Partiel

Composition de Mathématiques no 3 (Partiel)
LEECO412 — Mathématiques L2 Eco -
Exercice
1
2
3
4
5
Barème
5
4
4
3
4
Note
Vous répondrez directement sur cette feuille d’énoncé. L’épreuve comporte cinq exercices dont un en forme de
QCM. Pour chaque question du QCM exactement une des trois réponses proposées est juste, vous devez simplement cocher la case correspondante sans justifier. Barême pour le QCM :
0 point si vous laissez les trois cases vides.
1 point si vous cochez la bonne case.
− 12 point si vous cochez une mauvaise case ou si vous cochez plus d’une case ou si votre choix est illisible.
Un éventuel résultat négatif à l’exercice QCM est pris en compte pour le calcul de la note finale.
Exercice  — QCM
. Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
0.2
0.1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Alors la probabilité conditionnelle P(X > 0 | X < 1) est égale à
1
3
0.1
aucune des deux réponses.
. On choisit au hasard trois personnes dans un groupe constitué de 17 femmes et 12 hommes. La probabilité que ces
trois personnes ne soient pas tous de même sexe est environ
0.67
0.33
3
4
.
. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour être sûr à 80 % d’obtenir au moins un six ?
6 fois
8 fois
9 fois.
. Après une épreuve écrite l’enseignant cherche la copie d’un certain étudiant dans le paquet de 40 copies. Puisqu’elles
ne sont pas ordonnées, il regarde une copie après l’autre en commençant par le dessus du paquet. La probabilité qu’il
doive regarder au delà des 10 premières copies est égale à
0.75
0.776
aucune des deux réponses.
. Soit X une variable aléatoire de fonction de densité symétrique par rapport à l’axe d’équation x = a. Pour tout x ∈ R
P(X > a + x) = P(X > a − x)
P(X > a + x) = 1 − P(X < a − x)
P(X < a + x) = 1 − P(X < a − x).
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
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Exercice  —
Un gérant de supermarché a analysé les achats de 518 clients. Il a compté le nombre de packs de lait achetés par chaque
client et a obtenu le tableau suivant :
Nombre de clients
Nombre k de packs de lait
112
168
130
69
32
5
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
P(X = k)
. On choisit au hasard l’un des clients analysés. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
de packs de lait qu’il a achetés.
.a. Remplir dans le tableau les probabilités P(X = k), k ∈ J0, 7K (arrondir à 10−4 ).
.b. Calculer l’espérance E(X) et la variance V(X).
. Le gérant propose de modéliser X par une variable aléatoire Y qui suit la loi de Poisson de paramètre 1.55. Calculer,
pour chaque k ∈ J0, 7K, la probabilité P(Y = k) ; puis 518 × P(Y = k), c’est-à-dire le nombre de « clients hypothétiques
qui devraient acheter k packs de lait ». La modélisation vous semble-t-elle bonne ?
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
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Exercice  —
Un certain type de composant électronique ne s’use pas, c’est-à-dire sa durée de vie est « sans mémoire ». Son espérance
de vie est de cinq cents heures.
. On démarre le composant à l’instant t = 0.
.a. Quelle est la probabilité qu’il tombe en panne avant l’instant t = 100 heures ?
.b. On suppose que le composant fonctionne encore à t = 100 heures. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore à
t = 200 heures ?
. Trois de ces composants sont intégrés dans une machine ; ils fonctionnent de manière indépendante.
.a. Calculer la probabilité qu’aucun des trois composants ne tombe en panne avant l’instant t = 100 heures.
.b. Calculer la probabilité qu’exactement deux composants tombent en panne avant l’instant t = 100 heures.
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
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Exercice  —
On a observé que la vitesse V (en km/h) des automobilistes sur un axe principal d’une grande ville suit une loi normale
d’espérance 61 et de variance 121.
. Quelle est la probabilité que la vitesse d’un automobiliste soit
.a. supérieure à 61 km/h ?
.b. inférieure à 55.5 km/h ?
.c. comprise entre 50 et 72 km/h ?
. En prévision d’un contrôle radar, quelle doit être la vitesse maximale tolérée afin de ne pas verbaliser plus de 15 % des
conducteurs ?
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
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Exercice  —
Un QCM est constitué de n questions indépendantes. Pour chacune sont proposées deux réponses dont une seule est
juste. Un certain candidat qui n’a pas révisé décide de cocher au hasard ; on note X le nombre de ses bonnes réponses.
. Quelle est la loi de X ?
. Le QCM comporte 40 questions. Avec quelle probabilité le candidat obtient-il au moins 60 % de bonnes réponses ?
(Utiliser une approximation de loi.)
. Même question avec un QCM comportant 80 questions.
