Chapitre XV Applications linéaires Table des mati`eres 1 Notion d

PTSI − 2012-2013
Mathématiques
Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
Chapitre XV
Applications linéaires
Table des matières
1 Notion d’application linéaire
1
2 Opérations sur les applications linéaires
2
3 Noyau d’une application linéaire
4
4 Équations linéaires homogènes
5
5 Équations linéaires
6
6 Image d’une application linéaire
7
7 Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
7
8 Applications linéaires remarquables
8.1 Homothéties . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Rappels sur les supplémentaires . . .
8.3 Projections . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Symétries . . . . . . . . . . . . . . .
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Notations
• La lettre K désigne R ou C.
• Les lettres E, F et G désignent des K-espaces vectoriels.
1
Notion d’application linéaire
Définition 1 (Application linéaire)
Soit ϕ : E → F une application. On dit que ϕ est linéaire si :
1. ϕ respecte les additions
∀ (u1 , u2 ) ∈ E 2
ϕ(u1 + u2 ) = ϕ(u1 ) + ϕ(u2 ).
2. ϕ respecte les multiplications par un scalaire
∀λ ∈ K
∀u ∈ E
ϕ(λu) = λϕ(u).
Théorème 1 (Condition nécessaire pour qu’une application soit linéaire)
Soit ϕ : E → F une application.
ϕ linéaire ⇒ ϕ(0E ) = 0F .
1
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9
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11
✍ Preuve du théorème 1
✍ Exemple 1
1. Montrer que l’application
ϕ : R2 → R3 ; (x, y) 7→ (x − y, 2x − 3y, 5x + 11y)
est linéaire.
2. Montrer que l’application
ϕ : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (x + y, x − y + 2)
n’est pas linéaire.
3. Montrer que l’application
ϕ : R2 → R ; (x, y) 7→ xy
n’est pas linéaire.
Théorème 2 (Critère pour qu’une application soit linéaire)
Une application ϕ : E → F est linéaire si et seulement si elle respecte les combinaisons linéaires, i.e. si
et seulement si :
∀ (λ1 , λ2 ) ∈ K2
∀ (u1 , u2 ) ∈ E 2
ϕ(λ1 u1 + λ2 u2 ) = λ1 ϕ(u1 ) + λ2 ϕ(u2 ).
✍ Preuve du théorème 2
Définition 2 (Forme linéaire sur un K-espace vectoriel)
Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K.
✍ Exemple 2
1. Montrer que l’application
T : C 0 ([−1, 1], R) → R ; f 7→
Z
1
xf (x) dx
−1
est une forme linéaire sur C 0 ([−1, 1], R).
2. Donner un exemple de forme linéaire sur R2 .
2
Opérations sur les applications linéaires
Définition 3 (L’ensemble L(E, F ))
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ).
Théorème 3 (L’application nulle de E dans F est linéaire)
L’application nulle de E dans F , notée 0L(E,F ) , et définie par :
0L(E,F ) : E → F ; u 7→ 0F
est linéaire.
2
✍ Preuve du théorème 3
Théorème 4 (Addition de deux applications linéaires)
Soient f : E → F et g : E → F deux applications linéaires. Alors l’application f + g définie par :
f + g : E → F ; u 7→ f (u) + g(u)
est une application linéaire de E dans F .
✍ Preuve du théorème 4
Théorème 5 (Multiplication d’une application linéaire par un scalaire)
Soit f : E → F une application linéaire et soit λ ∈ K. Alors l’application λ.f définie par :
λ.f : E → F ; u 7→ λ.f (u)
est linéaire.
✍ Preuve du théorème 5
Théorème 6 (Structure de K-espace vectoriel sur L(E, F ))
Si f : E → F et g : E → F sont deux applications linéaires, alors on a défini une application f +g : E → F
qui est, elle aussi, linéaire (cf. Thm 4). Cela induit une l.c.i. sur L(E, F ) :
+ : L(E, F ) × L(E, F ) → L(E, F ) ; (f, g) 7→ f + g
Si λ ∈ K et si f : E → F est une application linéaire, alors on a défini une application λ.f : E → F qui
est linéaire (cf. Thm 5). Cela induit une l.c.e. à domaine d’opérateurs dans K :
. : K × L(E, F ) → L(E, F ) ; (λ, f ) 7→ λ.f
Le triplet :
(L(E, F ), +, .)
est un K-espace vectoriel, dont le vecteur nul est l’application nulle 0L(E,F ) de E dans F (cf. Thm 3).
