’élément a14 = 4,a22 =,a35 = 9,a33 = 0,a43 =1
3,a46 = 5 + i.
1.2 Di¤érents types de matrices
a) Matrice uniligne : p= 1
M=a11 a12    a1q:
Mest de type (1; q).
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