. Le jury de l’épreuve souhaite qu’un candidat cochant au hasard n’ait pas plus de 2 % de chances d’obtenir au moins
60 % de bonnes réponses. Combien de questions le QCM doit-il comporter ?
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
Composition de Mathématiques no 3 (Partiel)
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Table numérique pour la loi normale centrée réduite N (0, 1)
Fonction de répartition :
1
Φ(x) = √
2π
Z
x
e−
t2
2
dt.
−∞
Exemple :
Φ(1.32) ≈ 0.90658
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
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Φ(−1.32) = 1 − Φ(1.32) ≈ 0.09342
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
50000
53983
57926
61791
65542
69146
72575
75804
78814
81594
84134
86433
88493
90320
91924
93319
94520
95543
96407
97128
97725
98214
98610
98928
99180
99379
99534
99653
99744
99813
99865
99903
99931
99952
99966
99977
99984
99999
99999
100000
50399
54380
58317
62172
65910
69497
72907
76115
79103
81859
84375
86650
88686
90490
92073
93448
94630
95637
96485
97193
97778
98257
98645
98956
99202
99396
99547
99664
99752
99819
99869
99906
99934
99953
99968
99978
99985
99999
99999
100000
50798
54776
58706
62552
66276
69847
73237
76424
79389
82121
84614
86864
88877
90658
92220
93574
94738
95728
96562
97257
97831
98300
98679
98983
99224
99413
99560
99674
99760
99825
99874
99910
99936
99955
99969
99978
99985
99999
99999
100000
51197
55172
59095
62930
66640
70194
73565
76730
79673
82381
84849
87076
89065
90824
92364
93699
94845
95818
96638
97320
97882
98341
98713
99010
99245
99430
99573
99683
99767
99831
99878
99913
99938
99957
99970
99979
99986
99999
99999
100000
51595
55567
59483
63307
67003
70540
73891
77035
79955
82639
85083
87286
89251
90988
92507
93822
94950
95907
96712
97381
97932
98382
98745
99036
99266
99446
99585
99693
99774
99836
99882
99916
99940
99958
99971
99980
99986
99999
99999
100000
51994
55962
59871
63683
67364
70884
74215
77337
80234
82894
85314
87493
89435
91149
92647
93943
95053
95994
96784
97441
97982
98422
98778
99061
99286
99461
99598
99702
99781
99841
99886
99918
99942
99960
99972
99981
99987
99999
99999
100000
52392
56356
60257
64058
67724
71226
74537
77637
80511
83147
85543
87698
89617
91309
92785
94062
95154
96080
96856
97500
98030
98461
98809
99086
99305
99477
99609
99711
99788
99846
99889
99921
99944
99961
99973
99981
99987
99999
99999
100000
52790
56749
60642
64431
68082
71566
74857
77935
80785
83398
85769
87900
89796
91466
92922
94179
95254
96164
96926
97558
98077
98500
98840
99111
99324
99492
99621
99720
99795
99851
99893
99924
99946
99962
99974
99982
99988
99999
99999
100000
53188
57142
61026
64803
68439
71904
75175
78230
81057
83646
85993
88100
89973
91621
93056
94295
95352
96246
96995
97615
98124
98537
98870
99134
99343
99506
99632
99728
99801
99856
99896
99926
99948
99964
99975
99983
99988
99999
99999
100000
53586
57535
61409
65173
68793
72240
75490
78524
81327
83891
86214
88298
90147
91774
93189
94408
95449
96327
97062
97670
98169
98574
98899
99158
99361
99520
99643
99736
99807
99861
99900
99929
99950
99965
99976
99983
99989
99999
99999
100000

Composition de Mathématiques no 3 (Partiel)
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Corrigé de l’exercice  — QCM
. Réponse A. P(X > 0 | X < 1) =
P(0 < X < 1)
0.2
1
=
= .
P(X < 1)
0.6
3
. Réponse C. Le nombre de choix possibles est 29
= 3654. On peut choisir deux hommes et une femme de
3
17
12
12
=
1122
manières
;
et
deux
femmes
et
un
homme
de 17
= 1632 manières. La probabilité est donc
2
1
2
1
(1122 + 1632)/3654 ≈ 0.75
De manière équivalente
on peut passer par l’événement contraire
: le nombre de possibilités de choisir seulement des
femmes est 17
= 680 ; et de choisir seulement des hommes 12
= 220. La probabilité recherchée est donc
3
3
1 − (680 + 220)/3654 ≈ 0.75
. Réponse C. On souhaite que la probabilité de ne pas faire de six soit inférieure à 20 %. Le nombre k de lancers doit
k
donc vérifier 65 < 0.2. On trouve k > 8.8.