✍ Exemple 3
Appliquer le théorème 6 pour donner de nouveaux exemples de K-espaces vectoriels.
✍ Exemple 4
1. Montrer que les applications
f : R3 → R2 ; (x, y, z) 7→ (x + 2y, x + y − z)
g : R3 → R2 ; (x, y, z) 7→ (x + z, 3x − 5y)
appartiennent à L(R3 , R2 ).
2. Calculer les applications f + g, 3.f et −f .
Théorème 7 (Composition d’applications linéaires)
Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. Alors l’application :
g ◦ f : E → G ; u 7→ g(f (u))
est linéaire.
3
✍ Preuve du théorème 7
✍ Exemple 5
On note C ∞ (R, R) l’ensemble des fonctions de R dans R qui sont indéfiniment dérivables.
1. Montrer que C ∞ (R, R) est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel de fonctions F (R, R).
2. Justifier que l’application
d : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) ; f 7→ f ′
est bien définie et linéaire.
3. En déduire que l’application
ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) ; f 7→ f ′′ − 7f ′ + 12f
est linéaire.
3
Noyau d’une application linéaire
Définition 4 (Noyau d’une application linéaire)
Soit ϕ : E → F une application linéaire. Le noyau de ϕ, noté Ker(ϕ), est l’ensemble des éléments de E
qui ont une image nulle par ϕ. Autrement dit :
Ker(ϕ)
=
{u ∈ E : ϕ(u) = 0F }
=
ϕ−1 ({0F }).
✍ Exemple 6
1. On considère à nouveau l’application
f : R3 → R2 ; (x, y, z) 7→ (x + 2y, x + y − z).
Cette application est linéaire (cf. exemple 4). Déterminer le noyau de f .
2. On considère à nouveau l’application
ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) ; f 7→ f ′′ − 7f ′ + 12f.
Cette application est linéaire (cf. exemple 5). Déterminer le noyau de ϕ.
Théorème 8 (Structure du noyau d’une application linéaire)
Soit ϕ : E → F une application linéaire . Alors Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de E.
✍ Preuve du théorème 8
Théorème 9 (Critère d’injectivité pour une application linéaire)
Soit ϕ : E → F une application linéaire. On a :
ϕ est injective
⇔
Ker(ϕ) = {0E }.
✍ Preuve du théorème 9
✍ Exemple 7
1. Soit l’application
ϕ : R2 → R2 ; (x1 , x2 ) 7→ (x1 + x2 , x1 − x2 ).
Montrer que l’application ϕ est linéaire et injective.
4
2. On considère à nouveau la forme linéaire
T : C 0 ([−1, 1], R) → R ; f 7→
Z
1
xf (x) dx
−1
introduite dans l’exemple 2.
(a) Interpréter géométriquement cette application linéaire.
(b) En déduire un exemple ≪ simple ≫ de fonction f ∈ C 0 ([−1, 1], R) non identiquement nulle sur
[−1, 1] et telle que T (f ) = 0.
(c) L’application T est-elle injective ?
4
Équations linéaires homogènes
Définition 5 (Équation linéaire homogène)
Une équation linéaire homogène est une équation
≪
de la forme ≫
(E) : ϕ(u) = 0
où :
1. ϕ est une application linéaire ;
2. 0 est le vecteur nul du but de ϕ ;
3. u, inconnue de (E), est un vecteur de la source de ϕ.
Observation 1
On conserve les notation de la précédente définition. L’ensemble solution Sol(E) de (E) est, par définition
de Ker(ϕ), le noyau de ϕ, i.e. :
Sol(E) = Ker(ϕ).
Tout ensemble solution d’une équation linéaire homogène est donc le noyau d’une application linéaire.
✍ Exemple 8
1. Donner
mogène
2. Donner
linéaire
un exemple de système linéaire homogène et montrer que c’est une équation linéaire hoau sens de la définition 5.
un exemple d’équation différentielle linéaire homogène et montrer que c’est une équation
homogène au sens de la définition 5.
Théorème 10 (Propriétés de l’ensemble solution d’une équation linéaire homogène)
Soit ϕ : E → F une application linéaire. On considère l’équation linéaire
(E) : ϕ(u) = 0F
d’inconnue u ∈ E.
