MATRICES

21-10- 2007 J.F.C. Mat. p. 1
MATRICES
I G´ EN´ ERALIT´ ES
1. D´efinitions
2. Matrices carr´ees particuli`eres
II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p(K)
1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K)
2. Base canonique de Mn,p(K)
III MATRICES ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES
1. Matrice d’une famille de vecteurs
2. Matrice d’une application lin´eaire
3. L’isomorphisme fondamental
4. Matrice d’une forme lin´eaire
IV RANG D’UNE MATRICE
1. D´efinition
2. Propri´et´es
V PRODUIT DE DEUX MATRICES
1. D´efinition
2. Matrice de la compos´ee de deux applications lin´eaires
3. D´efinition analytique d’une application lin´eaire.
4. Propri´et´es des op´erations sur les matrices
5. Produit de matrices particuli`eres
6. Polynˆomes de matrices
7. Polynˆomes annulateurs d’une matrice
VI MATRICES INVERSIBLES
1. D´efinition
2. Matrice inversible et isomorphisme
3. Caract´erisations des matrices inversibles
4. Quelques propi´et´es
5. Inversibilit´e des matrices triangulaires
6. Inversibilit´e des matrices d’ordre 2

J.F.C. Mat. p. 2
VII CHANGEMENT DE BASE
1. D´efinition
2. Changement de base dans un espace vectoriel
3. Changement de base pour une application lin´eaire
4. Matrices semblables
VIII PRATIQUE DE L’INVERSIBILIT´ E ET DE L’INVERSION
IX TRANSPOSITION
1. D´efinition
2. Propri´et´es
X MATRICE SYM´ ETRIQUE. MATRICE ANTISYM´ ETRIQUE
XI SAVOIR FAIRE
XII COMPL´ EMENTS
1. ´ Egalit´e de deux matrices
2. “Extraction” d’une colonne ou d’une ligne ou d’un ´el´ement d’une matrice
3. Trace d’une matrice
4. Une nouvelle caract´erisation des base en dimension finie
5. Simplification par une matrice inversible
6. Matrice de passage
7. Matrice d’un endomorphisme de Kn[X]
8. Rang
9. Interpr´etation matricielle des op´erations ´el´ementaires dans la m´ethode du pivot.
XIII DES PHRASES OU DES RH´ ETORIQUES TOUTES FAITES
XIV DES ERREURS ` A NE PAS FAIRE

J.F.C. Mat. p. 3
MATRICES
Pmentionne des r´esultats particuli`erement utiles et souvent oubli´es dans la pratique des matrices ...
Fmentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde.
Dans ce qui suit Kest le corps des r´eels ou des complexes, Eet E0(et mˆeme E00) sont des K-espaces vectoriels.
Sauf pr´ecisions n, p, q sont des ´el´ements de N∗.
I G´ EN´ ERALIT´ ES
I1. D´efinitions
D´ef. 1 On appelle matrice de type (n,p) ou de format (n, p) `a ´el´ements ou `a coefficients dans Ktoute application
de [[1, n]] ×[[1, p]] dans Kou encore toute famille d’´el´ements de Kindex´ee par [[1, n]] ×[[1, p]].
On note Mn,p(K) l’ensemble des matrices de type (n,p) `a ´el´ements dans K.
Un ´el´ement A= (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] de Mn,p(K) se repr´esente par un tableau rectangulaire de nlignes et
pcolonnes o`u figure `a l’intersection de la i`eme ligne et de la j`eme colonne : aij .
Souvent on assimile la matrice et le tableau. On ´ecrit alors :
A= (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] =
a11 a12 · · · a1j· · · a1p
a21 a22 · · · a2j· · · a2p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ai1ai2· · · aij · · · aip
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an1an2· · · anj · · · anp
Remarque Dans A= (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]],iest l’indice de ligne et jcelui de colonne.
Le plus souvent au lieu de parler de l’´el´ement A= (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] de Mn,p(K), nous parlerons de l’´el´ement
A= (aij ) de Mn,p(K) ; aij est le terme g´en´eral ou l’´el´ement g´en´erique de la matrice A.
D´ef. 2 Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn,p(K).
Si iest un ´el´ement de [[1, n]], la matrice ligne ai1ai2. . . aipest la i`eme ligne de A.
Si jest un ´el´ement de [[1, p]], la matrice colonne 
a1j
a2j
.
.
.
anj
est la j`eme colonne de A.
D´ef. 3 1. Les matrices de type (n, n) sont appel´ees matrices carr´ees d’ordres n. On note Mn(K) l’ensemble
des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans K.
Si A= (aij ) est un ´el´ement de Mn(K), a11,a22,..., ann sont les ´el´ements ou coefficients diagonaux
de la matrice A.
2. Les matrices de type (1, n) sont appel´ees matrices lignes.
3. Les matrices de type (n, 1) sont appel´ees matrices colonnes.

