MATRICES

21-10- 2007
J.F.C.
MATRICES
I
GÉNÉRALITÉS
1. Définitions
2. Matrices carrées particulières
II
ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p (K)
1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p (K)
2. Base canonique de Mn,p (K)
III
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES
1. Matrice d’une famille de vecteurs
2. Matrice d’une application linéaire
3. L’isomorphisme fondamental
4. Matrice d’une forme linéaire
IV
RANG D’UNE MATRICE
1. Définition
2. Propriétés
V
PRODUIT DE DEUX MATRICES
1. Définition
2. Matrice de la composée de deux applications linéaires
3. Définition analytique d’une application linéaire.
4. Propriétés des opérations sur les matrices
5. Produit de matrices particulières
6. Polynômes de matrices
7. Polynômes annulateurs d’une matrice
VI
MATRICES INVERSIBLES
1. Définition
2. Matrice inversible et isomorphisme
3. Caractérisations des matrices inversibles
4. Quelques propiétés
5. Inversibilité des matrices triangulaires
6. Inversibilité des matrices d’ordre 2
Mat. p. 1
J.F.C.
VII
Mat. p. 2
CHANGEMENT DE BASE
1. Définition
2. Changement de base dans un espace vectoriel
3. Changement de base pour une application linéaire
4. Matrices semblables
VIII
IX
PRATIQUE DE L’INVERSIBILITÉ ET DE L’INVERSION
TRANSPOSITION
1. Définition
2. Propriétés
X
MATRICE SYMÉTRIQUE. MATRICE ANTISYMÉTRIQUE
XI
XII
SAVOIR FAIRE
COMPLÉMENTS
1. Égalité de deux matrices
2. “Extraction” d’une colonne ou d’une ligne ou d’un élément d’une matrice
3. Trace d’une matrice
4. Une nouvelle caractérisation des base en dimension finie
5. Simplification par une matrice inversible
6. Matrice de passage
7. Matrice d’un endomorphisme de Kn [X]
8. Rang
9. Interprétation matricielle des opérations élémentaires dans la méthode du pivot.
XIII
DES PHRASES OU DES RHÉTORIQUES TOUTES FAITES
XIV
DES ERREURS À NE PAS FAIRE
J.F.C.
Mat. p. 3
MATRICES
P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique des matrices ...
F
mentionne des erreurs à ne pas faire où des hypothèses importantes ou des mises en garde.
Dans ce qui suit K est le corps des réels ou des complexes, E et E 0 (et même E 00 ) sont des K-espaces vectoriels.
Sauf précisions n, p, q sont des éléments de N∗ .
I
GÉNÉRALITÉS
I 1. Définitions
Déf. 1 On appelle matrice de type (n, p) ou de format (n, p) à éléments ou à coefficients dans K toute application
de [[1, n]] × [[1, p]] dans K ou encore toute famille d’éléments de K indexée par [[1, n]] × [[1, p]].
On note Mn,p (K) l’ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans K.
Un élément A = (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] de Mn,p (K) se représente par un tableau rectangulaire de n lignes et
p colonnes où figure à l’intersection de la ième ligne et de la j ème colonne : aij .
Souvent on assimile la matrice et le tableau. On écrit alors :

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.
A = (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] = 
 ai1 ai2

 .
..
 ..
.
an1 an2
Remarque
···
···
a1j
a2j
..
.
···
aij
..
.
· · · anj

a1p
a2p 

.. 
. 

· · · aip 

.. 
. 
· · · anp
···
···
Dans A = (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] , i est l’indice de ligne et j celui de colonne.
Le plus souvent au lieu de parler de l’élément A = (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] de Mn,p (K), nous parlerons de l’élément
A = (aij ) de Mn,p (K) ; aij est le terme général ou l’élément générique de la matrice A.
Déf. 2 Soit A = (aij ) un élément de Mn,p (K).
Si i est un élément de [[1, n]], la matrice ligne ai1 ai2 . . . aip est la ième ligne de A.
a 
1j
 a2j 
ème

Si j est un élément de [[1, p]], la matrice colonne 
colonne de A.
 ..  est la j
.
anj
Déf. 3 1. Les matrices de type (n, n) sont appelées matrices carrées d’ordres n. On note Mn (K) l’ensemble
des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K.
Si A = (aij ) est un élément de Mn (K), a11 , a22 ,..., ann sont les éléments ou coefficients diagonaux
de la matrice A.
2. Les matrices de type (1, n) sont appelées matrices lignes.
3. Les matrices de type (n, 1) sont appelées matrices colonnes.
J.F.C.
Mat. p. 4
I 2. Matrices carrées particulières
2
Déf. 4 1. In est l’élément (aij ) de Mn (K) tel que : ∀i ∈ [[1, n]], aii = 1 et ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i 6= j ⇒ aij = 0 ;
on parle de matrice identité ou matrice unité.
2. Soit A = (aij ) un élément de Mn (K).
A = (aij ) est scalaire si : ∃λ ∈ K, A = λ In .
2
A = (aij ) est diagonale si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i 6= j ⇒ aij = 0.
2
A = (aij ) est triangulaire supérieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i > j ⇒ aij = 0.
2
A = (aij ) est triangulaire inférieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i < j ⇒ aij = 0.
II
ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p (K)
I 1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p (K)
Th. 1 Si A = (aij ) et B = (bij ) sont deux éléments de Mn,p (K) et α un élément de K, on pose :
A + B = (aij + bij )
et
α· A = (αaij )
(Mn,p (K), +, · ) est un espace vectoriel sur K .
I 2. Base canonique de Mn,p (K)
Th. 2 et déf. 5 Si i appartient à [[1, n]] et j à [[1, p]], on note Eij la matrice de Mn,p (K) dont les coefficients
sont tous nuls sauf celui situé à l’intersection de la ième ligne et le j ème colonne qui vaut 1.
La famille (Eij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est une base de Mn,p (K). C’est la base canonique de Mn,p (K).
Si A = (aij ) est un élément de Mn,p (K) : A =
p
n X
X
aij Eij donc (aij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est la
i=1 j=1
famille des coordonnées de A dans cette base.
Mn,p (K) est de dimension np sur K
Mn (K) est de dimension n2 sur K
   