1. Structure de l’ensemble solution Sol(E) de (E)
L’ensemble Sol(E) est un sous-espace vectoriel de E.
2. Nombre de solutions de (E)
L’équation (E) possède 1 ou une infinité de solutions. En particulier, l’équation (E) possède toujours
au moins une solution.
✍ Preuve du théorème 10
✍ Exemple 9
Soit a ∈ K. Résoudre le système linéaire homogène
ß
x +
y
2x − ay
=
=
0
0
d’inconnue (x, y) ∈ K2 et commenter l’ensemble solution à la lumière du théorème 10.
5
5
Équations linéaires
Définition 6 (Sous-espace affine d’un K-espace vectoriel)
On appelle sous-espace affine du K-espace vectoriel E toute partie
u + F := {u + v : v ∈ F }
de E, où :
• u est un élément de E ;
• F est un sous-espace vectoriel de E.
✍ Exemple 10
Montrer que
ß
(x, y) ∈ R2 :
ß
x + 2y
2x + 3y
=1
=5
™
est un sous-espace affine de R2 .
Définition 7 (Équation linéaire)
Une équation linéaire est une équation
≪
de la forme ≫
(E) : ϕ(u) = v
où :
1. ϕ est une application linéaire ;
2. v est un vecteur fixé du but de ϕ ;
3. u, inconnue de (E), est un vecteur de la source de ϕ.
✍ Exemple 11
1. L’équation
ß
x +
2x +
2y
3y
=1
=5
d’inconnue (x, y) ∈ R2 est une équation linéaire (au sens de la définition 7).
2. L’équation
y ′′ − 7y ′ + 12y = x
d’inconnue une fonction y ∈ C ∞ (R, R) est une équation linéaire (au sens de la définition 7).
Théorème 11 (Propriétés de l’ensemble solution d’une équation linéaire)
Soit ϕ : E → F une application linéaire et soit v ∈ F . On considère l’équation linéaire
(E) : ϕ(u) = v
d’inconnue u ∈ E. On lui associe l’équation linéaire homogène
(EH ) : ϕ(u) = 0F .
1. Structure de l’ensemble solution Sol(E) de (E)
On a la dichotomie suivante pour l’ensemble Sol(E) :
• soit Sol(E) = ∅ ;
• soit Sol(E) est le sous-espace affine
u0 + Sol(EH )
où u0 est une solution particulière de (E) et Sol(EH ) est l’ensemble solution de (EH ), qui est un
sous-espace vectoriel de (E) (cf. observation 2).
6
2. Nombre de solutions de (E)
L’équation (E) possède 0, 1 ou une infinité de solutions.
✍ Preuve du théorème 11
✍ Exemple 12
1. Résoudre les deux équations linéaires introduites dans l’exemple 11 et commenter les ensembles
solutions à la lumière du théorème 11.
2. Donner un exemple d’équation linéaire ne possédant aucune solution.
6
Image d’une application linéaire
Théorème 12 (Structure de l’image d’une application linéaire)
Soit ϕ : E → F une application linéaire. Alors
Im(ϕ) = {ϕ(u) : u ∈ E}
est un sous-espace vectoriel de F .
✍ Preuve du théorème 12
✍ Exemple 13
On considère à nouveau l’application
ϕ : R2 → R3 ; (x, y) 7→ (x − y, 2x − 3y, 5x + 11y)
Cette application est linéaire (cf. exemple 1). Déterminer deux vecteurs v1 et v2 de R3 tels que :
Im(ϕ) = Vect(v1 , v2 ).
Théorème 13 (Critère de surjectivité pour les applications linéaires)
Soit ϕ : E → F une application linéaire. On a :
⇔
ϕ est surjective
Im(ϕ) = F.
Preuve du théorème 13 : L’assertion résulte de la définition de l’image Im(ϕ) de ϕ ainsi que de celle
de la surjectivité.
7
Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Définition 8 (Endomorphisme)
1. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
2. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L(E).
Théorème 14 (L’application identité d’un K-espace vectoriel est un endomorphisme)
L’application
idE : E → E ; u 7→ u
est linéaire.
7
✍ Preuve du théorème 14
✍ Exemple 14
1. Montrer que l’application
ϕ : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (y, x)
est un endomorphisme de R2 .
2. Interpréter géométriquement l’application ϕ précédente.
Définition 9 (Isomorphisme)
Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire et bijective.
