Probabilités et Sta..

Automne 2016
Prof : Simon Plouffe, IUT
Dans notre monde, il existe des phénomènes régis par des lois
déterminées, c'est-à-dire que sous des conditions données, le
résultat est prévisible avec certitude (aux erreurs de mesure près)
Par exemple, il suffit de penser aux lois de Newton ou les lois sur
l’impôt.
Mais les phénomènes ne se produisent pas tous avec des lois
déterminées. Si on achète une voiture, il n’y a pas de formule
permettant de savoir combien de temps elle va durer. Si on lance un
dé, on ne peut pas prédire le nombre de points qui apparaitra sur la
face supérieure.
Espace échantillon
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces.
On peut considérer les résultats possibles comme étant 1,2,3,4,5,6.
Cependant les résultats possibles d'une expérience aléatoire peuvent
varier suivant les situations.
Ainsi, pour le lancer du dé, on peut concevoir comme logiquement
possible le fait que le dé se pose sur une arête (12 possibilités) ou
que le dé quitte la table (au moins une possibilité). Il conviendrait
alors d'ajouter ces résultats possibles.
L’espace échantillon correspondant à une expérience aléatoire est
l’ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience.
On le dénote par Ω
Il est impossible de donner les règles précises pour la construction de l’espace
échantillon. Pour chaque expérience nous devons faire un choix d’après le
contexte.
En quelque sorte, l’espace échantillon est un élément défini de la théorie
mathématique que nous allons construire, tout comme un ensemble l’est pour
la théorie des ensembles. Ainsi, pour le lancer du dé on peut prendre comme
espace échantillon Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Exemples :
On lance une pièce de monnaie et on observe la face supérieure. Si l’on désigne
les 2 faces de la pieces par P (pile) et F (face) respectivement l'espace
échantillon correspondant à cette expérience est Ω = {P, F}.
On lance simultanément une pièce de monnaie et un dé et on note les
résultats. L’espace échantillon est donc
Ω = {(P,1),(P,2),(P,3),(P,4),(P,5),(P,6),(F,1),(F,2),(F,3),(F,4),(F,5),(F,6)}.
Événements et quelques graphiques
Un événement est un sous ensemble A de l’espace échantillon S.
Si l’issue d’une expérience est un élément de A, on dit que
l’événement a eu lieu. (La Palisse).
Beaucoup de théorèmes ou
principes en probabilités et
statistiques sont de vraies Lapalissades.
Comme par exemple, en examinant la taille de feuilles d’arbres
tombées par terre et en les triant par taille on se rend compte
que les feuilles de taille moyenne sont les plus nombreuses. Ce
fait est habituellement vrai pour tous les échantillons tirées de
phénomènes naturels, (taille moyenne des humains, poids moyen
des sardines de la méditerranée, etc, etc).
Événements et quelques graphiques
Si on lance une pièce 2 fois : l’événement qui consiste à n’avoir
qu’une seule fois FACE. En notant F = 1 et P = 0 est représenté
graphiquement par :
En tant qu’événements on a l’ensemble S lui-même qui est certain
en terme de probabilités et l’ensemble vide qui est un événement
impossible puisqu’un élément du vide ne peut pas avoir lieu.
En termes ensemblistes
1 - A ∪ B est l’événement : soit A soit B ou les 2, c’est l’union de A et B.
2 - A ∩ B est l’événement : A et B à la fois, c’est l’intersection de A et B.
3. A′ est l’événement : non-A, c’est le complément de A.
4. A B = A ∩ B′ est l’événement : A mais sans B et en particulier A′ = S – A.
Si les ensembles correspondant aux événements A et B sont disjoints :
A ∩ B = ∅ on dit alors que A et B sont mutuellement exclusifs. Ils ne peuvent
pas se produire tous les deux et chaque paire de chaque ensemble non plus.
Dans l’exemple précédent :
On tire une pièce de monnaie 2 fois, on a
On a A = {FP, PF, FF}, B = {FP, PP}, et on a aussi
A ∪ B = {FP, PF, FF, PP} = S et A ∩ B = {FP}.
A′ = {PP}, A – B = {PF, FF}.
Le concept de probabilité
Il y a 2 méthodes ou procédures par lesquelles nous pouvons estimer la
probabilité d’un événement.
L’approche classique
Si un événement peut se produire de h façons différentes sur un total de n
façons différentes alors la probabilité est
Par exemple
On veut mesurer la probabilité d’un FACE ou d’un PILE d’une pièce de
monnaie qui ne peut tomber que sur FACE ou sur PILE (pas sur la tranche ou
en dehors de la table, …) et que l’événement FACE ou PILE peut se produire
que d’une seule façon alors on en arrive à la conclusion que la probabilité
est 1/2, que la pièce est non truquée ou pipée.
L’approche empirique ou expérimentale.
Après n répétitions d’une expérience, quand n est >>1 (très grand), un
événement se produit h fois, alors la probabilité est h/n.
Exemple, en tirant à pile ou face 1000 fois, on compte 532 FACE, on estime
alors que la probabilité est 0,532 d’avoir FACE en tirant cette pièce.
Dans les 2 cas de figure, il y a un problème avec ‘un très grand nombre de
fois’ et le fait qu’un événement a autant de chance de se produire (F ou P),
l’un que l’autre.
C’est pour ça qu’on a besoin d’une approche axiomatique de la probabilité.
Axiomatique : basé sur des principes immuables, axiome : désigne une
proposition indémontrable utilisée comme fondement d'un raisonnement.
Les axiomes des probabilités
Supposons qu’on ait un espace échantillon S. Si S est discret tout sousensemble correspond à un ou plusieurs événements et inversement mais si S
est continu, seulement des sous-ensembles spéciaux appelés mesurables
correspondent à des événements.
À chaque événement dans la classe C des événement on associe un nombre
reel P(A). P est alors appelé une function de probabilité et P(A) est la
probabilité de l’événement A.
Les axiomes suivants sont satisfaits.
1- Pour tout événement A dans la classe C, P(A) 0.
2- Pour l’événement certain de S,
P(S) = 1.
3- Pour tous événements mutuellement exclusifs , ,
⋃
⋃
…) =
Et en particulier pour 2 é.m.u.
, … deC,
…
et
Comment compter avec des arbres
Si une chose peut être accomplie de façons différentes suivie d’une 2ème
de
façons différentes , et au final k choses accomplies de façon
différente alors le nombre au final de façons différentes de faire est
…
façons
Par exemple, un individu possède 2 serpillères différentes à se metre sur la
tête et 4 tutus (rouge, rose, bleu poudre et saumon) alors il peut s’habiller
de 8 façons différentes.
Permutations et arrangements
On note
cette façon de compter des objets et
=
!
!
Exemple,
= 120. Un corollaire de ce théorème est qu’il y a n!
On en déduit que
permutations de n objets. Si on a 3 lettres a,b,c, il y a 6 permutations.
Permutations avec répétitions
Le nombre de permutations de n objets dont
sont semblables ou indiscernables,
sont semblables, …
sont semblables est :
!
!
!…
!
Par exemple, le nombre de permutations avec les 11 lettres du mot :
M I S S I S S I P P I (grand fleuve américain très plat) qui contient 1M, 2 P, 4 I et 4 S est
11!
1! 2! 4! 4!
34650
Dans l’échantillonnage on distingue 2 cas de figure
Exhaustif et non-exhaustif
Par exemple, de combien de façons peut-on tirer 3 cartes (cas exhaustif) d’un jeu de 52 cartes
il y a 52 x 52 x 52 = 140 608 façons.
Pour le cas exhaustif il y a 52 x 51 x 50 = 132 600 façons.
Le 52 ramasse