. Réponse A. En fait, on a une situation de équirépartition et la probabilité que la copie cherchée se trouve parmi les
dernières trente est 30/40. Voici une autre approche, plus tordue : La probabilité pour que la première copie ne soit pas la
bonne est 39
, ensuite pour la deuxième c’est 38
, et ainsi de suite. Par conséquent la probabilité recherchée est le produit de
40
39
39
31
30
30
dix facteurs 40
× 38
×
·
·
·
×
×
.
Par
simplification,
cela se réduit à 40
.
39
32
31
. Réponse C.
Corrigé de l’exercice  —
On calcule les fractions
112
518
≈ 0.2162 etc.
112
168
130
69
32
5
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0.2162
0.3243
0.2510
0.1332
0.0618
0.0097
0.0019
0.0019
Nombre de clients
Nombre k de packs de lait
P(X = k)
≈ 1.546 et la variance est V(X) ≈ 1.53. Ainsi la moyenne coïncide
La moyenne des packs achetés est E(X) = 801
518
quasiment avec la variance ; comme cela est caractéristique pour la loi de Poisson, on peut tenter d’approximer X par Y
k
avec P(Y = k) = e−1.55 1.55
. On trouve
k!
k
0
1
2
3
4
5
6
7
P(Y = k)
0.212
0.329
0.255
0.132
0.051
0.0158
0.00409
0.0009
518 × P(Y = k)
109
170
132
68
26
8
2
0
En comparant avec le tableau de l’énoncé on trouve que la modélisation de X par Y est de bonne qualité.
Corrigé de l’exercice  —
. La durée de vie (en heures) du composant est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle E (0.002).
.a. La probabilité que le composant tombe en panne
entre les temps 0 et 100 vaut
P(T 6 100) = 1 − e−0.002×100 = 1 − e−0.2 ≈ 0.181.
.b. Il s’agit de calculer la probabilité de {T > 200} sachant que {T > 100}. Comme il y a absence de mémoire
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on a
P(T > 200 | T > 100) = P(T > 100) = e−0.2 ≈ 0.819.
. Notons X le nombre de composants qui tombent en
panne entre les temps 0 et 100. Donc X ∼ B(3, 1 − e−0.2 ).
.a. P(X = 0) = e−0.2
.b. P(X = 2) =
3
2
3
= e−0.6 ≈ 55 %.
(1 − e−0.2 )2 e−0.2 ≈ 8 %.

Composition de Mathématiques no 3 (Partiel)
LEECO412 — Mathématiques L2 Eco -
Corrigé de l’exercice  —
. .a. Sans aucun calcul on trouve P(V > 61) = 0.5.
.b. P(V < 55.5) = P
V −61
11
< − 5.5
= 1 − P (V ∗ < 0.5) ≈ 1 − 0.69146 = 0.30854.
11
.c. Si on se rappelle de l’intervalle de confiance [µ − σ, µ + σ] on a immédiatement P(50 < V < 72) ≈ 0.68. Sinon on
retrouve ce résultat grâce à la table.
. On cherche la plus petite vitesse v0 telle que P(V > v0 ) 6 0.1.
P(V > v0 ) 6 0.15 ⇐⇒ P(V < v0 ) > 0.85
V − 61
v0 − 61
⇐⇒ P
<
> 0.85
11
11
v0 − 61
> 1.04 ⇐⇒ v0 > 72.44
⇐⇒
11
La vitesse maximale tolérée afin de ne pas verbaliser plus de 15 % des conducteurs est d’environ 72 km/h.
Corrigé de l’exercice  —
. La variable X suit la loi binomiale B(n, 0.5) d’espérance 0.5n et de variance 0.25n. On peut l’approcher par
la loi normale N (0.5n, 0.25n) lorsque les conditions n >
30, np > 5, nq > 5 sont satisfaites.
. X suit la loi binomiale B(40, 0.5) et donc approximativement la loi normale N (20, 10). Ainsi on obtient
Å
P(X > 24) = P X ∗ >
24 − 20
√
10
ã
= 1 − Φ(1.26) ≈ 0.10383.
. Avec l’approximation par la loi normale N (40, 20),
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P(X > 48) = 1 − Φ(1.79) ≈ 0.03673.
. On cherche n tel P(X < 0.6n) > 0.98 où X suit la loi
N (0.5n, 0.25n).
Å
P(X < 0.6n) = P X ∗ <
0.6n − 0.5n
√
0.25n
ã
√
= Φ(0.2 n).
Par lecture inversée √
de la table de la loi centrée
√ réduite
on trouve que Φ(0.2 n) > 0.98 revient à 0.2 n > 2.05,
c’est-à-dire il faut poser au moins 106 questions.