 
1
0
0
 0   1 
 ... 
   
 
Th. 3 1. La base canonique de Mn,1 (K) est : 
 ...  ,  ...  , · · · ,  0 .
0
0
1
c1
 c2 

Les coordonnées d’un élément C = 
 ...  de Mn,1 (K) dans cette base sont : c1 , c2 ,..., cn .


cn
2. La base canonique de M1,n (K) est : ( 1 0
Les coordonnées d’un élément L = ( `1
`2
...
... 0),(0
1 ... 0),...,(0
0 ... 1) .
`n ) de M1,n (K) dans cette base sont : `1 , `2 ,..., `n .
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III
Mat. p. 5
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES
I 1. Matrice d’une famille de vecteurs.
Déf. 6 Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E et (u1 , u2 , . . . , up ) une famille d’éléments de E.
Pour tout j dans [[1, p]] et pour tout i dans [[1, n]] on note aij la ième coordonnée de uj dans la base B.
L’élément (aij ) de Mn,p (K) est appelé matrice de la famille (u1 , u2 , . . . , up ) dans la base B.
On la note MB (u1 , u2 , . . . , up ).
P MB (u1 , u2 , . . . , up ) s’obtient en écrivant en colonne, et successivement, les coordonnées des vecteurs
u1 , u2 , ..., up dans la base B.
Th. 4
P
Les notations sont celles de la définition précédente.
MB (u1 , u2 , . . . , up ) = (aij ) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, p]], uj =
n
X
aij ei
i=1
Déf. 7 Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E et u un vecteur de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ) dans la base
B.
 
x1
 x2 

MB (u) = 
 ...  est la matrice des coordonnées du vecteur u dans la base B.
xn
Dans la situation précédente on est prié de ne pas confondre le vecteur u, la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) de ses
 
x1
 x2 

coordonnées dans la base B et la matrice 
 ...  de ses coordonnées dans la base B.
F
xn
I 2. Matrice d’une application linéaire.
Déf. 8 E est de dimension non nulle p et E 0 de dimension non nulle n. f est une application linéaire de E dans .
E 0 , B = (e1 , e2 , . . . , ep ) une base de E et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) une base de E 0 .
La matrice de f relativement aux bases B et B 0 est la matrice de la famille (f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (ep )
dans la base B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ). Nous la noterons M (f, B, B 0 ).
M (f, B, B 0 ) est l’élément de Mn,p (K) obtenu en écrivant en colonne, et successivement, les coordonnées
des vecteurs f (e1 ), f (e2 ), ..., f (ep ) dans la base B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n )
f (e1 ) f (e2 ) . . .
P
f (ep )





0
Il convient de retenir le schéma suivant : M (f, B, B ) =










e01
e02
..
.
..
.
e0n
J.F.C.
Th. 5
P
Mat. p. 6
Les notations sont celles de la définition précédente.
M (f, B, B 0 ) = (aij ) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, p]], f (ej ) =
n
X
aij e0i
i=1
Déf. 9 E est de dimension non nulle n. f est un endomorphisme de E et B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E.
La matrice de f dans la base B = (e1 , e2 , . . . , en ) est la matrice de la famille (f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (en ) dans
la base B = (e1 , e2 , . . . , en ).
On la note MB (f ). MB (f ) est un élément de Mn (K).
Th. 6
P
Les notations sont celles de la définition précédente.
MB (f ) = (aij ) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, n]], f (ej ) =
n
X
aij ei
i=1
I 3. L’isomorphisme fondamental
Th. 7 E est de dimension non nulle p et E 0 de dimension non nulle n.
B = (e1 , e2 , . . . , ep ) est une base de E et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) une base de E 0 .
1. Si f et g sont deux applications linéaires de E dans E 0 et α un élément de K :
M (f + g, B, B 0 ) = M (f, B, B 0 ) + M (g, B, B 0 ) et M (α f, B, B 0 ) = α M (f, B, B 0 ).
2. Pour toute matrice A de Mn,p (K) il existe une application linéaire f , de E dans E 0 , et une seule telle
que M (f, B, B 0 ) = A.
3. ϕ : L(E, E 0 ) → Mn,p (K) . ϕ est un isomophisme d’espaces vectoriels de L(E, E 0 ) sur Mn,p (K).
f −→ M (f, B, B 0 )
P
S’il convient de savoir trouver la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases il convient
également de savoir associer à une matrice une application linéaire. Voila une phrase toute faite permettant de le
faire dans le cas où A un élément de Mn,p (K).
Considérons l’application linéaire f de Kp dans Kn dont la matrice relativement aux bases canoniques
de Kp et de Kn est A.
Notons qu’alors f = ϕ−1 (A)
Th. 8 E est de dimension n non nulle et B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E.
ϕ : L(E) → Mn (K). ϕ est un isomophisme d’espaces vectoriels de L(E) sur Mn (K).
f −→ MB (f )
P S’il convient de savoir trouver la matrice d’un endomorphisme relativement à une base il convient également
de savoir associer à une matrice carrée un endomorphisme. Voila une phrase toute faite permettant de le faire dans
le cas où A un élément de Mn (K).
Considérons l’endomorphisme f de Kn dont la matrice relativement à la base canonique de Kn est A.
Notons qu’alors f = ϕ−1 (A)
J.F.C.
Mat. p. 7
I 4. Matrice d’une forme linéaire
Prop. 1 E est un K-espace vectoriel de dimension n.
La matrice d’une forme linéaire sur E, relativement à une base de E et une base de K, est un élément
de M1,n (K) donc une matrice ligne.
IV
RANG D’UNE MATRICE
I 1. Définition
Déf. 10 Le rang d’une matrice de Mn,p (K) est la dimension du sous-espace vectoriel de Mn,1 (K) engendré par
les colonnes de cette matrice.
I 2. Propriétés
Th. 9 Le rang d’une matrice de Mn,p (K) est la dimension du sous-espace vectoriel de Mn,1 (K) engendré par les
lignes de cette matrice.
Th. 10 On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant sur cette matrices les opérations élémentaires sur les
lignes Li ←→ Lj , Lj ← Lj + λ Li ou Li ← λ Li avec cette fois λ non nul.
On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant sur cette matrices les opérations élémentaires sur les
colonnes Ci ←→ Cj , Cj ← Cj + λ Ci ou Ci ← λ Ci avec cette fois λ non nul.
Th. 11 E est de dimension non nulle p et E 0 de dimension non nulle n. f est une application linéaire de E dans
E 0 , B = (e1 , e2 , . . . , ep ) une base de E et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) une base de E 0 . A est la matrice de f
relativement aux bases B et B 0 .
rg(f ) = rg(A) ou rg(f ) = rg (M (f, B, B 0 ))
Prop. 2 Soit A un élément de Mn,p (K). rg(A) 6 Min(n, p).
V
PRODUIT DE DEUX MATRICES
I 1. Définition
Déf. 11 A = (aij ) est une matrice de type (n, p) à éléments dans K et B = (bij ) une matrice de type (p, q) à
éléments dans K.
Le produit de A par B est la matrice C = (cij ) de type (n, q) à éléments dans K définie par :
∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, q]], cij =
p
X
aik bkj
k=1
On le note A × B ou plus simplement AB.
F
Le produit de AB n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
A retenir : ”Type (n, p) × Type (p, q) = Type (n, q)”.
J.F.C.
Mat. p. 8
P A = (aij ) est un élément de Mn,p (K) et B = (bij ) un élément de Mp,q (K). C = AB = (cij ).
L’intersection de la ième ligne de AB et de sa j ème colonne est le produit matriciel de la ième ligne de A avec la
j ème colonne de B ou :
b 
1j
cij = ai1 ai2 . . . aip
 b2j 

×
 .. 
.
bpj
I 2. Matrice de la composée de deux applications linéaires
Th. 12 B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base de E. f et g sont deux endomorphismes de E.
Si A est la matrice de f dans B et B celle de g dans B, alors BA est la matrice de g ◦ f dans B. En clair :
MB (g ◦ f ) = MB (g)MB (f )
Th. 13 E, E 0 et E 00 sont de dimensions finies non nulles. B, B 0 et B 00 en sont des bases respectives. f est une
application linéaire de E dans E 0 et g une application linéaire de E 0 dans E 00 . Alors :
P
M (g ◦ f, B, B 00 ) = M (g, B 0 , B 00 ) × M (f, B, B 0 )
I 3. Définition analytique d’une application linéaire.
Th. 14 E est de dimension non nulle p et E 0 de dimension non nulle n. f est une application linéaire de E dans
E 0 , B = (e1 , e2 , . . . , ep ) une base de E et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) une base de E 0 .
A est la matrice de f relativement aux bases B et B 0 .
 