On a un jeu de 52 cartes à jouer, le jeu 52 ramasse consiste à prendre le jeu
de carte d’une seule main et lorsque les invités d’un diner s’incrustent un peu
trop… on dit :

Qui veut jouer à 52 ramasse ?, du coup quelqu’un se porte volontaire.

C’est à ce moment précis qu’on lance le paquet de cartes dans le salon et on
dit : Ramasse les 52 cartes ! Des heures de plaisir.
Combinaisons et coefficients du binôme
Qui veut dire en français : les coefficients sont symétriques
Exemple :
En particulier avec n=5 et 6 on a
Et si on aligne les expressions on obtient
Paradoxe des 3 pièces

Un maitre donne ce puzzle à son disciple. Si on lance 3 pièces de monnaie
dans les airs quelle est la probabilité qu’il y ait 3 FACE ou 3 PILE ?

Le disciple réfléchit et dit, bien de toute façon sur les 3 jets il y aura au
moins 2 pièces qui seront semblables et donc pour la 3ème pièce on a une
chance sur 2 que ce soit pile ou face : donc la probabilité est ½.

C’est une bonne réponse ?
Une bonne question

Une règle simple pour savoir quelle température (ou météo) il fera demain
est : il y a 60 % de chances que demain la température soit exactement la
même que la veille. On parle ici du modèle naïf qui consiste à dire que la
météo se décide à minuit juste au moment du passage de la terre à la ligne
internationale du changement de date (ou du changement de caleçon).

Alors, si on se base sur cet ‘algorithme’ de combien peut-on se tromper si on
prédit la météo 3 jours à l’avance ?
Une autre bonne question

Comment fait-on pour trouver un nombre entier au hasard ?

Quelle est la meilleure réponse ?, oui ou non, est-ce une question bien posée
?
Références, liens, ouvrages à consulter

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires

Spiegel, Murray R. Probabilités et statistique : cours et problèmes, traduction
française, Romain Jacoud.

Introduction à la théorie des probabilités, Yves Lepage, Marc Moore, Roch Roy.
Université de Montréal, Polytechnique et UQAM.

Arrangement : https://fr.wikipedia.org/wiki/Arrangement

Combinaisons :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinaison_(math%C3%A9matiques)

Combinaisons avec repetition :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinaison_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition