Chapitre XV Applications linéaires Table des mati`eres 1 Notion d

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre XV
Applications lin´eaires
Table des mati`eres
1 Notion d’application lin´eaire 1
2 Op´erations sur les applications lin´eaires 2
3 Noyau d’une application lin´eaire 4
4´ Equations lin´eaires homog`enes 5
5´ Equations lin´eaires 6
6 Image d’une application lin´eaire 7
7 Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme 7
8 Applications lin´eaires remarquables 9
8.1 Homoth´eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.2 Rappels sur les suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.3 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.4 Sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Notations
•La lettre Kd´esigne Rou C.
•Les lettres E,Fet Gd´esignent des K-espaces vectoriels.
1 Notion d’application lin´eaire
D´efinition 1 (Application lin´eaire)
Soit ϕ:E→Fune application. On dit que ϕest lin´eaire si :
1. ϕrespecte les additions
∀(u1, u2)∈E2ϕ(u1+u2) = ϕ(u1) + ϕ(u2).
2. ϕrespecte les multiplications par un scalaire
∀λ∈K∀u∈E ϕ(λu) = λϕ(u).
Th´eor`eme 1 (Condition n´ecessaire pour qu’une application soit lin´eaire)
Soit ϕ:E→Fune application.
ϕlin´eaire ⇒ϕ(0E) = 0F.
1

✍Preuve du th´eor`eme 1
✍Exemple 1
1. Montrer que l’application
ϕ:R2→R3; (x, y)7→ (x−y, 2x−3y, 5x+ 11y)
est lin´eaire.
2. Montrer que l’application
ϕ:R2→R2; (x, y)7→ (x+y, x −y+ 2)
n’est pas lin´eaire.
3. Montrer que l’application
ϕ:R2→R; (x, y)7→ xy
n’est pas lin´eaire.
Th´eor`eme 2 (Crit`ere pour qu’une application soit lin´eaire)
Une application ϕ:E→Fest lin´eaire si et seulement si elle respecte les combinaisons lin´eaires, i.e. si
et seulement si :
∀(λ1, λ2)∈K2∀(u1, u2)∈E2ϕ(λ1u1+λ2u2) = λ1ϕ(u1) + λ2ϕ(u2).
✍Preuve du th´eor`eme 2
D´efinition 2 (Forme lin´eaire sur un K-espace vectoriel)
Une forme lin´eaire sur Eest une application lin´eaire de Edans K.
✍Exemple 2
1. Montrer que l’application
T:C0([−1,1],R)→R;f7→ Z1
−1
xf(x)dx
est une forme lin´eaire sur C0([−1,1],R).
2. Donner un exemple de forme lin´eaire sur R2.
2 Op´erations sur les applications lin´eaires
D´efinition 3 (L’ensemble L(E, F ))
L’ensemble des applications lin´eaires de Edans Fest not´e L(E, F ).
Th´eor`eme 3 (L’application nulle de Edans Fest lin´eaire)
L’application nulle de Edans F, not´ee 0L(E,F ), et d´efinie par :
0L(E,F ):E→F;u7→ 0F
est lin´eaire.
2

✍Preuve du th´eor`eme 3
Th´eor`eme 4 (Addition de deux applications lin´eaires)
Soient f:E→Fet g:E→Fdeux applications lin´eaires. Alors l’application f+gd´efinie par :
f+g:E→F;u7→ f(u) + g(u)
est une application lin´eaire de Edans F.
✍Preuve du th´eor`eme 4
Th´eor`eme 5 (Multiplication d’une application lin´eaire par un scalaire)
Soit f:E→Fune application lin´eaire et soit λ∈K. Alors l’application λ.f d´efinie par :
λ.f :E→F;u7→ λ.f(u)
est lin´eaire.
✍Preuve du th´eor`eme 5
Th´eor`eme 6 (Structure de K-espace vectoriel sur L(E, F ))
Si f:E→Fet g:E→Fsont deux applications lin´eaires, alors on a d´efini une application f+g:E→F
qui est, elle aussi, lin´eaire (cf. Thm 4). Cela induit une l.c.i. sur L(E, F ):
+ : L(E, F )× L(E, F )→ L(E, F ) ; (f, g)7→ f+g
Si λ∈Ket si f:E→Fest une application lin´eaire, alors on a d´efini une application λ.f :E→Fqui
est lin´eaire (cf. Thm 5). Cela induit une l.c.e. `a domaine d’op´erateurs dans K:
.:K× L(E, F )→ L(E, F ) ; (λ, f )7→ λ.f
Le triplet :
(L(E, F ),+, .)
est un K-espace vectoriel, dont le vecteur nul est l’application nulle 0L(E,F )de Edans F(cf. Thm 3).
✍Exemple 3
Appliquer le th´eor`eme 6 pour donner de nouveaux exemples de K-espaces vectoriels.
✍Exemple 4
1. Montrer que les applications
f:R3→R2; (x, y, z)7→ (x+ 2y, x +y−z)
g:R3→R2; (x, y, z)7→ (x+z, 3x−5y)
appartiennent `a L(R3,R2).
2. Calculer les applications f+g,3.f et −f.
Th´eor`eme 7 (Composition d’applications lin´eaires)
Soient f:E→Fet g:F→Gdeux applications lin´eaires. Alors l’application :
g◦f:E→G;u7→ g(f(u))
est lin´eaire.
3