 
y1
x1
y 
 x2 

 dans la base B. v est un élément de E 0 de matrice Y =  .2 
u est un élément de E de matrice X = 
.
 .. 
 . 
.
xp
yn
dans la base B 0 .
P
f (u) = v ⇐⇒ AX = Y ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, n]], yi =
p
X
aik xk
k=1
I 4. Propriétés des opérations sur les matrices.
Th. 15 A, B et C sont trois matrices à coefficients dans K. α est un élément de K.
Si (AB)C a un sens A(BC) aussi et : (AB)C = A(BC).
Si A(B + C) a un sens AB + AC aussi et : A(B + C) = AB + AC.
Si (B + C)A a un sens BA + CA aussi et : (B + C)A = BA + CA.
Si AB a sens on peut écrire : α(AB) = (αA)B = A(αB).
F
Si A et B sont deux matrices AB peut être défini sans que BA le soit.
FF
Si A et B sont deux élément de Mn (K) AB n’est en général pas égal à BA.
FF
Si A et B sont deux matrices AB = 0 ne donne pas nécessairement A = 0 ou B = 0.
F
Si A, B, C sont trois matrices AB = AC ne donne pas nécessairement B = C.
J.F.C.
Prop. 3 A et B sont deux éléments de Mn (K) qui commutent
Mat. p. 9
F (AB = BA).
1. Si p est un élément de N :
p
(A + B) =
p
X
k
Cp
k
A B
p−k
=
p
X
k
p−k
Cp A
Bk
k=0
k=0
∗
2. Si p est dans N :
p−1
p−1
p−1
X
X
X
k p−1−k
k p−1−k
A − B = (A − B)
A B
=
(A − B) = (A − B)
A B
Ap−1−k B k = · · ·
p
p
k=0
k=0
k=0
I 5. Produit de matrices particulières
Th. 16 Si A et B sont deux éléments de Mn (K), AB (resp. BA) est un élément de Mn (K).
Mn (K) est stable pour ×.
Th. 17 Si L est une matrice ligne de type (1, n) à éléments dans K et C est une matrice colonne de type (n, 1) à
éléments dans K :
- Le produit LC est une matrice de type (1, 1) que nous assimilerons à un élément de K.
- Le produit CL est une matrice carrée d’ordre n.
Th. 18 Soient A et B deux éléments de Mn (K).
Si A et B sont scalaires, AB est scalaire.
Si A et B sont diagonales, AB est diagonale.
Si A et B sont triangulaires supérieures, AB est triangulaire supérieure.
Si A et B sont triangulaires inférieures, AB est triangulaire inférieure.
Th. 19 Soient A = Diag(a1 , a2 , . . . , an ) et B = Diag(b1 , b2 , . . . , bn ) deux matrices diagonales de Mn (K).
1. AB = Diag(a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn ).
2. ∀p ∈ N, Ap = Diag(ap1 , ap2 , . . . , apn ).
3. Si P est un élément de K[X], P (A) = Diag P (a1 ), P (a2 ), . . . , P (an ) .
I 6. Polynômes de matrices
Deuxième année
Prop. 4 A est une matrice de Mn (K) et P =
r
X
ak X k est un polynôme de K[X].
k=0
r
X
ak Ak est une matrice de Mn (K) que l’on note P (A).
k=0
Th. 20 A est une matrice de Mn (K), P et Q sont deux éléments de K[X] et α est un élément de K.
(P + Q)(A) = P (A) + Q(A)
(α P )(A) = α P (A)
I 7. Polynômes annulateurs d’une matrice
(P Q)(A) = P (A) Q(A) = Q(A) P (A)
Deuxième année
Déf. 12 Soit A une matrice de Mn (K).
On appelle polynôme annulateur de A tout élément P de K[X] tel que P (A) = 0Mn (K) .
J.F.C.
Mat. p. 10
Th. 21 Toute matrice de Mn (K) possède un polynôme annulateur non nul
2
On montre ce résultat en remarquant que si A appartient à Mn (K) la famille (In , A, A2 , . . . , An ) est liée...)
VI
MATRICES INVERSIBLES
I 1. Définition
Déf. 13 Soit A un élément de Mn (K). A est inversible si elle symétrisable pour ×, autrement dit s’il existe un
élément A0 de Mn (K) tel que AA0 = A0 A = In .
Si A est symétrisable, l’élément A0 est unique et s’appelle le symétrique ou l’inverse de A et se note
A−1 .
Déf. 14 On note GLn (K) l’ensemble des matrices inversibles de Mn (K). GLn (K) est appelé groupe linéaire sur
K de type n ou d’ordre n.
I 2. Matrice inversible et isomorphisme
Th. 22 1. B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base de E et f un endomorphisme de E de matrice A dans la base B.
A est inversible si et seulement si f est bijectif (resp. injectif ; resp. surjectif).
Autrement dit A appartient à GLn (K) si et seulement si f appartient à GL(E).
Si A est inversible : A−1 est la matrice de f −1 dans la base B ; autrement dit :
−1
MB (f )
= MB (f −1 )
2. B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base de E et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) une base de E 0 (donc dim E = dim E 0 <
+∞).
f une application linéaire de E dans E 0 de matrice A relativement aux bases B et B 0 .
A est inversible si et seulement si f est bijective.
Si A est inversible : A−1 est la matrice de f −1 relativement aux bases B 0 et B ; autrement dit :
M (f, B, B 0 ))−1 = M (f −1 , B 0 , B)
J.F.C.
Mat. p. 11
I 3. Caractérisations des matrices inversibles.
Th. 23 Soit A un élément de Mn (K). Les assertions suivantes sont équivalentes.
i) A est inversible.
ii) P
∀X ∈ Mn,1 (K), AX = 0Mn,1 (K) ⇒ X = 0Mn,1 (K) .
iii) ∀Y ∈ Mn,1 (K), ∃ X ∈ Mn,1 (K) AX = Y.
iv) ∀Y ∈ Mn,1 (K), ∃ !X ∈ Mn,1 (K) AX = Y.
v) ∃A0 ∈ Mn (K), AA0 = In
vi) ∃A00 ∈ Mn (K), A00 A = In
(inversibilité à droite).
(inversibilité à gauche).
vii) 0 n’est pas valeur propre de A.
