Chapitre 6 : Variables aléatoires

Première S
Chapitre 6 : Variables aléatoires
Les jeux de hasard ont amené à concevoir les variables aléatoires, en associant à un résultat
(résultat du lancer d’un dé, d’un tirage de pile ou face, d’une roulette…) un gain.
C’est au cours du XXVIIIème siècle qu’ont été découvertes la plupart des propriétés d’une variable
aléatoire.
I.
Définition d’une variable aléatoire
Définition : Variable aléatoire
On considère une expérience aléatoire d’univers Ω.
Exemple 1 : On lance deux fois une pièce bien équilibrée (c’est-à-dire non truqué) et on observe la
face obtenue.
Exemple 2 : On tire 4 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes.
Il y a beaucoup de possibilités, ainsi Ω contient beaucoup d’éléments.
Exemple 3 : On s’intéresse à la bonne production journalière de 1 000 composants électroniques par
une entreprise.
1
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
Première S
Exemple 4 : On choisit au hasard un élève dans la classe de 1er S4.
Remarque : Intuitivement, une variable aléatoire permet de préciser chacun des résultats d’une
expérience aléatoire d’un point de vue numérique.
II.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition : Loi de probabilité d’une variable aléatoire
On considère une expérience aléatoire d’univers Ω et 𝑋 une variable aléatoire prenant les valeurs
La loi de probabilité associée à 𝑋 sont les données des réels 𝑥𝑖 et des probabilités
Remarque : En général, on présente la loi de probabilité dans un tableau.
Valeurs 𝑥𝑖
Probabilités
𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )
Exemple 1 : On lance deux fois une pièce bien équilibrée (c’est-à-dire non truqué) et on observe la
face obtenue. On considère 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de piles obtenues.
2
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
Première S
Remarque : On utilisera quelque fois un abus de notation sur l’évènement {𝐹𝐹} = 𝐹 ∩ 𝐹.
Exemple 2 : Un dé décaédrique comporte 10 faces numérotées de 1 à 10. Un jeu consiste à lancer ce
dé supposé équilibré, et à noter le numéro de la face sur laquelle le dé se stabilise. Le joueur, qui doit
miser 3 euros pour lancer le dé, reçoit une somme en euros égale au nombre de diviseurs du nombre
entier obtenu.
Remarque 1 : Il faut faire attention lorsqu’on détermine la loi de probabilité. En effet, on n’est pas
toujours dans un modèle équiprobable. Vous pouvez essayer de reprendre l’exemple précédent avec
un dé truqué cette fois.
Remarque 2 : On vérifie le calcul d’une loi de probabilité puisque la somme des 𝑝𝑖 fait toujours 1.
3
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
III.
Première S
Répétition d’expériences identiques et indépendantes
On s’intéresse aux familles françaises de deux enfants et on cherche la probabilité qu’une
famille, prise au hasard, ait exactement une fille.
En France, il y a à la naissance, environ 105 garçons pour 100 filles.
On suppose donc que la probabilité qu’un nouveau-né soit une fille est 0,488.
On modélise une naissance dans un famille par une expérience aléatoire à deux issues :
F : « Avoir une fille » et G : « Avoir un garçon ».
On suppose que le sexe du premier enfant n’influe pas sur celui du second, autrement dit que les
deux naissances sont indépendantes. La situation consiste donc à répéter, deux fois, l’expérience de
façon identique et indépendante.
On construit un arbre dont chaque branche porte la probabilité de l’issue qui lui correspond.
L’énoncé donne 𝑃(𝐹) = 0,488 d’où 𝑃(𝐺) = 1 − 𝑃(𝐹) = 0,512.
4
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
Première S
Propriété :
Dans le cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes, représentée par un arbre
pondéré, on calcule la probabilité d’un évènement correspondant à un chemin de l’arbre en
multipliant les probabilités portées par ses branches.
Lorsqu’un évènement correspond à plusieurs chemins, on ajoute les probabilités des évènement
correspondants à ces chemins.
Exemple : Un jeu consiste à tirer deux boules avec remise dans une urne contenant 3 boules noires,
2 boules rouges et 1 boule jaune. Le joueur, qui doit miser 6 euros pour jouer, reçoit une somme de 2
euros par boules noires, 3 euros par boules rouges et 4 euros pour par boules vertes.
On considère 𝑋 la variable aléatoire qui représente le gain du joueur.
Déterminons la loi de 𝑋.
5
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
IV.
Première S
Espérance, variance et écart-type
Définition : Espérance, variance et écart-type
Soit 𝑋 une variable aléatoire de loi de probabilité (𝑥𝑖 ; 𝑝𝑖 ) pour 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟.
On appelle :
- Espérance de 𝑋, le nombre noté 𝐸(𝑋) ou encore 𝑋̅ et 𝐸[𝑋], défini par :
- Variance de 𝑋, le nombre noté 𝑉(𝑋) ou encore 𝑉𝑎𝑟(𝑋) définie par :
- Ecart-type de 𝑋, le nombre noté 𝜎(𝑋), définie par 𝜎(𝑋) =
Remarque 1 : L’espérance 𝐸(𝑋) s’interprète comme la valeur moyenne des valeurs prises par 𝑋
lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.
Si 𝑋 représente un gain, on dit que le jeu est favorable au joueur lorsque 𝐸(𝑋) > 0, défavorable
lorsque 𝐸(𝑋) < 0 et équitable lorsque 𝐸(𝑋) = 0.
Remarque 2 : L’écart-type mesure l’écart moyen des valeurs prises par 𝑋 par rapport à la moyenne.
Propriété :
Soit 𝑋 une variable aléatoire de loi de probabilité (𝑥𝑖 , 𝑝𝑖 ), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 et 𝑎, 𝑏 deux réels.
6
SAES Guillaume
Chapitre 6 : Variables aléatoires
Première S
Remarque :
Démonstration :
7
SAES Guillaume