✍Preuve du th´eor`eme 7
✍Exemple 5
On note C∞(R,R)l’ensemble des fonctions de Rdans Rqui sont ind´efiniment d´erivables.
1. Montrer que C∞(R,R)est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel de fonctions F(R,R).
2. Justifier que l’application
d:C∞(R,R)→ C∞(R,R) ; f7→ f′
est bien d´efinie et lin´eaire.
3. En d´eduire que l’application
ϕ:C∞(R,R)→ C∞(R,R) ; f7→ f′′ −7f′+ 12f
est lin´eaire.
3 Noyau d’une application lin´eaire
D´efinition 4 (Noyau d’une application lin´eaire)
Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire. Le noyau de ϕ, not´e Ker(ϕ), est l’ensemble des ´el´ements de E
qui ont une image nulle par ϕ. Autrement dit :
Ker(ϕ) = {u∈E:ϕ(u) = 0F}
=ϕ−1({0F}).
✍Exemple 6
1. On consid`ere `a nouveau l’application
f:R3→R2; (x, y, z)7→ (x+ 2y, x +y−z).
Cette application est lin´eaire (cf. exemple 4). D´eterminer le noyau de f.
2. On consid`ere `a nouveau l’application
ϕ:C∞(R,R)→ C∞(R,R) ; f7→ f′′ −7f′+ 12f.
Cette application est lin´eaire (cf. exemple 5). D´eterminer le noyau de ϕ.
Th´eor`eme 8 (Structure du noyau d’une application lin´eaire)
Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire . Alors Ker(ϕ)est un sous-espace vectoriel de E.
✍Preuve du th´eor`eme 8
Th´eor`eme 9 (Crit`ere d’injectivit´e pour une application lin´eaire)
Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire. On a :
ϕest injective ⇔Ker(ϕ) = {0E}.
✍Preuve du th´eor`eme 9
✍Exemple 7
1. Soit l’application
ϕ:R2→R2; (x1, x2)7→ (x1+x2, x1−x2).
Montrer que l’application ϕest lin´eaire et injective.
4

2. On consid`ere `a nouveau la forme lin´eaire
T:C0([−1,1],R)→R;f7→ Z1
−1
xf(x)dx
introduite dans l’exemple 2.
(a) Interpr´eter g´eom´etriquement cette application lin´eaire.
(b) En d´eduire un exemple ≪simple ≫de fonction f∈ C0([−1,1],R)non identiquement nulle sur
[−1,1] et telle que T(f) = 0.
(c) L’application Test-elle injective ?
4´ Equations lin´eaires homog`enes
D´efinition 5 (´ Equation lin´eaire homog`ene)
Une ´equation lin´eaire homog`ene est une ´equation ≪de la forme ≫
(E) : ϕ(u) = 0
o`u :
1. ϕest une application lin´eaire ;
2. 0est le vecteur nul du but de ϕ;
3. u, inconnue de (E), est un vecteur de la source de ϕ.
Observation 1
On conserve les notation de la pr´ec´edente d´efinition. L’ensemble solution Sol(E)de (E)est, par d´efinition
de Ker(ϕ), le noyau de ϕ, i.e. :
Sol(E)=Ker(ϕ).
Tout ensemble solution d’une ´equation lin´eaire homog`ene est donc le noyau d’une application lin´eaire.
✍Exemple 8
1. Donner un exemple de syst`eme lin´eaire homog`ene et montrer que c’est une ´equation lin´eaire ho-
mog`ene au sens de la d´efinition 5.
2. Donner un exemple d’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene et montrer que c’est une ´equation
lin´eaire homog`ene au sens de la d´efinition 5.
Th´eor`eme 10 (Propri´et´es de l’ensemble solution d’une ´equation lin´eaire homog`ene)
Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire. On consid`ere l’´equation lin´eaire
(E) : ϕ(u) = 0F
d’inconnue u∈E.
1. Structure de l’ensemble solution Sol(E)de (E)
L’ensemble Sol(E)est un sous-espace vectoriel de E.
2. Nombre de solutions de (E)
L’´equation (E)poss`ede 1 ou une infinit´e de solutions. En particulier, l’´equation (E)poss`ede toujours
au moins une solution.
✍Preuve du th´eor`eme 10
✍Exemple 9
Soit a∈K. R´esoudre le syst`eme lin´eaire homog`ene
ßx+y= 0
2x−ay = 0
d’inconnue (x, y)∈K2et commenter l’ensemble solution `a la lumi`ere du th´eor`eme 10.
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