viii) A admet une réduite de Gauss inversible c’est à dire sans zéro sur la diagonale.
ix) rg(A) = n.
I 4. Quelques propriétés
Th. 24 1. Si A et B sont deux éléments inversibles de Mn (K), le produit AB est inversible et :
(AB)−1 = B −1 A−1
1’. Plus généralement si A1 , A2 , ..., Ap sont p matrices inversibles de Mn (K) alors A1 A2 · · · Ap est une
matrice inversible et :
−1
−1
−1
A1 A2 · · · Ap
= A−1
p Ap−1 · · · A1
2. In est inversible et I−1
n = In .
3. Si A est inversible, A−1 est inversible et :
(A−1 )−1 = A
.
Prop. 5 A1 , A2 , ..., Ap sont p éléments de Mn (K). Si la matrice A1 A2 · · · Ap n’est pas inversible, l’une au moins
des matrices A1 , A2 , ..., Ap n’est pas inversible.
I 5. Inversibilité des matrices triangulaires
Th. 25 1. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si TOUS ses éléments diagonaux sont non nuls.
1’. Une matrice triangulaire n’est pas inversible si et seulement si AU MOINS UN de ses éléments
diagonaux est nul.
2. L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) inversible est une matrice triangulaire
supérieure (resp. inférieure).
Th. 26 Soit D = Diag(d1 , d2 , . . . , dn ) une matrice diagonale de Mn (K).
D est inversible si et seulement si pour tout i dans [[1, n]], di 6= 0.
1 1
1
−1
En cas d’inversibilité : D = Diag
, ,...,
d1 d2
dn
J.F.C.
Mat. p. 12
Prop. 6 Soient A une matrice de Mn (K), p un élément de N∗ et (a0 , a1 , . . . , ap ) une famille d’élément de K.
Si
p
X
ak Ak = a0 In +a1 A + · · · + ap Ap = 0Mn (K) et si a0 6= 0 alors :
k=0
1. A est invesible.
p
1 X
1
2. A−1 = −
ak Ak−1 = −
a1 In +a2 A + · · · + ap Ap−1
a0
a0
k=1
I 6. Inversibilité des matrices d’ordre 2
Th. 27 Soit A =
a b
c d
(Programme 2003)
une matrice de M2 (K).
1. A est inversible si et seulement si ad − bc 6= 0.
1
d −b
2. Si A est inversible : A−1 =
ad − bc −c a
VII
CHANGEMENT DE BASE
I 1. Définition
Déf. 15 E est de dimension n non nulle. B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) sont deux bases de E.
La matrice de passage de la base B à la base B 0 est la matrice de la famille (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) dans la
base B. Nous la noterons le plus souvent Pas(B, B 0 ).
P
On l’obtient donc en écrivant en colonne les coordonnées des éléments de B 0 dans la base B.
I 2. Changement de base dans un espace vectoriel
Th. 28 E est de dimension n non nulle. B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) sont deux bases de E.
La matrice de passage de B à B 0 est une matrice inversible de Mn (K) et son inverse est la matrice de
passage de la base B 0 à la base B.
−1
Pas(B, B 0 )
= Pas(B 0 , B)
Th. 29 E est de dimension n non nulle. B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) sont deux bases de E.
Si u est un élément de E de matrice X dans B et X 0 dans B 0 alors :
X = P X0
et
X 0 = P −1 X
I 3. Changement de base pour une application linéaire.
Th. 30 E est de dimension n non nulle. B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) sont deux bases de E.
f est un endomorphisme de E de matrice A dans B et A0 dans B 0 .
P est la matrice de passage de la base B à la base B 0 .
A0 = P −1 AP
et
A = P A0 P −1
J.F.C.
Mat. p. 13
Th. 31 E est un espace vectoriel de dimension non nulle p. B et B1 sont deux bases de E et P est la matrice de
passage de B à B1 .
E 0 est un espace vectoriel de dimension non nulle n. B 0 et B 0 1 sont deux bases de E 0 et Q est la matrice
0
de passage de B 0 à B1 .
f est une application linéaire de E dans E 0 .
M (f, B1 , B10 ) = Q−1 M (f, B, B 0 )P
ou M (f, B1 , B10 ) = (Pas(B 0 , B10 ))−1 M (f, B, B 0 ) Pas(B, B1 )
I 4. Matrices semblables.
Déf. 16 A et B sont deux éléments de Mn (K).
B est semblable à A s’il existe une matrice inversible P de Mn (K) telle que : B = P −1 AP .
Prop. 7 A, B et C sont trois éléments de Mn (K).
A est semblable à A.
Si B est semblable à A, A est semblable à B. Nous pourrons alors dire que A et B sont semblables.
Si A est semblable à B et B est semblable à C, A est semblable à C.
Ainsi la semblablité définit une relation d’équivalence sur Mn (K).
Th. 32 1. f est un endomorphisme de E de dimension n sur K.
Les matrices de f relativement à deux bases de E sont semblables.
P
2. A et B sont deux matrices de Mn (K).
A et B sont semblables si et seulement si elles sont les matrices d’un même endomorphisme d’un espace
vectoriel E de dimension n sur K relativement à deux bases de E.
3. Deux matrices semblables ont même rang (et même trace).
Prop. 8 A et B sont deux matrices semblables de Mn (K). Soit P une matrice inversible de Mn (K) telle que
B = P −1 AP .
Si p est un élément de N et si Q est un élément de K[X] :
B p = P −1 Ap P
VIII
et
Q(B) = P −1 Q(A)P
PRATIQUE DE L’INVERSIBILITÉ ET DE L’INVERSION.
Evoquons quelques méthodes pour inverser une matrice inversible A = (aij ) de Mn (K).
 