✍ Exemple 15
1. Justifier que
F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0}
est un sous-espace vectoriel de R3 .
2. Montrer que l’application
ϕ : R2 → F ; (α, β) 7→ (α, β, α + β)
est bien définie.
3. Montrer que ϕ est un isomorphisme.
Théorème 15 (L’application réciproque d’une application linéaire et bijective est linéaire)
Soit ϕ : E → F un isomorphisme. L’application ϕ étant bijective, on peut considérer son application
réciproque :
ϕ−1 : F
v
→
7→
E
l’unique solution de l’équation ϕ(u) = v d’inconnue u ∈ E.
Alors l’application ϕ−1 : F → E est linéaire (l’application ϕ−1 est donc un isomorphisme, car on sait par
ailleurs que ϕ−1 est bijective).
✍ Preuve du théorème 15
Définition 10 (Automorphisme)
1. Un automorphisme de E est un endomorphisme de E qui est bijectif, en d’autres termes une application linéaire de E dans E qui est bijective.
2. L’ensemble des automorphismes de E dans E est noté GL(E). On a donc :
GL(E) = {f ∈ S(E) : f est linéaire}
où S(E) est l’ensemble des bijections de E dans E.
✍ Exemple 16
On considère à nouveau
ϕ : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (y, x).
1. L’application ϕ est donc un endomorphisme de R2 (cf. exemple 14).
8
2. On remarque que
ϕ2 = idR2 .
L’application ϕ est donc involutive. Elle est donc bijective et ϕ−1 = ϕ (cf. exercice 108 de la feuille
d’exercices n˚12 Ensembles et applications).
3. De 1. et 2., on déduit que ϕ est un automorphisme de E.
Théorème 16 (Le groupe des automorphismes d’un K-espace vectoriel)
L’ensemble GL(E) des automorphismes de E est un sous-groupe de (S(E), ◦). GL(E) muni de la loi de
composition interne donnée par la composition est donc un groupe, appelé groupe linéaire de E (d’où la
notation GL(E)).
✍ Preuve du théorème 16
8
Applications linéaires remarquables
8.1
Homothéties
Dans cette partie, on suppose que le K-espace vectoriel E n’est pas réduit au singleton vecteur nul.
Définition 11 (Homothétie)
Une application ϕ : E → E est appelée homothétie de E si :
∃λ ∈ K
∀u ∈ E
ϕ(u) = λ.u
Théorème 17 (Propriétés des homothéties)
1. Si ϕ : E → E est une homothétie de E, alors le scalaire λ introduit dans la définition 11 est unique.
Il est appelé rapport de l’homothétie ϕ.
2. Une homothétie de E est un endomorphisme de E.
✍ Preuve du théorème 17
✍ Exemple 17
1. L’application
0L(E) : E → E ; u 7→ 0E
est une homothétie de E. Son rapport est 0.
2. L’application
idE : E → E ; u 7→ u
est une homothétie de E. Son rapport est 1.
3. Donner un exemple d’homothétie de R3 .
4. Donner un exemple d’homothétie de F (R, R).
8.2
Rappels sur les supplémentaires
Définition 12 (Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un K-espace vectoriel)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1 et F2 sont supplémentaires dans E si :
∀u ∈ E
∃ ! (u1 , u2 ) ∈ F1 × F2
u = u1 + u2
i.e. si tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F1 et d’un vecteur de
F2 .
9
Théorème 18 (Critère pour que deux s.e.v. d’un K-e.v. soient supplémentaires)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On a :
⇔ F1 ⊕ F2 = E
F1 et F2 sont supplémentaires dans E
⇔


F1 + F2 = E
et

F1 ∩ F2 = {0E }.
✍ Exemple 18 (Exemple filé − 1ère partie)
On fixe un repère (O;~i, ~j) du plan P usuel. On peut ainsi identifier le plan P et R2 .
1. Justifier que
F1 = Vect((1, 0))
et
F2 = Vect((1, 1))
2
sont deux sous-espaces vectoriels de R .
2. Déterminer les natures géométriques de F1 et F2 , en donner des éléments caractéristiques, puis les
représenter graphiquement.
