PROBABILITES (généralités)

PROBABILITES (généralités)
I) VÉRIFIER LES ACQUIS
Exercices d'introduction :
Ex 1 : (probabilité)
On lance un dé truqué de telle manière que les nombres pairs est une probabilité triple de celle des nombres
impairs.
1) Déterminer la loi de probabilité de cette expérience puis son espérance, sa variance et son écart-type.
2) Déterminer la probabilité des événements :
A = avoir un nombre supérieur ou égal à 4
B = avoir un nombre inférieur ou égal à 5
Ex 2 (équiprobabilité) : on lance un dé non truqué, quelle est la probabilité d'avoir un multiple de 3.
Ex 3 (variable aléatoire) : 2 p 170
Ex 4 (Bernoulli et loi binomiale) :
On lance 4 fois de suite une pièce truquée dont la probabilité de face est 0,6. on appelle X la variable aléatoire
représentant le nombre de faces obtenues.
1) Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Déterminer l'espérance de X.

II) LE COURS
1) vocabulaire
Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend totalement du hasard. (on lance un dé)
Univers (  ) : ensemble de tous les résultats de l'expérience. ( {1;2;3;4;5;6})
Événement : sous-ensemble de l'univers.
A = '' avoir un nombre pair'' B = ''avoir un multiple de trois''
Événement élémentaire : événement à un seul élément. C = '' avoir un multiple de 6''
Événement certain : ensemble contenant toutes les possibilités de l'univers ( c'est  )
D = '' avoir un nombre inférieur à 7''
Événement impossible : ensemble vide. F = '' avoir un nombre supérieur à 8''
Intersection : A ∩ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A et à B.
Réunion : A ∪ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A ou à B.
Le «ou» est un «ou inclusif» , on peut prendre les éventualités qui sont dans A et dans B.
Evénement contraire de A : événement noté
A
constitué des éventualités de  qui ne sont pas dans A.
Diagrammes de Venn :
Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements dont l'intersection est vide.
On dit qu'un événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.

2) modélisation
Loi de probabilité :
Soit une expérience aléatoire dont l'univers est  = {
x1; x2
;..... ;
xn
}.
On définit une loi de probabilité sur  en associant à chaque élément
xi
de  un réel
pi
appartenant à [0;1] tels que
p1
+
p2
+ ....... +
pn
= 1
Définitions :
Dans le cas où les
xi
sont des réels :
On appelle espérance de la loi de probabilité le réel E =
∑
1=1
1=n
pi×xi
On appelle variance de la loi de probabilité le réel V =
∑
i=1
i=n
pixi– E2
=
∑
i=1
i=n
pi×xi
2– E2
On appelle écart-type de la loi de probabilité le réel  =
V
Cas particulier : L'équiprobabilité
Lorsque tous les
xi
ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité sur  et
pour tout i
pi=1
n
.
3) probabilité d'un événement
Définition :
Soit  = {
x1; x2
;..... ;
xn
}. l'univers d'une expérience sur lequel on a défini une loi de
probabilité.
On appelle probabilité associée à cette loi l'application P qui à tout événement A de  associe le
réel P(A) tel que :
P(∅) = 0 et si A ≠∅ alors P(A) est la somme des probabilités des
xi
appartenant à A.
Propriété :
P() = 1 et pour tout A⊂ et B⊂,
0P(A)1
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(
A
) = 1 - P(A)
Remarque : quand A et B sont incompatibles alors P(A∪B) = P(A) + P(B)
Cas particulier :
Dans le cas d'équiprobabilité alors
PA= cardA
card 
Exemple : on lance un dé non truqué, quelle est la probabilité d'avoir un multiple de 3.

4) variable aléatoire Ex d'introduction : 2 p 170
Définition :
Soit  l'univers d'une expérience muni d'une probabilité .
On appelle variable aléatoire réelle toute application X de  vers ℝ.
L'ensemble des valeurs prises par X s'appelle l'univers image, il est noté X().
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = {
x1
;
x2
........ ;
xn
}
On note (X = xi ) l'événement «la variable aléatoire X prend la valeur xi»
La donnée des nombres P (X = xi ) pour i ∈{1;2;.....;n} est la loi de probabilité de X.
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = {
x1
;
x2
........ ;
xn
}
On appelle espérance de X le réel E(X) =
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi
On appelle variance X le réel V(X) =
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi– E X2
=
On appelle écart-type de X le réel
X
=
VX
EXERCICE :
Un joueur lance un dé équilibré deux fois de suite. Lors du deuxième lancer,s' il obtient le double du premier, il
marque deux points; s'il obtient le même numéro, il ne marque aucun point; s'il obtient un numéro inférieur, il
perd un point et dans tous les autres cas il gagne un point.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience, associe le nombre de points gagnés ou
perdus.
A l'aide d'un tableau :
1) Déterminer l'univers image de X.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de X.
∑
i=1
i=n
PX=xi×xi
2– EX2

5) épreuve et schema de bernoulli et loi binomiale Ex d'introduction : 4 p 170
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée le
succès (S) et l'autre l'échec (
S
)
Exemples : on lance une pièce : pile est S et face est
S
On lance un dé : 1 est S et les autres résultats
S
Définition :
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l'univers  = { S ;
S
} d'une épreuve
de Bernoulli telle p(S) = p avec p ∈ [0;1] et donc p(
S
) = 1-p
p s'appelle le paramètre de cette loi.
Définition :
Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p)
Loi binomiale
Définition :
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque
résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Définition :
Quand on représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, pour tout
entier naturel k  n , le nombre de de chemins réalisant k succès sur les n expériences est
n
k
que l'on lit « k parmi n ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Pour calculer
10
3
= 120 avec une calculatrice :
TEXAS : 10
MATH
PRB
nCr
3
ENTER
CASIO : 10
OPTN
F 6
PROB
nCr
3
EXE
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier
naturel k  n on a P(X=k) =
n
k
pk
1–pn – k
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors
E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p)