 
y1
x1
 x2 
 y2 

 
1. On part de deux éléments X = 
 ...  et Y =  ..  de Mn,1 (K) tels que AX = Y .
.
xn
yn
On exprime alors x1 , x2 ,..., xn en fonction de y1 , y2 ,..., yn .
On obtient alors une matrice A0 telle que A0 Y = X qui n’est autre que A−1 .
2. On considère l’automorphisme f de K n dont la matrice dans la base canonique B = (e1 , e2 , . . . , en ) de K n est A.
J.F.C.
Mat. p. 14
A est encore la matrice de passage de la base B = (e1 , e2 , . . . , en ) à la base f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (en ) .
A−1 est alors la matrice de passage de f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (en ) à la base B = (e1 , e2 , . . . , en ).
Trouver A−1 revient alors à exprimer e1 , e2 ,..., en en fonction de f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ).
2’. On considère la famille (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) de K n dont la matrice dans la base canonique B = (e1 , e2 , . . . , en ) de K n
est A. A étant inversible, B 0 =(e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) est une base de K n .
A est encore la matrice de passage de la base B = (e1 , e2 , . . . , en ) à la base B 0 =(e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ).
A−1 est alors la matrice de passage de la base B 0 =(e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) à la base B = (e1 , e2 , . . . , en ).
Trouver A−1 revient alors à exprimer e1 , e2 ,..., en en fonction de e01 , e02 ,..., e0n .
3. Le pivot de Gauss.
On part de In = AA−1 . On effectue des opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonnes) de A pour obtenir une
matrice triangulaire, puis pour obtenir In . En effectuant SIMULTANEMENT les mêmes opérations sur la matrice In
figurant à gauche de l’égalité initiale on obtient A−1 .
4. A est un élément de Mn (K). Si l’on trouve A0 (resp. A00 ) tel que AA0 = In (resp. A00 A = In ), on peut alors dire
que A est inversible et que A−1 = A0 (resp. A−1 = A00 ).
5. A est un élément de Mn (K).
On suppose qu’il existe un élément P =
q
X
ak X k de K[X] tel que P (A) =
k=0
q
X
ak Ak = OMn (K) et P (0) 6= 0 (c’est à
k=0
dire a0 6= 0).
Alors A est inversible et A−1 = −
q
1 X
ak Ak−1
a0
k=1
6. B est un élément de Mn (K). On suppose qu’il existe un élément q de N tel que : B q = 0Mn (K) .
q−1
X
q
q
Bk .
In = In −B = (In −B)
k=0
Alors A = In −B est inversible et d’inverse :
q−1
X
B k = In +B + B 2 + · · · + B q−1 . En changeant B en −B on obtient
k=0
l’inversibilité et l’inverse de In +B.
IX
Transposition
I 1. Définition
Déf. 17 Soit A = (aij ) un élément de Mn,p (K). La transposée de A est la matrice, de Mp,n (K) dont la ième
ligne est la ième colonne de A. On la note t A.
Si ”A = (aij ) :
t
A = (aji )”.
J.F.C.
Mat. p. 15
I 2. Propriétés
Th. 33 1. Soient α un élément de K, A et B deux éléments de Mn,p (K).
t
(A + B) = t A + t B
t
(αA) = αt A
t t
( A) = A .
2. Soient A un élément de Mn,p (K) et B un élément de Mp,q (K).
t
(AB) = t B t A
3. La transposition est un automorphisme involutif de Mn (K).
4. Soit A un élément de Mn (K).
rg(t A) = rg(A)
5. Soit A un élément de Mn (K). t A est inversible si et seulement si A est inversible.
En cas d’inversibilité :
t
X
−1 t −1
A
= A
MATRICE SYMÉTRIQUE. MATRICE ANTISYMÉTRIQUE.
Déf. 18 Soit A un élément de Mn (K).
A est symétrique si : t A = A.
A est antisymétrique si : t A = −A.
Prop. 9 L’ensemble des matrices symétriques de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K) de dimension
n(n + 1)
.
2
L’ensemble des matrices antisymétriques de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K) de dimension
n(n − 1)
.
2
Ces deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires ; autrement dit tout élément de Mn (K) est de
manière unique la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
XI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
SAVOIR FAIRE
Trouver la matrice d’une application est linéaire.
Associer une application linéaire à une matrice.
Définir analytiquement une application linéaire.
Utiliser toutes les opérations (et leurs propriétés) sur les matrices.
Calculer la puissance nème d’une matrice.
Trouver le rang d’une matrice.
Montrer qu’une matrice est inversible.
Trouver l’inverse d’une matrice inversible.
Trouver la matrice de passage entre deux bases.
Utiliser les formules de changement de base.
Montrer que deux matrices sont semblables.
J.F.C.
XII
Mat. p. 16
COMPLÉMENTS
I 1. Egalité de deux matrices
Prop. 10
P
Soit A et B deux matrices de Mn,p (K).
1. A = 0Mn,p (K) ⇐⇒ ∀X ∈ Mp,1 (K), AX = 0Mn,1 (K) .
2. A = B ⇐⇒ ∀X ∈ Mp,1 (K), AX = BX.
I 2. “Extraction” d’une colonne ou d’une ligne ou d’un élément d’une matrice
Prop. 11
P
A = (aij ) est une matrice de Mn,p (K).
La j ème colonne de A est le produit AEj où Ej est le j ème élément de la base canonique de Mp,1 (K).
La ième ligne de A est le produit t Ei0 A où Ei0 est le ième élément de la base canonique de Mn,1 (K).