3. Montrer que F1 et F2 sont supplémentaires dans R2 .
4. Soient u = (x, y) ∈ R2 . Décomposer le vecteur u suivant la décomposition R2 = F1 ⊕ F2 .
5. Illustrer géométriquement la décomposition d’un vecteur u de R2 suivant la décomposition R2 =
F1 ⊕ F2 .
8.3
Projections
Définition 13 (Projection)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle projection de E sur F1
parallèlement à F2 l’application p définie par :
p:
E
u = u1 + u2
|{z} |{z}
→ E
7→ u1
∈F2
∈F1
✍ Remarque 1
L’application p de la définition 13 est bien définie.
Théorème 19 (Propriétés des projections)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit p la projection de E sur F1
parallèlement à F2 .
1. L’application p est un endomorphisme de E.
2. On a de plus :
(a) p2 = p ;
(b) Les éléments caractéristiques de p sont donnés par :
F1 = Im(p)
et
✍ Preuve du théorème 19
✍ Exemple 19 (Exemple filé − 2ème partie)
On se place à nouveau dans le contexte de l’exemple 18.
10
F2 = Ker(p).
1. Expliciter la projection p de R2 sur F1 parallèlement à F2 .
2. Étant donné un vecteur u de R2 , représenter graphiquement le vecteur p(u), image de u par la
projection p.
Théorème 20 (Caractérisation des projections)
Soit p est un endomorphisme de E tel que
p2 = p.
Alors p est une projection.
Plus précisément, on a les propriétés suivantes.
1. Les sous-espaces vectoriels Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires dans E.
2. La décomposition d’un vecteur u de E suivant la décomposition E = Im(p) ⊕ Ker(p) est donnée
par :
u = p(u) + u − p(u).
| {z }
|{z}
∈Im(p)
∈Ker(p)
3. L’application p est la projection de E sur Im(p) parralèlement à Ker(p).
✍ Preuve du théorème 20
✍ Exemple 20
Montrer que l’application
p : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (3x − 2y, 3x − 2y)
est une projection et préciser ses éléments caractéristiques.
8.4
Symétries
Définition 14 (Symétries)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie de E par rapport
à F1 parallèlement à F2 l’application s définie par :
s:
E
u = u1 + u2
|{z} |{z}
∈F1
→ E
7→ u1 − u2
∈F2
✍ Remarque 2
L’application s de la définition 14 est bien définie.
Théorème 21 (Propriétés des symétries)
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit s la symétrie de E par rapport à
F1 parallèlement à F2 .
1. L’application s est un automorphisme de E.
2. On a de plus :
(a) s2 = idE ;
(b) s−1 = s ;
(c) Les éléments caractéristiques de s sont donnés par :
F1 = Ker(s − idE )
11
et
F2 = Ker(s + idE ).
✍ Preuve du théorème 21
✍ Exemple 21 (Exemple filé − 3ème partie)
On se place à nouveau dans le contexte de l’exemple 18.
1. Expliciter la symétrie s de R2 par rapport à F1 parallèlement à F2 .
2. Étant donné un vecteur u de R2 , représenter graphiquement le vecteur s(u), image de u par la
symétrie s.
Théorème 22 (Caractérisation des symétries)
Soit s est un endomorphisme de E tel que
s2 = idE .
Alors s est une symétrie.
Plus précisément, on a les propriétés suivantes.
1. Les sous-espaces vectoriels Ker(s − idE ) et Ker(s + idE ) sont supplémentaires dans E.
2. La décomposition d’un vecteur u de E suivant la décomposition E = Ker(s − idE ) ⊕ Ker(s + idE )
est donnée par :
1
1
u = (u + s(u)) + (u − s(u)).
2
|
{z
} |2 {z
}
∈Ker(s−idE )
∈Ker(s+idE )
3. L’application s est la symétrie de E par rapport à Ker(s − idE ) parralèlement à Ker(s + idE ).
✍ Preuve du théorème 22
✍ Exemple 22
1. L’application
ϕ : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (y, x)
est un endomorphisme de R2 (cf. exemple 14), qui vérifie ϕ2 = idR2 (cf. exemple 16). L’application
ϕ est donc une symétrie de R2 . En donner les éléments caractéristiques en appliquant le théorème
22, puis comparer les résultats avec l’interprétation géométrique de ϕ donnée dans l’exemple 14.
2. Montrer que l’application
s : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (5x − 3y, 8x − 5y)
est une symétrie de R2 et préciser ses éléments caractéristiques.
12