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I2. Matrices carr´ees particuli`eres
D´ef. 4 1. Inest l’´el´ement (aij ) de Mn(K) tel que : ∀i∈[[1, n]], aii = 1 et ∀(i, j)∈[[1, n]]2, i 6=j⇒aij = 0 ;
on parle de matrice identit´e ou matrice unit´e.
2. Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn(K).
A= (aij ) est scalaire si : ∃λ∈K, A =λIn.
A= (aij ) est diagonale si : ∀(i, j)∈[[1, n]]2, i 6=j⇒aij = 0.
A= (aij ) est triangulaire sup´erieure si : ∀(i, j)∈[[1, n]]2, i > j ⇒aij = 0.
A= (aij ) est triangulaire inf´erieure si : ∀(i, j)∈[[1, n]]2, i < j ⇒aij = 0.
II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p(K)
I1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K)
Th. 1 Si A= (aij ) et B= (bij ) sont deux ´el´ements de Mn,p(K) et αun ´el´ement de K, on pose :
A+B= (aij +bij ) et α·A= (αaij )
(Mn,p(K),+,·) est un espace vectoriel sur K.
I2. Base canonique de Mn,p(K)
Th. 2 et d´ef. 5 Si iappartient `a [[1, n]] et j`a [[1, p]], on note Eij la matrice de Mn,p(K) dont les coefficients
sont tous nuls sauf celui situ´e `a l’intersection de la i`eme ligne et le j`eme colonne qui vaut 1.
La famille (Eij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est une base de Mn,p(K). C’est la base canonique de Mn,p(K).
Si A= (aij ) est un ´el´ement de Mn,p(K) : A=
n
X
i=1
p
X
j=1
aij Eij donc (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est la
famille des coordonn´ees de Adans cette base.
Mn,p(K) est de dimension np sur KMn(K) est de dimension n2sur K
Th. 3 1. La base canonique de Mn,1(K) est : 
1
0
.
.
.
0
,
0
1
.
.
.
0
,· · · ,
0
.
.
.
0
1
.
Les coordonn´ees d’un ´el´ement C=
c1
c2
.
.
.
cn
de Mn,1(K) dans cette base sont : c1,c2,..., cn.
2. La base canonique de M1,n(K) est : ( 1 0 . . . 0 ) ,( 0 1 . . . 0 ) , . . . , ( 0 0 . . . 1 ) .
Les coordonn´ees d’un ´el´ement L= ( `1`2. . . `n) de M1,n(K) dans cette base sont : `1,`2,..., `n.

J.F.C. Mat. p. 5
III MATRICES ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES
I1. Matrice d’une famille de vecteurs.
D´ef. 6 Soit B= (e1, e2, . . . , en) une base de Eet (u1, u2, . . . , up) une famille d’´el´ements de E.
Pour tout jdans [[1, p]] et pour tout idans [[1, n]] on note aij la i`eme coordonn´ee de ujdans la base B.
L’´el´ement (aij ) de Mn,p(K) est appel´e matrice de la famille (u1, u2, . . . , up)dans la base B.
On la note MB(u1, u2, . . . , up).
PMB(u1, u2, . . . , up) s’obtient en ´ecrivant en colonne, et successivement, les coordonn´ees des vecteurs
u1,u2, ..., updans la base B.
Th. 4 PLes notations sont celles de la d´efinition pr´ec´edente.
MB(u1, u2, . . . , up) = (aij )⇐⇒ ∀j∈[[1, p]], uj=
n
X
i=1
aij ei
D´ef. 7 Soit B= (e1, e2, . . . , en) une base de Eet uun vecteur de Ede coordonn´ees (x1, x2, . . . , xn) dans la base
B.
MB(u) = 
x1
x2
.
.
.
xn
est la matrice des coordonn´ees du vecteur udans la base B.
FDans la situation pr´ec´edente on est pri´e de ne pas confondre le vecteur u, la famille (x1, x2, . . . , xn) de ses
coordonn´ees dans la base Bet la matrice 
x1
x2
.
.
.
xn
de ses coordonn´ees dans la base B.
I2. Matrice d’une application lin´eaire.
D´ef. 8 Eest de dimension non nulle pet E0de dimension non nulle n.fest une application lin´eaire de Edans
E0,B= (e1, e2, . . . , ep) une base de Eet B0= (e01, e02, . . . , e0n) une base de E0.
La matrice de frelativement aux bases Bet B0est la matrice de la famille (f(e1), f (e2),· · · , f (ep)
dans la base B0= (e01, e02, . . . , e0n). Nous la noterons M(f, B,B0).
M(f, B,B0) est l’´el´ement de Mn,p(K) obtenu en ´ecrivant en colonne, et successivement, les coordonn´ees
des vecteurs f(e1), f(e2), ..., f(ep) dans la base B0= (e01, e02, . . . , e0n)
.
PIl convient de retenir le sch´ema suivant : M(f, B,B0) =
f(e1)f(e2). . . f(ep)
e0
1
e0
2
.
.
.
.
.
.
e0
n