Avec les notations précédentes : aij = t Ei0 AEj .
I 3. Trace d’une matrice
Déf. 19 Soit A = (aij ) une matrice de Mn (K). La trace de A est la somme des éléments diagonaux de A. On la
note tr A.
n
X
tr A =
aii
i=1
Prop. 12 1. Soit A et B deux matrices de Mn (K) et λ un élément de K.
tr(A + B) = tr A + tr B
tr (λ A) = λ tr A
tr(AB) = tr(BA)
2. tr est une forme linéaire sur Mn (K).
3. Deux matrices semblables ont même trace.
I 4. Une nouvelle caractérisation des base en dimension finie
Th. 34 B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base de E et (u1 , u2 , . . . , un ) une famille de n éléments de E.
(u1 , u2 , . . . , un ) est une base de E si et seulement si la matrice MB (u1 , u2 , . . . , un ) de cette famille dans la
base B est inversible.
Si (u1 , u2 , . . . , un ) est une base, l’inverse de MB (u1 , u2 , . . . , un ) est la matrice de la famille (e1 , e2 , . . . , en )
dans la base (u1 , u2 , . . . , un ).
I 5. Simplification par une matrice inversible
Prop. 13 A, B et C sont trois éléments de Mn (K).
Si AB est la matrice nulle et si l’une des matrices est inversible l’autre est nulle.
Si AB = AC (resp. BA = CA) et si A est inversible alors B = C.
I 6. Matrice de passage
Prop. 14 E est de dimension n non nulle. B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B 0 = (e0 1 , e0 2 , . . . , e0 n ) sont deux bases de E.
La matrice de passage P de la base B à la base B 0 est encore :
- La matrice dans la base B de l’automorphisme de E qui transforme la base B en la base B 0
- La matrice de IdE relativement aux bases B 0 et B (attention à l’inversion) c’est à dire M (IdE , B 0 , B)
J.F.C.
Mat. p. 17
Prop. 15 B, B 0 et B 00 sont trois bases de E. Pas(B, B 00 ) = Pas(B, B 0 ) × Pas(B 0 , B 00 ) .
I 7. Matrice d’un endomorphisme de Kn [X]
Prop. 16 • La matrice d’un endomorphisme de Kn [X] dans une base quelconque est d’ordre n + 1 !
• Si f est un endomorphisme de Kn [X] et si, pour tout élément P de Kn [X], deg f (P ) 6 deg P alors la
matrice de f dans la base canonique est triangulaire supérieure (ce qui donne immédiatement le spectre
de f ).
I 8. Rang
Th. 35 A est une matrice de Mn,p (K).
Si B est une matrice inversible de Mn (K) : rg(BA) = rg A.
Si C est une matrice inversible de Mp (K) : rg(AC) = rg A.
I 9. Interprétation matricielle des opérations élémentaires dans la méthode du pivot.
Prop. 17 Soit A un élément de Mn,p (K).
Pour transformer A par une opération élémentaire sur les lignes il suffit de la multiplier à gauche par
la matrice déduite de In par la même opération élémentaire.
Pour transformer A par une opération élémentaire sur les colonnes il suffit de la multiplier à droite par
la matrice déduite de Ip par la même opération élémentaire.
Prop. 18 n est dans N ∗ , i et j sont dans [[1, n]].
1. La matrice déduite de In par l’opération Li ←→ Lj est inversible et égale à son inverse.
2. α est un élément non nul de K. La matrice déduite de In par l’opération Li ←− αLi est inversible et
son inverse est la matrice déduite de In par l’opération Li ←− 1/αLi .
3. α est un élément de K. La matrice déduite de In par l’opération Lj ←− Lj + αLi est inversible et son
inverse est la matrice déduite de In par l’opération Lj ←− Lj − αLi .
Prop. 19 p est dans N ∗ , i et j sont dans [[1, p]].
1. La matrice déduite de Ip par l’opération Ci ←→ Cj est inversible et égale à son inverse.
2. α est un élément non nul de K. La matrice déduite de Ip par l’opération Ci ←− αCi est inversible et
son inverse est la matrice déduite de Ip par l’opération Ci ←− 1/αCi .
3. α est un élément de K. La matrice déduite de Ip par l’opération Cj ←− Cj + αCi est inversible et son
inverse est la matrice déduite de Ip par l’opération Cj ←− Cj − αCi .
J.F.C.
Mat. p. 18
Prop. 20 A est un élément de Mn (K).
1. Par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en une matrice triangulaire
A0 .
Il existe alors une matrice inversible P de Mn (K) telle que : A0 = P A.
P est la matrice obtenue en effectuant sur In les opérations effectuées sur A.
A est inversible si et seulement si A0 est inversible.
2. Par une suite d’opérations élémentaires sur les colonnes on peut transformer A en une matrice triangulaire A00 .
Il existe alors une matrice inversible Q de Mn (K) telle que : A00 = AQ.
Q est la matrice obtenue en effectuant sur In les opérations effectuées sur A.
A est inversible si et seulement si A00 est inversible.
Th. 36 A est une matrice inversible de Mn (K).
1. Par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en In .
A−1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les mêmes opérations.
2. Par des opérations élémentaires sur les colonnes on peut transformer A en In .
A−1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les mêmes opérations.
XIII
DES PHRASES OU DES RHÉTORIQUES TOUTES FAITES
I Inverser une matrice
A est une matrice inversible de Mn (K).

