PC* Étude des coniques planes d`équation

Coniques planes
PC*
R2 est muni de sa structure euclidienne canonique. On identie R2 à un plan muni
d'un repère orthonormé (O, i, j).
2
2
Étude des coniques planes d'équation réduite ax + 2bxy + cy = K
Soit Γ d'équation ax2 + 2bxy + cy 2 = K avec (a, b, c) ̸= (0, 0, 0). On remarque que
O est centre de symétrie de cette courbe.
Étude préliminaire :
(
Soit A =
a b
b c
)
̸= (0). On a :
(
x
y
(x, y) A
)
(
ax + by
= (x, y)
bx + cy
)
= ax2 + 2bxy + cy 2
A est ortho-diagonalisable.
Il existe
D ∈ M2 (R) diagonale, et P ∈ O2 (R) orthogo(
)
α1 0
nale telles que D =
= t P AP avec t P = P −1 .
0 α2
De plus : sp(A) = {α1 , α2 }, det(A) = α1 α2 = ac − b2 et r(A) = α1 + α2 = a + c.
Soit (e1 , e2 ) la base telle que M(i,j) (e1 , e2 ) = P . Cette base est orthonormée. Soit M
point de coordonnées (x, y) dans (O, i, j) et (x′ , y ′ ) dans (O, e1 , e2 ). On a :
( ′)
( )
( )
x
x
t
−1 x
= P
=P
y
y′
y
On a alors :
(
M ∈ Γ ⇔ K = ax + 2bxy + cz = (x, y) A
2
2
( ′)
(
x
α1
′ ′
M ∈ Γ ⇔ K = (x , y )D ′ = (x , y )
y
0
′
′
( ′)
x
= (x , y ) P AP
y′
) ( ′)
0
x
= α1 x′2 + α2 y ′2
α2
y′
x
y
)
′
′ t
L'équation de Γ dans (O, e1 , e2 ) est : α1 x′2 + α2 y ′2 = K .
Une valeur propre nulle, une non nulle :
On a donc det(A) = α1 α2 = 0. Supposons par exemple que α1 = 0.
L'équation réduite de Γ est : α2 y ′2 = K .
◦ Si K = 0 : Γ est la droite d'équation y ′ = 0.
◦ Si Kα2 < 0 : Γ = ∅.
◦ Si Kα2√> 0 : Γ est la réunion de deux droites parallèles d'équation
y ′ = ± K/α2 .
Deux valeurs propres non nulles :
• Deux valeurs propres de même signe det(A) = α1 α2 > 0
On dit que Γ est du type ellipse.
◦ Si K = 0, Γ = O. (un seul point)
◦ Si K n'est pas du signe de α1 et α2 , Γ = ∅.
Coniques 1
Coniques planes
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◦ Si K, α1 , α2 sont de même signe l'équation peut se mette sous la forme
√
√
x′2 y ′2
+
=
1
avec
a
=
K/α
>
0,
b
=
K/α2 > 0
1
a2
b2
Γ est une ellipse de centre O d'axes (O, e1 ) et (O, e2 ).
• Deux valeurs propres de signes contraires det(A) = α1 α2 < 0
On dit que Γ est du type hyperbole.
◦ Si K = 0, Γ est la√réunion de deux droites sécantes en O d'équation
y ′ = ±kx′ avec k = −α1 /α2 .
◦ Si K ̸= 0, l'équation de Γ peut se mettre sous la forme
x′2 y ′2
− 2 = ±1
a2
b
Γ est une hyperbole de centre O d'axes (O, e1 ) et (O, e2 ).
Étude rapide des ellipses
On suppose ici 0 < b < a, et on considère l'ellipse (E) d'équation (dans un repère
orthonormé (O, e1 , e2 ) du plan :.
(E)
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
O est centre de symétrie de (E), les droites (O, e1 ) et (O, e2 ) sont axes de symétrie.
Une représentation paramétrique de (E) est : x = a cos(t) , y = b sin(t) , t ∈ [0, 2π].
2
1
–2
–1
1
2
–1
–2
√
Pour x ≥ 0 et y ≥ 0 : M (x, y) ∈ (E) ⇔ y = b 1 −
Coniques 2
x2
a2
.
Coniques planes
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a et b sont deux réels strictement positifs. On
considère l'hyperbole (H) d'équation (dans un repère orthonormé (O, e1 , e2 ) du
Étude rapide des hyperboles
plan) :
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
O est centre de symétrie de (H) , les droites (O, e1 ) et (O, e2 ) sont axes de symétrie.
Une représentation paramétrique d'une branche de (H) est :
x = a ch(t), y = b sh(t), t ∈ R+ .
Les deux droites d'équation y = ±b/ax sont asymptotes à (H) .
(E)
4
2
–6
–4
0
–2
2
4
6
x
–2
–4
√
2
Pour x ≥ 0 et y ≥ 0 : M (x, y) ∈ (H) ⇔ y = b xa2 − 1.
Paraboles
Attention ces courbes ne sont pas obtenues par une équation du type étudié en début
de ce document.
On travaille dans un repère orthonormé (O, e1 , e2 ) du plan. On considère les courbes
d' équation
(P ) : x = ay 2 + b
3
2
1
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
–1
–2
–3
L'axe (O, e1 ) est axe de symétrie. Le sommet est le point S de coordonnées (b, 0).
Une représentation paramétrique est : x = at2 + b, y = t, t ∈ R.
Coniques 3
Coniques planes
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Équation d'une conique plane : forme générale
Pour une seconde lecture
Recherche d'un centre éventuel :
Soit Γ d'équation dans le repère orthonormé (O, i, j) :
avec (a, b, c) ̸= (0, 0, 0)
ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey = K
Notons F : (x, y) 7→ ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey .
−−→
F est de classe C ∞ sur R. gradF (x, y) = (2ax + 2by + d, 2bx + 2cy
{ + e).
Le point (x, y) est point critique de F ssi il est solution du système
ax + by = −d/2
bx + cy = −e/2
Le déterminant de ce système est det(A) = ac − b2 .
• Si det(A) ̸= 0, il y a un seul point critique X0 (x0 , y0 ). Les coordonnées de
M (x, y) dans le repère (X0 , i, j) sont x′ = x − x0 , y ′ = y − y0 . On obtient :
F (x, y) = a (x0 + x′ ) +2b (x0 + x′ ) (y0 + y ′ )+c (y0 + y ′ ) +d (x0 + x′ )+e (y0 + y ′ )
2
2
F (x, y) = ax20 + 2bx0 y0 + cy02 + dx0 + ey0 + ax′2 + 2bx′ y ′ + cy ′2
+2ax0 x′ + 2bx0 y ′ + 2by0 x′ + 2cy0 y ′ + dx′ + ey ′
ou encore F (x, y) = F (x0 , y0 ) + ax′2 + 2bx′ y ′ + cy ′2
L'équation de Γ dans le repère (X0 , i, j) est :
En développant :
ax′2 + 2bx′ y ′ + cy ′2 = K − F (x0 , y0 )
C'est une équation réduite. On est ramené au premier cas avec det(A) ̸= 0 .
• Si det(A) = 0, le système peut ne pas avoir de solution (ou en avoir une
innité). Supposons par exemple a ̸= 0 et prenons x0 = −d/2a et y0 = 0 .
On a (comme ac = b2 ) :
(
b
ax + 2bx y + cy = a x + y ′
a
′2
′ ′
′2
)2
′
(
)
(
)2
b2
b ′
′2
′
+ − +c y =a x + y
a
a
L'équation de Γ dans le repère (X0 , i, j) est :
(
b
a x + y′
a
)2
′
+ ey ′ = K ′
◦ Si e ̸= 0, on obtient une parabole.
◦ Si e = 0, on obtient un couple de droites ou l'ensemble vide.
Autre méthode :
Il est tout à fait possible de commencer par étudier la partie quadratique de l'équation , faire le changement de repère suggéré par la diagonalisation de la matrice A
puis ensuite faire un changement d'origine.
On pourra par exemple tester les deux méthodes pour Γ d'équation
x2 − xy + y 2 + 2x + 3y = K
ou x2 + xy + y 2 + 2x + 3y = K
Coniques 4