Corrigé feuilles 9

UE 191 - Groupes 7 et 8 - Corrigé Feuilles 9 1
Corrigé feuilles 9
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Exercice 2 : Des hommes et des femmes. Le nombre de femme qu’on peut retrouver dans un groupe de 4
personnes choisies parmi 4 hommes et 6 femmes peut-être compris entre 0 et 4. On dénotera par Fcette variable
aléatoire discrète.
Il y a 10
4façons de choisir 4 personnes parmi 10. Si f∈ {0,1,2,3,4}, il y a 6 ffaçons de choisir ffemmes parmi
6. Pour chacune de ces façons il faut ensuite compléter notre échantillon en choisissant 4−fhommes parmi 4; il
y a 4
4−ffaçons de le faire. On compte donc en tout, 6 f 4 4−ffaçons de choisir 4 personnes dont ffemmes parmi
notre population de 4 hommes et 6 femmes. D’où, puisque ces choix sont équiprobables,
P(F=f) = nombre de cas favorables
nombre de cas possibles =6
f 4 4−f
10
4.
On a donc trouver la loi de probabilité de F. En chiffre, cela donne :
f01234
P(F=f)1
210 24 210 90 210 80 210 15 210
Exercice 3 : Face cachée du cube et de la pyramide. On trouve facilement :
x1 3
P(X=x)1/4 3/4,y0 2 4 P(Y=y)1/2 1/3 1/6
On veut trouver la loi de S=X+Y, ainsi regardons
si Svaut 1 3 5 7
Xet Yvalent 1 et 0 1 et 2 1 et 4 3 et 4
ou 3 et 0 3 et 2
Comme on cherche à trouver P(S=s)pour s∈ {1,3,5,7}, on calcule
P(S=1) = P(X=1 et Y=0) = P(X=1)P(Y=0) = 1
8
P(S=3) = P(X=1 et Y=2,ou ,X=3 et Y=0) = P(X=1)P(Y=2) + P(X=3)P(Y=0) = 11
24
P(S=5) = P(X=1 et Y=4,ou ,X=3 et Y=2) = P(X=1)P(Y=4) + P(X=3)P(Y=2) = 7
24
P(S=7) = P(X=3 et Y=4) = P(X=3)P(Y=4) = 1
8
On peut vérifier que la somme de ces probabilités donne bien un. Si on veut mettre cette loi sous forme d’un tableau
cela donne : s1 3 5 7
P(S=s)1
811 24 7 24 1 8

2Exercice 4 : Pierre vs. Paul. On dénote par Xla variable alétoire du numéro choisit par Pierre, et par Yla
variable alétoire du numéro choisit par Paul.
1)On cherche P(X<Y). Comme les choix sont faits au hasard pour n’importe quel iP(X=i) = P(Y=i) = 1/100.
Voici deux méthodes pour résoudre cet exercice :
Méthode 1 : On calcule facilement P(Y>i) = 100−i
100 . Alors la probabilité demandée est
P(Y>X) = P(X=1)P(Y>X|X=1) + P(X=2)P(Y>X|X=2) + .. .. +P(X=99)P(Y>X|X=99)
=99
∑
i=1
P(X=i)P(Y>X|X=i) = 99
∑
i=1
P(X=i)P(Y>i)
=1
100
99
∑
i=1
100−i
100 =1 10000
99
∑
i=1i
=1
10000 99×100 2=99 200 =0,495
Méthode 2 : Il y a trois cas possibles X=Y,X>Yet X<Y. Comme le choix des numéros est indépendants de la
personalité de Pierre et Paul, P(X>Y) = P(X<Y). D’autre part P(X=Y) = 1
100 (il y a plusieurs moyens de s’en
convaincre encore une fois). Comme 1 =P(X>Y) + P(X<Y) + P(X=Y) = 2P(X<Y) + P(X=Y), on isole
P(X<Y)=(1−P(X=Y))/2=99
200.
2)Encore une fois, plusieurs méthodes sont valables. Par exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement
G:“le plus grand des deux numéros est 50” :
P(G) = P(X=50 ou Y=50) = P(X=50 et Y<50) + P(X<50 et Y=50) + P(X=50 et Y=50)
=P(X=50)P(Y<50) + P(X<50)P(Y=50) + P(X=50)P(Y=50)
=1
100 49 100 [phone] [phone]
=99
10000
P(X<Y|G) = P(X<Yet le plus grand vaut 50)
P(G)
=P(X<50 et Y=50)
P(G)
=49
100 1 100
99
10000
=49
99 =0,49
Rappelez-vous qu’il peut y avoir d’autres façons de parvenir à la résolution d’un problème. Si vous avez un démarche
alternative, ce sera un plaisir si vous veniez m’en parler ou me l’écriviez pour en vérifier la validité. N’oubliez pas non plus que
les erreurs sont possibles (voire fréquentes) dans mes corrigés, faites-moi signe si vos réponses diffèrent
Si vous avez des question (sur les TD, le devoir, le cours ou la vie), n’hésitez pas à passer me voir de 16h à 18h30 les
mardis où il y aura un TD à mon bureau (Salle 227, bâtiment 440), à m’accrocher après un TD, ou à m’envoyer un courriel
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