 
y1
x1
x
 2
y 
 de Mn,1 (K). Posons : Y =  .2  = AX
Pour trouver l’inverse de A Considérons un élément X = 
.
 .. 
 . 
.
xn
yn

On exprime alors les composantes de X en fonction de celles de Y sans raisonner par équivalences.
A est une matrice de Mn (K). Pour traiter simultanément l’inversibilité et l’inversion éventuelle de A

 
y1
x1
 x2 
 y2 

 
Soit X = 
 ...  et Y =  ..  deux éléments de Mn,1 (K). AX = Y ⇔ ....
.
xn
yn

On résout ensuite ce système en raisonnant par équivalences.
I Associer un endomorphisme à une matrice carrée
Soit A une matrice de Mn (K).
Posons E = Kn . Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) la base canonique de E = Kn . Considérons l’endomorphisme f
de E dont la matrice dans la base B est A (A = MB (f )).
J.F.C.
Mat. p. 19
I Associer une application linéaire à une matrice.
Soit A une matrice de Mn,p (K).
Posons E = Kp , et E 0 = Kn . Soient B = (e1 , e2 , . . . , ep ) la base canonique de E = Kn et B 0 =
(e01 , e02 , . . . , e0n ) la base canonique de E 0 = Kn . Considérons l’application linéaire f de E dans E 0 dont la
matrice relativement aux bases B et B 0 est A (M (f, B, B 0 ) = A).
I Semblablité
Soit à montrer que deux matrices A et B de Mn (K) sont semblables.
Soient B = (e1 , e2 , . . . , en ) la base canonique de E = Kn et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans
la base B est A. Cherchons une base B 0 de E dans laquelle la matrice de f est B.
On fait alors une analyse du problème en commençant par supposer que B 0 existe et on termine par une synthèse.
XIV
DES ERREURS À NE PAS FAIRE
F
A est un éléments de Mn (K). Ecrire A = aij (au lieu de A = aij )
F
A, B et C sont trois éléments de Mn (K). Ecrire que AB = 0 et A non nulle donne B = 0.
F
A, B et C sont trois éléments de Mn (K). Ecrire que AB = AC et A non nulle donne B = C.
F
A et B sont deux éléments de Mn (K). Ecrire que (A + B)2 = A2 + 2 AB + B 2 sans vérifier que AB = BA.
F
A et B sont deux éléments de Mn (K). Ecrire que (AB)p = Ap B p sans vérifier que AB = BA.
F
Ecrire la formule du binôme pour deux matrices sans vérifier qu’elles commutent.
F
Ecrire la réduite de Gauss de A.
F
La matrice A est inversible car elle n’a pas de zéro sur sa diagonale.
F La trace de ABC est égale à la trace de BAC (en s’appuyant sur le fait que la trace de U V est la
trace de V U ).
F
Si A = (aij ) est un élément de Mn (K), tr A2 =
n
X
i=1
a2ii alors que tr A2 =
n
n X
X
aik aki .
i=1 k=1
F Si A est un élément de Mn (R) les coefficients de A2 sont positifs (si A =
−1 0
...)
0 −1
0 −1
1 0
alors A2 =